3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1 З 7. Лроиессы с поглоп1ающпксп состопппплп Ззз интенсивности рождения и гибели для каждого индивидуума в момент 1 равны )с=а(й),— Х(1)), п=()(Х(1)-Лс,), а отдельные индивидуумы в популяции развивакпся независимо друг от друга. Результирующие интенсивности рождения и гибели для всей популяции равны )сп = ап (й)е — и), р„= Ои (и — У,). Чтобы показать это, заметим, что если размер популяпии Х(1) равен и, то каждый из и индивидуумов имеет инфннитезпмальн; ю интенсивность рождения )., так что Е = ап(Л1, — и). Такое жс обоснование можно предложить и для интерпретации )со. В этих предположениях естественно ожндать, что процесс пз меняется между двумя уровнями й), и Ась поскольку если, скажсп, Х(1) близок к й1м то интенсивность гибели высока, а пптспсшь ность рождения низка и, следовательно, Х(1) стремится к й1ь В р<.
зультате процесс должен флуктуировать стационарпяк образо ~ между двумя уровнями Ус и й1ь Стационарное распределение в этом случае равно Рме = ( ' ')( — ), еп=О, 1, ', ..., й)е — Уь где с — константа, определяемая из условия ккРме = 1 Чтобы показать это, заметим, что Хск~ ° ° ° оы — ~ и М+т аыЛ', (У, + 1) ... (М, + т — 1) (Ук — Л1,) ... (й1с — Лс, — т .1- 1) 11ы (л), + 1) ...
(м, + т) т1 Лс, ( Хск — й1, ) ( а )"' $7, ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ С ПОГЛОЩА10ЩИМИ СОСТОЯНИЯМИ Представляет интерес рассмотреть такие процессы рождения и гибели, у которых )о = О. Это предположеннс делает нулсвос состояние поглощаюшим. Если переход осуществляется нз состояния 1, частица перемещается в состояние 2 с вероятностью )„()ы + )о)-' или попадает в состояние О (и остается там в дальнейшем) с вероятностью )сс()сс + ).с) '. Важным примером процесса рождения и гибели, где состояние О поглощающее, являешься процесс линейного роста без иммиграции (ср, с примером 1 $ 6).
3 зкы 939 Гл. 7. Классические примеры цепей Маркова В этом случае Л„пЛ и и = пм. Поскольку рост популяции обязан исключительно существованию популяции, ясно, что когда раз. мер популяции становится равным О, он остается равным нулю и после этого, т. е. О является поглощающим состоянием.
А. Вероятность поглощения в состоянии О Представляет интерес нахождение вероятности поглощения в состоянии О при начальном состоянии ! (с ) 1). Такое поглощение не является априори достоверным событием, поскольку возможно, что частица (т. е. переменная, характеризующая состояние) будет все время блуждать по состояниям 1, 2, ... или, быть может, уходить в бесконечность. Пусть ис (с = 1, 2, ...) — вероятность поглощения в состоянии О из начального состояния с. Можно написать рекуррентное соотношение для иь рассматривая возможные состояния после первого перехода. Мы знаем, что при первом скачке осуществляются следующие переходы: с'- с'+ 1 с вероятностью Лс()»с+ Л,) с — «с' — 1 с вероятностью !сЯс+ Лс) 1. Непосредственно получаем Лс ис = — ис+, + — ис, с Вс+Лс И,+Лс !)1, (7.!) где ио = 1.
Другой метод получения (7.!) состоит в рассмотрении «вложенного случайного блуждания», связанного с процессом рождения и гибели. Именно рассмотрим процесс рождения и гибели только в моменты переходов. Цепь Маркова с дискретным временем, получающуюся при этом, обозначим через (У„)„, где Уе = Хв — начальное состояние, а У„(л ~ 1) — состояние после и-го перехода.
Очевидно, матрица переходных вероятностей имеет вид ! О О О д, о р, о ... о д, о р, ... где р, = =! — дс (Е) 1). Л! ис+ "с Вероятность поглощения в состоянии О для вложенного слу. чайного блуждания совпадает с аналогичной вероятностью для Э 7.
Прочсссьз с поглощающими состояниями 227 процесса рождения и гибели, поскольку оба процесса совершают одни и те же переходы. Обратимся к задаче решения (7.1) при условиях, что и, = 1 и О.<ие <1 (! ) !), Перепишем (7.1): р; (и,е,-ит)= — (иг-ит-~) г'=-1 Введем переменную ое = из ы — иь Получим иг аз= 'л о; —, !>1 Итерируя последнее соотношение, найдем (тт рг ) и;е~ — иг=ог= ! и„» ! ое, г~)1. Суммируя эти уравнения от ! = ! до ! = т, получим нХ(та ь )' ав рг! 1 / 1 (7.2) (7.3) то с необходимостью и, =! и и„= 1 при всех пт) 2.
Другими словами, если выполнено равенство (7.3), то из любого начального состояния происходит поглощение в 0 с вероятностью 1. Пусть 0 < ит < 1. Тогда, конечно, Очевидно, и не возрастает с ростом т, поскольку при переходе из состояния т в состояние 0 процесс попадает во все промежуточные состояния '). Более того, мы утверждаем, что и„ -+ 0 при пт -+ оо, Если предположить противное, т. е. и )~ сс > 0 (т ) 1), то простые вероятностные рассуждения показывают, что и = 1 '1 Иначе говоря, событие, заключавшееся в том, что за время Г вроизошел переход гл- О, содержится в событии «за время Г произошел переход е-я-а», где Гг <т, а г — любое положительипв число. — Прим.
перви, Поскольку и в силу определения ограничена числом 1, мы видим, что если Г,г. 7. Классические прилгервг цепей Маркова йза (111..'- 1). (Читатель должен уметь доказать это формально.) Дал.с, устремляя пг — оо в (7.2), найдем ь к1оме того имс и х (и-.,) "" ',;У1('П;,) В шстном слчг,гг процесса рождения и гибели с линейным росгггаг, г.дг „„-= пр и Х„= пХ, непосредственное вычисление показь!гшст, что и =- ~ — ), если р(Х, и =- 1, если р~~й. Ь.
1'реднее время до поглощения нг =.— + — а г)1, у„. г-!г (7.5) Рассмотрим задачу нахождения среднего времени до поглощения, начиная из состояния т. Предположим, что условие (7.3) выполнено, так что поглощеггие происходит с вероятностью 1. Заметим, что в данном случае зада 1:, нельзя свести к изучению вложенного случайного блуждашгя, поскольку действительное время, проводимое процессом я каждом состоянии, существенно для нахождения среднего времени до поглощения. Пусть сн — среднее время (быть может, бесконечное) до поглощения при начальном состоянии 1. Рассматривая возможные состояния, следующие за первым переходом, и вспоминая тот факт, что среднее время пребывания в состоянии 1 равно (и, + с.,) ' (это время имеет экспоненциальное распределение с параметром рг + кг), получим рекуррентное соотношение 1 ге 1 со,.=- + еггл.г+ агг ь г) )1, (7.4) Иг+ Х,.
Н,. + А,. ггг+ Хг где по условию иге = О. Полагая аг = ыг — егг+~ и комбинируя член ы в (7.4), пол учим ф 7. Процессы с поглощающими состояниями 229 Итернруя это соотношение, найдем Иы ! Итнят-! 7. + Л Лап, + Л зон, Яю-2 и, наконец, < Произведение Ц вЂ” полагается равным 1. Иначе ив 91 Х/ и+! нт т ю .— .„=Х вЂ”,', Ц вЂ”,",'-,П$, . (7.8) 1 ! 1 1+! 1 ! Более удобно записать ят т тн т 1-1+! 1-! 1-! (7.7) где Х!Ае ... Хт, Р1= И!И2 ° ° И1 Затем, используя (7.7), соотношение (7.6) перепишем в виде < Лт! ОФ Д (жи св +!) =,~~ Р1 св! 1 И1 (7.8) тт Х1! Х Р1 1! П! Ц (Езю Сею+ !).
1 ! Ц и ) я ).1- ') И, следовательно, и! ео, пг ) )!. — Прим. перев, Заметим, что если ~~'.~ р, оо, то нз (7.8) следует, что с необходн- 1 1 мостью етт = оо '). В самом деле, нз вероятностных соображений очевидно, что ит < ы +! для всех и, а это свойство было бы на. рушено для больших т, если бы мы предположили, что ит! < оо. Предположим теперь, что ~~ р, < оо. Тогда, полагая и -и оо 1 ! в (7.8), получим Гл.
7. Классические примера цепей Маркова 230 Можно показать, хотя и достаточно сложно, что / т хт!! Игп И вЂ” (са — ог +,) =О. !и-Ф с ! ! Тогда, очевидно, м!= ХР!. ! ! Подведем итоги этого параграфа в виде следующей теоремы. Теорема 7.1. Рассмотрим процесс рождения и гибели с параметрами с и 1г„, и ~~ 1, Ха = О, так что 0 является поглощающим состоянием. Вероятность поглощения в состоянии 0 при начальном состоянии и! равна (7.9) Среднее время до поглощения равно В оо, если ~ р! = оо, ! ! !и -! ,)~~~ р,+ ~~) Ц вЂ”" ~ ри если ~рс(оо, ! ! г-! с- +! ! ! (7. 10) чч чч Ма х =Л~(-'„)''=~1~~"~= ! 1 ! ! с-о а х/и — — с($ = — ! ! и (1 — Ь) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
