3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Х й а. пРимеРы пРОцессОВ РОждения и ГиБели Пример 1. Линейный рост с имлсиграцией. Процесс рождения и гибели называется процессом с линейным ростом, если Х, = ),и + а, 12„= 1сп, где Х ) О, 1с) О, а ) О. Такие процессы возникают при изучении биологического воспроизведения и роста популяций.
Если состояние и описывает текущий размер популяции, то средняя мгновенная интенсивность роста равна Хп + а. Если Хпо = о, то с необходимостью ро = О и все р; равны нулю. Следовательно, не существует предельного стационарного распределения. б б Примеры ороцеееов рождения и гибели 219 Аналогично вероятность того, что состояние процесса уменьшится на ! за малый промежуток времени, равна рп1+ о(1). Коэффициент ).н соответствует естественному приросту популяции размера и, в то время как второй коэффициент а можно интерпретировать как инфинитезимальную интенсивность роста популяции за счет внешнего источника, такого, как иммнграцня.
Коэффициент 1еп, который равен средней инфинитезимальной интенсивности гибели в популяции размера п, имеет очевидную интерпретацию. Если подставить эти значения ),„ и р в (5.3), то получим Р',о (() = — пР м (1) + 1лРн (1), Р;';(1) = (А(1' — 1)+ а) Рьг ~ (() — ((й+ р)1+ а) Рп(1)+ +р 0+1)Рьг (1), 1)1. Если теперь умножить 1-е уравнение на 1 и просуммировать уравнения, получим, что среднее М[Х (1)) = М (1) = ~ 1РП (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению М'(1) = а+(г.
— р) М(1) с начальным условием М(0) = 1, если Х(0) = й Решение этого уравнения имеет вид м (г) = а1 + 1, если л. = 1е М (1) = (е'х-Юг — Ц вЂ” (е~х-ш ', если 1 чьге. л — н Второй момент или дисперсия могут быть найдены аналогично. Интересно заметить, что М(1)- оо при 1- оо, если г,) 1е, в то время как при 1, < и средний размер популяции при больших 1 примерно равен Пример 2.
Образование очереди. Процесс образования очереди является процессом, в котором клиенты прибывают в некоторое определенное место (обслуживающий прибор), где им оказываются услуги какого-либо рода, например окно кассира в банке нли место около кассира в магазине самообслуживания.
Предполагается, что интервалы между прибытиями клиентов (поступлениями требований) и время, которое проведено данным клиентом на обслуживании, управляются вероятностными законами, Гл. 7. Классические примеры целей Моркови Длину очереди в данный момент времени ! обозначим через х(!) ').
Если в описании общего процесса рождения и гибели положить Х; = ). для всех й то получим простой частный случай процесса обслуживания с непрерывным временем. Состояние системы при этом интерпретируется как длина очереди, в которую поступают клиенты через независимые друг от друга интервалы, имевшие экспоненциальное распределение с параметром )., и для которой продолжительность времени обслуживания очередного клиента является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром р„, который может зависеть от длины очереди. После завершения каждого акта обслуживания длина очереди убывает на 1, а при каждом поступлении очередь увеличивается на 1.
Классический случай одноканальной системы (системы с одним обслуживающим прибором) соответствует !хт = р, !)~1, т. е. каждое время обслуживания имеет одно и то же экспоненциальное распределение с параметром р, не зависяшим от длины очереди. Классическая модель телефонного узла может быть сформулирована как система обслуживания, описываемая процессом рождения и гибели, с бесконечным числом обслуживающих приборов, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним н тем же параметром !ь так что !х, = !р, ! ) 1.
Это обосновывается следующим образом. Предположим, что очередь состоит из ! клиентов, тогда, поскольку число обслуживающих приборов неограничено, все клиенты одновременно обслуживаются. Далее, врелтена обслуживаяия каждого из них независимы и экспоненциально распределены с параметром р. Отсюда следует, что вероятностное распределение времени до того момента, пока по крайней мере один из клиентов закончит обслуживаться (т.е. времени до момента уменьшения очереди на !), также является экспоненциальным, но с параметром !р (читатель должен доказать это). Кроме двух рассмотренных частных случаев, можно рассмотреть другие многочисленные модели обслуживания, выбирая соответствуюшим образом параметры рж Например, система с 'и обслуживающими приборами, каждый из которых имеет экспоненциально распределенное время обслуживания с одним и тем же параметром р, соответствовала бы случаю рх = йр прн ! <й <п, !хт = и!х при т ) и.
Для случая одного обслуживаюшего прибора при Х < р стационарное распределение легко находится. Действительно, в этом ') Под «очередью» здесь и ниже понимается число клиентов, находящихся в системе обслуживания, т. е. суммарное число обслуживаемых и ожидающих обслуживания клиентов. — Прили перев.
З 6. Прилгерег ирояессов рождении и гибели 221 случае ЛаЛ, ... Ли , Г Л )и пл нн" р. (н! откуда ~ — ), п)0, т. е. получили геометрическое распределение со средним Л(р — Л)-'. Для модели телефонного узла Л = Л, р = пр и легко получить, что — (В' Л Получили известное пуассоновское распределение со средним —. н Как и в примере 1, легко показать, что () 2~1 и() удовлетворяет уравнению М' (() = Л вЂ” и М (1), решение которого имеет вид М(г) = — (1 — е-и')+ ге и'. Л н Если положить 1- оо, то М(г) — и —, которое равно среднему зна. н чению стационарного распределения, приведенному выше, П р и м е р 3 Некоторые генетические модели.
Рассмотрим популяцию, состоящую из гУ индивидуумов, которые имеют либо гены а, либо гены А. Под состоянием процесса Х(1) будем понимать число индивидуумов с генами а в момент й Предположим, что вероятность того, что состояние изменится за интервал времени (г, г+ й), равна Лй+ о(й) и не зависит от Х(1), а вероятность двух или более изменений за время й равна о(Ь). Изменения в составе популяции происходят следующим образом. Индивидуум, который должен быть заменен друпгм, выбирается из популяции случайным образом.
То есть если Х(1) =1, то индивидуум с геном а отбирается для замены с вероятностью 1/У, а индивидуум с геном А — с вероятностью ! — //йГ. Мы будем называть данную замену «гибелью». Далее, «рождение> происходит по следующему правилу. Из популяции делается еще один случайный выбор, с тем чтобы определить тип нового индивидуума, который займет место погибшего.
В модечи вводится мутационное давление, которое создает возможность того, что тнп Гл. 7. Классическгте примеры пепел Маркова 222 нового индивидуума может измениться после рождения. Именно: пусть у, — вероятяость того, что ген а мутирует в ген А, и у, — вероятность того, что ген А мутирует в ген а. Вероятность того, что новый индивидуум, добавленный к популяции, имеет ген а, равна (6.1) Эта формула получена следующим образом, Вероятность того, что будет выбран ген а и не произойдет мутации, равна т (1 — у,).
1 Кроме того, новый ген индивидуума может иметь ген а, если будет выбран ген А, который затем мутирует в ген а. Вероятность этого события равна (1 — — ) уз. Комбинация этих двух возможностей 1! й!" дает формулу (6.1). Мы утверждаем, что вероятность события Х(1+) — Х(1) = 1 при условии, что в момент 1 имело место изменение состояния, равна [! — ) [+(1 — у,)+ (1 — +) у,], где Х(1) =1. (6.2) В самом деле, число индивидуумов с геном а увеличивается только в случае гибели (замены) индивидуума с геном А. Вероятность этого равна (! — — ! .
Второй сомножитель есть вероятность 1) л,! того, что новый индивидуум имеет ген а (см. (6.1)). Аналогично вероятность того, что Х(1+) — Х(1) = — ! при условии, что в момент 1 произошло изменение состояния, равна ф[[1 — ф) (1 — у)+ уу,], где Х(1) =1. Описанный вероятностный пропесс является, таким образом, процессом рождения и гибели с конечным числом состояний'), ннфинитезимальные интенсивности рождения и гибели которого равны соответственно при числе индивидуумов с геном а, равном 1, 0 (1 < йг.
') Определение процессов рождения н гибели было дано для случая бесковечного числа состояний. Случай конечного числа состояний более прост, и необходимые изменения в определениях н анализе предлагается сделать читателнз, б б, При.иере! процессов рождения и гибели Хотя зги параметры кажутся довольно сложными, интересно посмотреть, чтб произойдет со стационарным распределением (пи] о при й!'- со и вероятностях мутации для отдельных индивидуумов У, и Ум стремящихся к нулю так, что УгЛг- иь У,М- к,, где О < к!, кг < со. Одновременно мы будем считать состояние процесса изменяющимся на отрезке [О, !], принимая в качестве него —, т.
е. долю индивидуумов с геном а в популяции. Чтобы ! ы' найти плотность состояния х, О < х < 1, оценим пи при й- оо, где й = [я!У], а [хгу] — наибольшее целое число, не превышающее хй1, Имея зто в виду, запишем Лг =, (1 — У! — У,)1 [1+ —. !, гДе а =, л !!у — !) . ! а ! Лгт! У! У! л(л -О .г ь !УУ! Рг= у, (1 — У,— Уо)1!1+ „. !! где Ь= ! !У вЂ” 1! г-У!-У! ' Тогда !пни ~ 1п Лг — лг 1и Рг — — ~ !п '[! + —,)— г-о / ! ! ! я-! — ~~ !п '[! + —.) + 1п Ка — 1п(йг — lг) Уг [1+ —,й1. Используя разложение хг хг ! п (1 + х) =- х — — + —. — ..., ! х ! < 1, 2 3 можно записать ~~~~~! п '[! + —.) = а ~~~ —.-]- с,, ! ! где сд имеет конечный предел при й- ио. Следовательно, исполь- зуя соотношение — 1п й при Х ! ! ! имеем ~~~~~!и[1+ —.) 1пй" +си при й-+во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
