3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поэтому сумма й при (й = й (О) ) л е равномерно ограничена при О > О. Очевидно, й = й(О) возрастает до бесконечности при О (, О, а отсюда и следует сходимость ряда ~Ч" прл/ М (Е). Чтобы л ! !89 б 3 Правые регулярньсе иоследовате тьности завершить доказательство теоремы З,З, мы должны показать, что при= 1пп ф в.+о сй и-о (3.20) и выберем Дс(е] такиь!, что ~и~~ при<а/2. Послед. и-и+! как мы уже показала, ряд ~ЧР~ ири сходится.
Далее, и о Для этого зададим е > 0 нее возможно, поскольку, Рп( !8 )+ ~3 Рп( !8 ) ~~3 ири' и о и о и и+~ Так как )(егия — 1)7!8! ~ (и, то вторая н третья суммы ограаичены величиной е/2. Отсюда — ! ф(8)-1 аппп~ —.— М(Х)~~(1!ш гт ри~, — и| +е. !8 и о !!оп~ . — М(Х) ~(е. оьо !8 Выражение в левой части представляет собой фиксированное неотрицательное число; е > 0 можно выбрать произвольно малым. Отсюда вытекает справедли- вость соотношения (3.20).
Й Теперь мы можем дать строгое доказательство соотношения (3.!7). Введем характеристические функции случайных величин Ми, Х! и М„ ~рлт (8) ~р„вса Р(Ми А), фх (8) - ~~~~ е! Р (Х! й) о ~р (8) ~ч~', ее Р (М„, А). п-! а— Отметим, что случайная величина М„! может принимать только неотрицательные пелые значения.
Очевидно, с. в. Х! и Ми ! ш!п(0, Х, Х +Х, ..., Х + +Ха+ ... +Хп) независимы, Кроме того, Ми ! и М,, ! одинаково распределены, так как Ми, определяется через Хз, Кз,..., Х точно так же, как М„ определяется через Хь ..,, Х„ ь При фиксированном й! сумма в правой части стремится к нулю, так как каждое ее слагаемое стремится к нулю. Поэтому !00 Гл. б. Последовательность сумм независимых величин Тан нак М„Хг+ М,, ! (это соотношение неявно фигурирует в (3.15)),то р (е)- р, (е) р (е). м„х, м„ Но фм(в) ~~~~ егп Р(М=Ц= а -а — 1 = ~~~ етаВР(М+=у)+ ~~~~ егпаР(М =й)+Р(М=0).
и ! ь-- Тан нан Р(М=0)=Р(М~~ О)+Р(М(0) — ! = =Р(М =О)+Р(М+=О) — 1, мы можем записать предыдущее соотношение в виде а-е р (Е)-. Ч~', Е™ЬЗР!ем+=у)+ в!пер(М =й) — ! а-е - р + (е) + р (в) — !. м м Подставляя это соотношение в (3.21), получаем р +(е)-1- р (в)(р, (в)-1). !3.22) Поделив обе части ва 10 и устремив Е-ье, получаем чх1 (в) — 1 в~ е так как М(!Х~!) < оо. (Формальное доказательство этого предельного соотношения проводится тан же, как и доказательство соотношения (3.20) в теореме З,З.) Очевидно, 1ппгр (Е) = 1, и из (3.22] следует, что в.+о р „ (е) — ! 0~(!!гп =М (Х,)(оо.
(3.23) „,, в Тан как М' — неотрицательная д.с.в., мы можем воспользоваться теорелшй З.З, из которой следует, что предел в (3.23) равен М(М") и, таким образом, М(М') М(Х ). Нам потребуется следующая лемма. Л е лг и а 3.!. Пусть ег (1( О) есть вероятность того, чго процесс (3„), отправляясь из состояния г, на первом шаге окажется в одном из положительных Из определений следует, что Мп-ьМ и М„1-ьМ при п-ьпо (сходимость понимается нак сходимость в смысле распределений). В силу критерия сходи- мости П. Леви (стр.
16) имеем ц (е) -,рх (е) р (е). (3.21) !9! д 3. Правые регулярные последовательности состояний и после этого никогда не окажется ни в одном отрицательном состоннии. При г > О вероятности ег полагаются равными нулю. Тогда о е, - М (Х,). а Д о к а з а т е л ь с т в о. Из самого определения вероятностей ег следует, что Р (гп((дь дг, ...) > — 1)-Р(64'>- 1), О, г> О. Далее, о а е,= Чр, Р(М" > — 1)= ~ЧР~ Р(М+>!)= 1-а Р(М' = й)= ~ Р(М+ = 1г) Чр, ! = М(М') =М(Х,). 1-а ь=1+г ь=а 1-а Лемма доказана. ° Пусть У(1) =Р(5л>О для некоторого л) ! )5ь=г), гг ьэ у (1) ~чР~ ,У', Р!" еэ — — ~ ', еа ~ У', Ргга л-гь Ь вЂ” г л 1 ( еь ~~ч~~ Рггь! — 6га~ - ч", бгьеа — ег ь-- -а а-- (3.24) (дг, — символ Кронекера), Доказательство Теперь мы можем доказать теорему восстановления.
теорем ы 3.2. Из определения бы следует, что Х Рга Х РК~~-Х Ргг""-бгу-дг1. А л-а л-а Х Ргаба1- (3.25) Так как бы < ба, (лемма 1.1), то с помощью диагонализации (см, доказательство теоремы 3.1) мы можем выделить подпоследовательность ((„), такую, что предел 1пп бб = фг ы.ь существует для каждого г. т е, !т(!) есть вероятность, отправляясь из состояния 1, оказаться на положительной оси. Рассмотрим те реализации процесса, которые выходят из состояния г и внлючают в себя неположительные состояния. По условию теоремы 3.2 М(Х,) = Р >О; поэтому в силу закона больших чисел такая реализация с вероятностью 1 мо.
жет быть в неположительных состояниях лишь конечное числа раз. Вероятность того, что процесс в последний раз находился в неположительном состоянии ва о л-м шаге, Равна ~ЧР~ Р",ьеь - ~~Р~ Р";нег! последнее Равенство следУет из опРеде. ь-- пения еэ для й > О. Перебирая все возможности, связанные с последним моментом пребывания в неположительных состояниях, получаем важное соотношение: 192 Гл. б, Г/оследовательность тулон независимыл величин В соотношении (3.25) перейдем к пределу при /, стремяшемся к бесконечности по значениям подпоследовательности (/ ); это даст Х / ырь 'рг ь причем (йь) — ограниченная последовательность. (Читателю рекомендуется само.
стоятельно убелиться в возможности предельного перехода под знаком суммы,) В силу теоремы 3.1 ограниченная регулярная последователыюсть (срг) является постоянной; пусть все ее члены равны константе к. Из (3.24] имеем )г( — ! )=~к'~ б ! ье,,— е; . а Так как О ! ь = 6 ь ! и ряд лт,', еь сходится, то ь Иш )г( — /гп)=а ~ е„=аМ(Х,) (в силу леммы 3.1). гп -Ь Но, очевидно, Вш )г ( — /м) = 1. Следовательно, а = 1/М(Х~). Если имеется другая последовательность /м -+ оо, обладавшая тем свойством, что 6- с/т сходится прн всех ~', то точно так же можно показать, что предел 11гп 0- м.ь г!гп =(М(Х,) !).
Танин образом, мы установили справедливость соотношения (3,13). Предельное соотношение (3.14) доказывается аналогичным образом. ЗАДАЧИ 1. Рассмотрим выборочное пространство, состоящее из и циклических перестановок набора (аь аз,..., а„); вероятность каждой перестановки равна 1/ж Для каждой точки х =(аь, аь+1, ..., аь+ ~), где по определению а„ы = аь 1 = 1...,, л — 1, пусть йг(х) обозначает число частичных сумм среди (аь, аз+аль„ аь + аз+1+ аь+з, ..., аь +... + аь+»), равных нулю, а М(х) — число различных частичных сумм.
Показать, что если ~~'~ а = О, то М(!/Аг(х)) = М(х)/а. с=! 2. Пусть Хь Хт,,, Х„... — независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке (О, !). Показать, что при О(~ а ( а !о! Р(Хг+ ° ° ° + Хо~<а) = ~„(- 1)/( . ) —. /и! (а-!)и (,/) н! /-о (а) обозначает, как обычно, наибольшее целое число, ьгеньшее или равное а. Указание; Применить индукцию по о. 3 (продолжение]. Пусть г — такой индекс, что Х~ + ... +Х, 1 ~~ а, Х1 + ..
+ Х, л а. Показать, что (о) М(г) = ~~(-!)/ . ' вв !1 !-о Задачи указание; доказать соотношение М(г)= ~ч~~~ Р(г>л)- ~и~~ Р(Х,+ ... + л о л-О + Х„( а) и затем воспользоваться результатол! задачи 2. 4. Пусть Хь Хь ...— последовательность независимых одинаково распределенных целочисленных случайных величин, а 5»-Х, + Х, + ... + Х,, й=1,2, — частичные суммы.
Как обычно, 5, О. Индекс л > 1 назовем лестничным, если 5„> 5, при / О, 1, ..., л — 1. Событие, состоягцее в том, что л является лестничным индексом, обозначим через». Определим Ул как момент (т. е. индекс) последнего наступления события Я, где гУ вЂ” номер текущего испытания. Пусть Уг' — момент первого наступления (й. Предположим, что Я происходит иа л-м испытании.
Показать, что число испытаний до следующего наступления !к не зависит от л н распределено, как (р'. 6 (продолжение). Доказать соотношение »М( ул) — ! Р «) '«41»М х л = Ю М " 1-1 ' 1-Р(!)э л 0 где и' «) = ~ч~~ Р (НГ = л) !л. л ! Указание: Использовать соотношение Р(Ул=й) =Р(Уь-й) Р(У„Ь=О). 6 (продолжение). Пусть ()«) = 1/(1 — Р«)». Показать, что (7«) можно представить в виде Гьч (г'«)- р 7 — „(М(У~)-М(Уа,)) . а-! Указание: С помощью результата предыдущего упрангнения вывести дифференциальное уравнение — -,Г, М(У.— Ул,) 1.— йи «) Ъ~ и«) л ! и решить его.
7. Пусть Хь Хз, ...— независимые одинаково распределевные целочисленные с в. Положим 5» 0 н 5ь Хг+Хз+ ° ° ° +Хь при а=1, 2, Пусть »„ — вероятность того, что процесс (5»» впервые вернется в нулевое со. стояние иа л-м шаге. Пусть у, — вероятность того, что на л-м шаге процесс бу. дет запил!ать новое состояние, т. е. 7» Р(5, Ф.5е, 5, ~ 5!, 5, чи 5ь ... . ° ., 5» чк 5 -1). Доказать, что ул Р(5~ФО. 5г~ьО, ..., 5~ФО). Выразить у„через (Ц! ! для случая, когда М((Х,() < ле и М(Х,) О, 7 за». 9зз 194 Гл. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
