3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Длительности пребывания Тп — независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение с параметром Х. Строгое доказательство этой теоремы будет следовать из более общих рассмотрений $ 4 гл. 8. Из определения процесса следует большее, нежели утверждение этой теоремы. Так, время до ближайшего изменения Х(!) имеет точно такое же распределение, если его отсчитывать от любого момента, а не только от момента предыдущего скачка. Иначе говоря, Р (Х (!о + т) — Х ((е) > О) = ! — е-хт, ') Принят также. термин «чисто случайный процесс». — Прим, ред. ') В оригинале «Ага)йнк ))гне» (длительность ожидания).
— Прим, перев. у 2. Лополнителапые сведенип о пуассоповскиы процессах йбо что было получено в 5 1. Это свойство можно получить и непосредственно. Пусть Р(х) = Р(Х(!о+ х) — Х((с) > 0), где 1а — некоторый момент времени, зависящий, возможно, от истории процесса 'до этого момента, значение которого не изменяет данной вероятности'). Тогда Р (х + у) = Р (Х (1, + х + у) — Х ((о) > О) = = Р (Х (!а + у) — Х (!о) > 0) + Р (Х (1о + у) — Х (!з) = 0) Х Х Р(Х(!о+ х+у) — Х(!о+у)>0! Х(!а+у) — Х(Уо) =0) Из определения Р(х), независимости приращений пуассоновского процесса и того факта (который является исходным предположением при определении пуассоновского процесса), что Р(Х (У~+ х) — Х(!о) > 0) не зависит от !а, получаем функциональное уравнение Р (х + у) = Р (у) + !1 — Р (у)] Р (х). То, что это уравнение определяет экспоненциальное распределение, доказывается в следующей теореме.
Теорем а 2.2. Если Р(х) — такое распределение, цто Р(0) = 0 и Р(х) (! при некотором х > О, то Р(х) является экспонгне4иальным тогда и только тогда, когда Р(х+ у) — Р (у) =- .Р (х) ]! — Р(у)] ри всех х, у > О. Д о к а з а т е л ь с т в о. То, что экспоненциальное распределение удовлетворяет условиям теоремы, проверяется непосредственно. Чтобы доказать обратное утверждение, положим 6(х) = = 1 — Р(х). Тогда условие (') примет вид 6(х+ у) =- 6(х) б (у). (2.1) Очевидно, 6(0) = 1, 6(х) — невозрастающая функция и 6(х) > 0 при некотором х > О. Предположим, что 6(х,) = 0 при некотором ха>0.
Из (2.1) следует, что 6(хо)=~6( — '!! для всякого целого (,и тз и > О. Следовательно, 6( — „') =О. Но тогда из (2.1) следует, что 6(х) = 0 при х> — '. Так как п произвольно, то 6(х) = 0 при всех х > О, что противоречит сделанному предположению. Таким ') Смысл этой кажущейся неясной фразы будет нояснен нрн обсужденнн но. натан «марковское время», См.
$4, гл. 8. Гл. 7, Классические прил«ерм пепел Маркова 266 образом, 6(х) ) 0 при всех х ) О. Далее, для любых целых т,п) 0 из (2.1) легко вывести, что 6( — „1=[6 (1))л Так как 6(х) и [6(1)) — невозрастающие функции, совпадающие при всех рациональных х, и [6(1))" непрерывна, то отсюда следует, «гто 6(х) =[6(1)) =ехр(х!и 6(1)) при всех х ) О. Но г(х) — функция распределения, поэтому !!гп 0(х) =! — !!гп г" (х) = О, откуда 6(1) < 1. Следовательно, 6(х) =е '", где 7«= — !и 6(1)) О. ° Другое доказательство в предположении, что 0 дифференцируема, следующее.
Заметим, что из (2.1) получается 6' (х + у) = и 6 (х + у) = 6' (х) 6 (у), 0(х) 6 (у) = — 6(х+ у) — 6 (х+у) и, следовательно, 6'(х) = а6 (х), (2.2) где а= 6'(уа)[6(ус)) ' прн некотором ув, Решением уравнения (2.2) является 6(х) скольку 6(0) = 1 — Р(0) = 1. Параметр а 6(х) < 1 при некотором х ) О. таком, что 0(ув) ~ О. =Ае'", и А = 1, по- отрицателен, так как Б. Равномерное распределение г-! 2-О Имеем следующий результат. ТеоРема 2.3.
Длл любых чисел зь 0<з! <за «... за<1, ел-! ел Р(Я!~а„1=1, ..., п[Х(1) =п) = — „)' ... ~ )' с(х„... агх„ л л Л 2 Л вЂ” ! Класс распределений, связанных с пуассоновским процессом, не ограничивается пуассоновским и экспоненциальным распределениями. Мы покажем сейчас, что возникают также равномерное и биномиальное распределения. Рассмотрим моменты времени [5!), когда происходят изменения Х(г), т. е. Е 2. Дополнительные сведения о пуассоповгких процессах 207 что является распределением порядково!к статистик иэ выборки объема и, взятой из равномерного распределения на [О, г)!).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство является простым следствием теоремы 2.1. Действительно, РР2~(З2, ~2~(эз, ! ~л~(эл ~(7)=П) =Р(7о~(з2, 7а+ 72(~эз ° ..! Т,+... + Тл-т~(элт 7а+... + Тл) т) 3! и -2, 23-(2>+22) лл (гт+ "+! !)» ~ д +! -2(22+ ...+!я+,), а е о о г-(2+...+! ) 3! 32 2! 33 (22+22) 'л ('2+"'+гл-!) = )222е / )с )г ... )с е ~(~! "'+тл) )с а е о о 1 у( [ — — акр( — й(„+!)~ г-(22+" +тл) ! *2 1 3 ( ! 2) Л ( ! ''' Л !) =Л"е<м) ) Г ...
) д(„... д(,. о е о е Если ввести новые переменные ил=(,+ ... +(„, ил,=(2+ ... +(л и, = (ь то последнее выражение примет вид 3! 32 23 гл )."е" )Т ~ )Г ... )С с(ил ... Ыим О л! л и л-! Но Р (Х (1) = п) = е ях —. (21)л п) ') Это означает следующее. Возьмем п везависимыя наблюдений (реали. заний) случайной величины, которая равномерно распределена на отрезке 10, 11.
Пусть У, < У, « ... У„ — наблюдения, упорядоченные по величине, Тогда совместное распределение величин Уь ..., У в точности совпадает с выраже. инеи, приведенным в теореме, Локазательстао этого факта весьма простое, но более подробное обсуждение дано в гл. 9. рл 7. Классикеские лрииеры целей Маркова Следовательно, Р(Ч18~5е<зеуЯл(за~ Х(()л) 5~ в сл Р% ~<во ..„Як<с„, Х(О л) л( Р(Х ()) =л) 0 и! ил 1 В. Биномиальное распределение Из свойств пуассоновского процесса следует, что при и < с и л<л Р(Х(и) = й[Х(() =л) = = Р (Х (и) = й, Х (() — Х (и) = л — й) [Р (Х (с) = и)[ 1 О )л-и И (л — к)) (2.3) л ) ии (( — и)" (>' «) (л -ы г' в л( Второй пример, в котором играет роль биномиальное распределение, можно получить, рассматривая два независимых пуассоновских процесса Х,(() и Хе(с) с параметрами 4 и Хь Именно: Р(Х,(й=й, Х,(й-л-й) Р(Х~ ()) )с[ Х1(() + Хе(г) = л) Р(Х (О+Х О) ) (х1с)' (л,й -и ехр (- Х,() — ' ехр ( — Хай М л-и ехр (- (1, + х,) О л! й 3.
МОДЕЛЬ СЧЕТЧИКА Интересным применением пуассоповского процесса является следующая задача. Электрические импульсы случайной амплитуды Х, поступают в случайные моменты времени ~в (образуя пуассоновский поток) на детектор, реакция которого на каждый отдельный импульс в момент ( выражается функцией 0 при г <(с, Х, ехр [ — а (( — (,))е = Х,ехр[ — а(( — (~)! при 1 >(ь То есть в момент подачи импульса значение выходного сигнала равно амплитуде подаваемого импульса, а затем оно убывает по экспоненциальному закону.
Детектор является линейным (т. е. Ю 8. Модель счетчика аддитнвным). Так, если за интервал (О, () поступит йс~ импульсов, то значение выхода в момент 1 равно и(() = Х Хсехр(- а(à — сс))+. 1 Типичная реализация этого процесса имеет вид, показанный на рис. 1. мы хотели бы знать функцию распределения п(г) для каждого 1 или, что эквивалентно, ее характеристическую функцию р~ (ю) Рнс. н Предположим, что Х» — независимые и одинаково распределенные случайные величины с плотностью й(х) и характеристической функцией ф( ) ~ емлй(.) ~х о Положим )((о; () = Р(Ч(Г) < о)- Х Р(ь)(() < о! й~~ = и) Р(Л'г-и). (8.1) ь 0 (лб" Конечно, Р(й(, и) = е м „,, где )ь — интенсивность пуас. соновского потока, задающего моменты поступления импульсов.
Из теоремы 2,3 известно, что г; распределены, как упорядоченные наблюдения из равномерного распределения на (О, (), при условии, что Мс = л (т. е. на интервале (О, с) поступило л импульсов). Пусть тт (( = 1, 2, ..., У,) — независимые одинаково распределенные на (О, г) случайные величины, упорядочение которых по принимаемым значениям приводит к величинам 1;. Гл. 7, Классические лрныеры цепей Маркова 2»0 Далее, пусть Е», ..., ń— независимые случайные величины, распределения которых совпадают с распределением Х» и которые также не зависят от [т,]. Рассмотрим сумму ~ Х! ехр [ — а (1 — т,)]+. ! 1 Г Я„=Уь если т! — — шах(сь ..., т„)=1„.
Неопрсдслснность, которая возникает в случае равенства некоторых из величин т», не причиняет беспокойства, поскольку вероятность этого события равна нулю. Тогда и и ~ Я»ехр[ — а(1 — т»)] = ~л~~ Е»ехр[ — а(1 — 1»)]+, 1 1-1 поскольку эти две суммы отлича»отся лишь порядком слагаемых. Далее, так как случайные величины Х» являются независимыми, одинаково распределенными и также не зависящими от ть то легко проверить, что и Х! — независимые случайные величины, их функция распределения совпадает с общей функцией распределения величин Л», и они также не зависят от т».
Будучи независимыми от ть семейства (Л»] и [Х!], очевидно, не зависят от Гь Поскольку Л! обладают всеми свойствами величин Х», можно записать т»(1) = ~ Я»ехр[ — а(Š— 1!)] = ~ Е»ехр[-а(1 — т,)]+. ! 1 ! 1 ПОлОЖИм У»(!) = Х»ехр[ — а(1 — т,)] . Очевидно, при фиксированном ! с. в, У»(!), ! =!, ..., и, независимы н одинаково распределены. Определим теперь характеристическуюю функцию величины У» (й) ! О! (з) = ]г е"'а» Ь; |г) Ф, и Определим новые равенствами: Х» = Х», если l с.н = Хь если l ! случайные величины Е», ..., Я„следующими т! — — ппп(ть ..., т„) =11, т! — — 1» — второй по величине член из (т!), З 3.
Модель счетчика где ус(у; гс) — плотность величины Ут(!о). Поскольку то равномерно распределена на (О, !) н ть и Уь независимы, то ]г дт(и, Уг) с(и= Р(Ус(А)(у)= Р ]Яьехр( — а(! — то)]+ (у) = о с = ]г Р (еьехр( — а(! — ти)]„((у! то = и) — = о = ~ Р(Еь(уел<'-">] — = — ] Н(уе'!' "')с(и, (3.2) о о где Н вЂ” функция распределения, соответствующая плотности й. Дифференцируя (3.2), получаем ст (у. гс) ] Гс (уеа(т-и)) еа(т-и! с(п ! г г ] о Следовательно, / ь(Ч- !,""е[д; ь!ет- — !'е - ~ (,-ь!теа«-«!ет]е„ ! г о о о (при замене переменных уе"" "> =г) = — ] с!и ~ехр(сз(е-и(г ыг)]Ь(г)ссг= (в силу определения ф) г о о с г г = — ] ф (зе "'е'"") с(и = (положим о = ! — и) = — ] ф (зе '") сто. -г] Отсюда если г(х; !) — плотность распределения Я (х, ~), то срс(в) = ~ е' г (х; () с(х = о ю т > х( л-о о l (в силу независимости величин у,(!о) при фиксированном Лг,) Э !т л = О~~~ е "' — (Лс)" (Ос (ы) ]л =,)~~ е ы —, ] Л ] ф (ве "') сто ) л о л-о о -.*т(!-ь ] П -ч! .--)!е.~.
° о Гл. 7. Классические прил~еры цепей Маркова 212 Дифференцируя по ю, можно вычислить моменты п(1). На. пример, М[Ч(1))=( — ') — „" р (ю)~ =Л( — ')ф'(О) ~а-"'гЬ= о -ае =- ЛМ (~а) й 4. ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ Одно из очевидных обобгцений процессов чистого рождения, обсужденных в 2 1, состоит в том, чтобы позволить процессу Х(1) как возрастать, так и убывать, например, из-за гибели членов популяции. Таким образом, если в момент 1 процесс находится в со. стоянии и, он может через некоторый случайный отрезок времени перейти в любое из соседних состояний п+! или п — !. Возникающие при этом «процессы рождения и гибели» могут рассматриваться как процессы с непрерывным временем, служащие аналогами случайных блужданий (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
