3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Заметим, что правая часть не зависит от х. (2) Р(Х(1+ Ь) — Х(1) =О( Х(1) = х) = 1 — 1'Ь+ о(Ь) при Ь,(0. (3) Х (0) =: О. Эти свойства легко проверить непосредственным вычислением, поскольку имеются точные формулы для всех рассматриваемых вероятностей. Б. Примеры пуассоновских процессов (а) Можно проиллюстрировать пуассоновский процесс на примере процесса ловли рыбы. Пусть случайная величина Х(1) обозначает число пойманных рыб за временной интервал (О, 1). Предположим, что общее число рыбы, имеющейся в наличии, весьма велико, так что «завзятые» рыбаки имеют не больше шансов поймать рыбу, чем все остальные, и что интенсивность клева не зависит от времени, При этих «идеальных» условиях процесс (Х(1), 1)~ О) мохсно считать пуассоновским.
Этот пример поясняет марковское свойство (вероятность поймать рыбу не зависит от числа уже пойманных) и свойство независимости от времени ожидания'), которое является наиболее характерным свойством пуассоновского процесса; оно означает, что рыболов, только что прибывший на рыбалку, имеет такой же шанс поймать рыбу за определенный отрезок времени, как и тот, который уже просидел четыре часа безуспешно.
(б) Менее искусственный пример связан с задачами, возникающими в теории счетчиков. Если Х(1) — число радиоактивных частиц, зарегистрированных счетчиком Гейгера за временной интервал [О, 1), то этот процесс является пуассоновским при й много меньших полупернода распада вещества. Отсюда получается, что вероятность распада за единицу времени можно считать не меняющейся с течением времени. ') В оригинале «по ргегпыгп 1ог иа111пп ргорег1у», т.
е. дословно <свойство отсутствия поонгрения аа ожидание». — Прим, перса. 200 Гл. 7. Классиивские примеры мелей Марково (в) Пуассоновские процессы естественным образом возникают во многих моделях образования очередей (массового обслуживания). В этих примерах наибольшее внимание уделяется моментам времени, когда Х(1) (длина очереди в момент т) изменяется, а не самим значениям Х(() '). Процесс ловли рыбы (см, пример (а)) является, конечно, частным случаем подобных моделей, В. Процесс чистого рождения Естественное обобщение пуассоновского процесса получим, до- пустив зависимость вероятности осуществления события в данный момент времени от числа событий, которые уже произошли; примером такого явления может служить воспроизведение живых организмов (отсюда и название процесса), когда при соответ- ствующих условиях — избытке пищи, отсутствии смертности, от- сутствии миграции и т. д.
— вероятность рождения в данный мо- мент прямо пропорциональна размеру популяции. Этот пример из- вестен как процесс Юла. Рассмотрим последовательность положительных чисел (),д). Определим процесс чистого рождения как марковский процесс. удовлетворяющий постулатам: (1) Р (Х (1+ Ь) — Х (1) = 1) Х (1) = Ь) = Ьдй+ оь д (Ь), Ь ~ О, (2) Р (Х (1+ Ь) — Х (1) О | Х (1) = Ь) = 1 — тсдЬ + оа, д (Ь), (3) Х (0) = О, (4) Р(Х(1+Ь) — Х(1)(0!Х(1)=Ь) О, Ь~)0. Постулат (3) введен только для удобства, В нем под Х(1) под- разумевается не размер популяции, а число рождений в интервале (О, 1) Заметим, что левые части (1) и (2) равны Рд, д+з(Ь) и Рд д(Ь) соответственно (вследствие .стационарности), так что оь д(Ь) и оа,д(Ь) не зависят от й Определим Р„(1) = Р(Х(1) = и), Точно так же, как и для пуассоновского процесса '), можно вывести систему дифференциальных уравнений относительно Р„(1) при 1 )~0 вида с начальными условиями Р, (0) = 1, Р, (0) = О, и ) О.
') Дия нуассоновского процесса такие моменты времени образуют пуасси. ковский поток. — Прим. перев. ') См. ги. 1, $2. — Прим. перев. 4 Л !троиессы ыистого рождения и пуиссоновские прочессы 201 В самом деле, если Ь > О, и)~1, то, используя формулу полной вероятности, марковское свойство и постулат (4), получим РЯ+ Ь) = ~~,'з Рд (1) Р (Х (1+ Ь) = и ! Х (1) = Ц = е-о = Х Ре(Е) Р(Х(1+ Ь) — Х(!) =и — Ь! Х(!) = Ц= е-а л Х Ре (!) Р(Х(!+Ь) — Х(!) =и — Ь! Х(!) = Ц, и-о Далее, при Ь = О, 1, ..., и — 2 имеем Р(Х(1+ Ь) — Х(!) = и — /г! Х(!) =- Ц( (Р(Х(1+ Ь) — Х(!) )2! Х(!) = Ц= о, з(Ь)+оз з(Ь), или Р(Х(!+Ь) — Х(!)=и — Ь!Х(1)=Ь]=оз „,о(Ь), Ь=О, ..., и — 2, Таким образом, Рл(!+ Ь) = Рл(!)(1 — Лей+ оо л(Ь)]+ л-2 +Р.— (1)(Лл- Ь+оьл-г(Ь)]+ Х Ре(1) оз,.
о(Ь), е-а или Рл(1 + Ь) ! л(~) Рл(~)( Ллй+ о2, л (Ь)]+ + Рл, (!)(Лл,Ь+ о~ „, (Ь)]+ оп(Ь), (!.3) где, очевидно, Ит о„(Ь)/Ь = О равномерно по ! >( О, поскольку поо о„(Ь) ограничена конечной суммой ~ оз „ з(Ь), не зависящей о=о от й Деля на Ь и переходя к пределу при Ь ], О, получим соотношение (1.2), в котйром, если быть точным, в левой части нужно писать правостороннюю производную Однако, используя несколько более тонкие рассуждения, можно вывести такое же соотношение для левосторонней производной. В самом деле, из (1.3) сразу следует, что Рл(!) — непрерывная функция й Заменяя в соотношении (1,3) ! на ! — Ь, деля на Ь и переходя к пределу при Ь у О, найдем, что каждая функция Рл(!) имеет левостороннюю производную, которая также удовлетворяет уравнению (1.2). Первое уравнение в (!.2) можно решить сразу и получить Ро(1) = ехр( — Ло() > О, Га 7.
Классикеские примеры цепеа Маркова 202 Обозначим через Т» время между А-м и (Уг + 1)-м рожде. ниями. Тогда Г и-! и Р„(!)=с ! а с!< !< а с, ) с-О с-О »-! Я» — ~ Т, — время !е-го рождения. с-О Ыы уже видели, что РО(!) = ехр ( — ЛО!). Следовательно, Р(Т,(г) = 1 — Р(Х(г) =-О) = 1 — ехр(- Лов), и-! юрп (в) = М (ехр (!ге 5„)) = П М (ехр (!вТ»)) = Д ( л, ) . (1.4) »-О »-О В случае пуассоновского процесса, когда Л» = Л при всех й, из (1.4) видно, что величина Я„распределена в соответствии с гам. ма-распределением порядка и со средним и/Л.
При конкретных значениях Л» )~ О можно последовательно проинтегрировать уравнения (1.2): Р» (!) = Л» ! ехр ( — Л»!) ) ехр (Л»х) Р» ! (х) с(х, Уг = 1, 2... „ О откуда ясно, что все Р»(!) )~ О. Но еще остается возможность того, что ~ Р„(!) (!. Чтобы гарантировать регулярность процесса, т. е. дать критерий того, что будет ~2~ Р,(!)=1 для всех Г, мы должны ограничить п=с Л» условием ~Р(!) .1 С и О и О (1.5) т.
е. ТО имеет экспоненциальное распределение с параметром ЛО. Из постулатов (!) — (4) можно вывести, что величины Тм (е) О, также имеют экспоненциальные распределения с параметрами Л» и что они взаимно независимы (см. $ 3 гл. 8, где дано формальное доказательство этого факта) . Следовательно, характеристическая функция величины 5, равна В П Процессы «истово уолсденпя и пуассоновскис процессы 203 Доказательство этого дано в книге Феллера ') и здесь не приводится. Интунтнвные соображения в пользу этого результата следующие. Время Тп между последовательными рождениями, как показано ниже, распределено экспоненциально с параметром Хм %з 1 Следовательно, величина т — равна среднему времени до того ;?~ х.
п 1 — Р, Рп (!) п 0 момента, когда популяция станет бесконечной. Но есть вероятность того, что Х(1) = оо, Если ~~Л„'(оо, то среднее время, за которое популяция становится бесконечной, конечно. Поэтому правдоподобно, что при этом для всех ! > 0 вероятность того, что Х(1) = оо, положительна. Г. Процесс Юла Процесс Юла является примером процесса чистого рождения, который возникает в физике и биологии.
Предположим, что каждый член популяции в интервале времени длины 6 с вероятностью Вп+ о(й) порождает нового члена ([1 > 0). Кроме того предположим, что в момент 0 в популяции имеется У членов. Предполагая независимость и отсутствие взаимодействия между членами популяции, получим в силу биномиального закона Р (Х (1+ Ь) — Х (!) = ! ~ Х (!) = и) = = ( +1Ж) [[)й+о(й)[[! — йй+ 0(й)Г = (и + 1«') [16 + оп (6), т. е, в этом примере л = (и + й1) й.
Система уравнений (1.2) в случае, когда У = 1, принимает вид Р„(1) = — 0 [(и+!) Рп (1) — пР„~ (!)[, и = О, 1, с начальными условиями Ре(0)=! Рп(0)=0 и='1, 2, Ее решение равно Рп(г)=в Вс(1 — е Вс!и п>0 что можно проверить непосредственно. ') Фелле р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, 2-е ивд, т. 1, «Мир», М., 1964. Гл.
7, Клпссп««скпв примеры Ченел Марковн 204 й 2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПУАССОНОВСКИХ ПРОЦЕССАХ В предыдущем параграфе мы определили пуассоновский процесс системой допущений (постулатов), которые довольно хорошо описывают многие реальные ситуации.
Этот процесс часто называют абсолютно случайным процессом'), так как он «распределяет» точки «случайным образом» на прямой (О, оо) совершенно аналогично тому, как распределяются точки при равномерном распределении на конечном интервале. В частности, вероятность наступления события в некотором интервале является функцией лишь его длины, а количества событий, происходящих в двух непересекающихся интервалах, являются независимымн случайными величинами. Рассмотрим теперь пуассоновский процесс более подробно.
А. Характеристическая функция и длительности пребывания ') Характеристическую функцию пуассоновского процесса Х(!) можно записать в виде »» еьг(ш)=М(е' хп!)= )~~е ы е'""=ехр(й((ег — 1)). и-о Таким образом, М(Х(»)) = Х1, ат(Х(!)) =лг, При обсуждении процесса чистого рождения мы показали, что Р(То~~а)= 1 — ехр( — ~.ог), и упомянули, что Ть имеет экспоненциальное распределение с параметром Хп и все Тп независимы. Для пуассоновского процесса Хь = Х при всех и, так что справедлива Те о р е м а 2.!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
