3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Теор ем а 3.1 Если марковская цепь (3,) с лгатрицей переходных вероятностей Р неприводима, и если последоватечгьность (ут)— правая регулярная, т. е. (уг) удовлетворяет условиялс уг>0, 1=О, (3.1) и РггУт=Уг, г'=-О, -~ 1, н-2, ..., (3.2) !-- причем (уг) ограничена, то у; = — сопя( при всех /. Д о к а з а т ел ь с т в о. Пусть ограниченная последовательность (у1) удовлетворяет условиям (3.1) и (3.2).
Пусть йо — любое состояние, отличное от нулевого и достижимое из него. Тогда существует такое и, что Ром>0. Зафиксируем йо и положим а=у у, 1=0 +1 ~2 Используя пространственную однородность процесса, мы можем написать с~ Р,туг-м =Я " г,махух= Х "; м дуь=уг е,, 8 3. Правые регулярявге последовательпости 183 Опять же в силу ограниченности (аг) из последовательности (г„) можно выбрать подпоследовательность (г!'1), такую, что существует !1тп х щ. В свою очередь нз (г1„'1) можно выбратьподпослеи+ +и довательность (г1„'1), для которой существует предел !пп а 1 и.
и 1, -1+си Затем из (г1 '1) выбираем подпоследовательность (г1„'1)„такую, что существует 1нп а 1а1. Продолжая таким образом, мы полуи+ ~+и чим ряд последовательностей (г1„"), (г1з'), (г1„"), ..., каждая из которых является подпоследовательностью предыдущей.
Существует последовательность, а именно (з„= г1„-м), которая является подпоследовательностью каждой из последовательностей (г„), (г1п), (г1„-п), (г1„"), (г1„-"), (г„"1), (г1„-'1), ..., начиная с некоторого члена. Действительно, (з„) является подпоследовательностью последовательности (г'о'), начиная по крайней мере с п - !р(. (Построение последовательности (а4) носит название процесса диагонализации.) В силу этого свойства (зи) и факта существования соответствующих пределов мы можем утверждать, что !пп а1+, =з' (3.5) и.+ и существует для каждого 1.
По построению (г„) (см. (3.4)) имеем а" = Итп а =- М, о г и-+ и (3.6) а в силу (3.3) г'= 11п1 з1+, < М, и-+ 1=0 .+ 1 л-2 Как мы уже видели, '1+гид 1='~"и т. е. последовательность (и ) = (у )" также удовлетворяет (3.2).. Следовательно, (ав) удовлетворяет условиям (3.2). Очевидно, (зт) ограничена, поскольку ограничена (у1).
Пусть М = зцр г1( оо и зцр!з! )= М'. (3.3) l Так как (зг) ограничена, мы можем выбрать последовательность целых чисел (г„), для которой !пи а, =М. (3.4) и.+ !84 Гл, б. Последовательность суме! независимых величин Переходя к пределу в обеих частях при п — о, получаем !пп ге+, —— . 1!щ,'Е~ Р„, !2,. = 1!гп,"., Р Р в г,. = а+ а а+ ~! — н' л.+ /=- ) = 1!щ ~ Реьа! н ь ч-- " '+'а (3.7) Мы сейчас покажем, что в правой части соотношения (3.7) можно перейти к пределу под знаком суммы. Для этого нам нужно показать, что для любого заданного а ) О существует целое число п(а), такое, что при условии, что п)~п(а). Выберем Е настолько большим, что ~ Ри< —,',.
~п>ь Затем выберем пв таким, что ь+е ь) 2 при — Е ( г( Е и всех п ) пе. Тогда при и ~ пе(е) ! ,2 е„1*„,.-*д(н (2М ~~~ Реь+с лье Рп1а!+~„— г! ~ н 2 + 2 = а. 1ь!>е, и!~л Установив правомерность перехода к пределу под знаком сум. мы, из (3.7) получаем 2,' = ~~'.~ Р,.ьач, (3.8) ! т. е. г" удовлетворяет условию (3.2), хотя не обязательно условию (3.1). Последовательно применяя соотношение (3.8), полу чаем ге=- ~2~ Р",г при всех п~ О.
Обращаясь к (3.6), мы видим, что предыдущее соотношение при ! = О дает Р,".а'.=-г,'= М при всех п )О. (3.9) ! = Г85 э д Правые регуллрные последовагельноста Левая часть в (3.9) представляет собой взвешенное среднее чисел, каждое из которых ( М. Поэтому равенство (3.9) может иметь место только в том случае, если для всех 1, таких, что Рог) 0 при некотором п )~ О, величина а* равна М. В частности, по определе! нию йв для любого положительного целого й В силу (3.5) и можно выбрать таким, чтобы все неравенства ге+, >М вЂ” е, г еп аг„+, )М вЂ” е, аг+,>М вЂ” з выполнялись одновременно. Складывая эти неравенства, получаем ( )< 2+с + 22+в + ''' + Я+с + (деев+ел дало+го)+ ' ' ' (дгесн гп д~г и во+го) дгааЕгп деп Так как д, ограничены, то существует такое К > О, что д; < К для всех 1.
Тогда, очевидно, 1(М вЂ” е) <2К. Поскольку это неравенство должно выполняться при любом целом г ) 0 и любом е ) О, М с необходимостью должно быть отрицательным либо равным нулю. Таким образом, д — д = з,. ~(0, или о дг (~д (3.10) для всех 1 и любого Ао, достижимого из нуля. До сих пор мы нигде не использовали условия (3.1), т. е. того факта, что д; > О. Нам потребовалось только, чтобы )д,~ были ограничены. Следовательно, мы можем провести все предыдущие рассуждения для последовательности (д'), у которой д' = — др Разумеется, (д') остается ограниченной и удовлетворяет (3.2). В этом случае (3.1 1) дг ~ )д~ 186 Гл.
б, Последовательность гдмл независимых величин длЯ всех) и всех состоЯний йз, достижимых из нУлевого состоиниЯ. Сравнивая (3.10) и (3.11), получаем у! Р1-а для всех !' н всех состояний мз, достижимых из нулевого состояния. В частности, У-ъ (3.12) для всех состояний Аз, достижимых из нулевого состояния, Теперь мы впервые за все доказательство воспользуемся предположением о неприводимости марковской цепи. Это предположение гарантирует, что все состояния достижимы из нулевого состояния. Следовательно, (3.12) выполняется для всех йз = О, -ь1, .ь2, ... и все члены последовательности (у!) равны константе уз.
И В звилючение этой главы мы применим теорему 3.1 для доказательства обобщенной теоремы восстановления для сумм независимых одинаково распределен. иых целочисленных случайных величии. Мы будем далее предполагать, что сум. мы 5„являются непериодическими д. с. в., т.
е. что наименьшая аддитивиая группа, порождаемая целыми числами й для которых Р(Х~ = !) > О, есть группа всех целых чисел. Мы дадим прямое доиазательство теоремы восстановления; однако несколько вспомогательных результатов, получаемых попутно, представляют самостоятель. ный интерес, а методы их доказательства типичны для задач о флуктуациях в теории сумм независимых д. с, в. Т е о р е м а Здс Если Я„= Х~ + Хз +...
+ Х„являются нелериодичесхилш д. с. а. и М()Х~!) < оо, а М (Х~) > О, то Пп ! Й~'с! ! М(Х)' (3.!3) я с (3.14) Для удобства разобьем доказательство на несколько этапов. Для любой ве. личины а положим а' = гпах (а, 0) и а = ппп (а, 0). Пусть М„=ппп (Яь 5ь . Ял). Поскольку последовательность М ие возрастает, предел !!щ М„!п1 (Зь Зз, ...) = М существует, хотя возможно, что М = — со. Однако, поскольку М(ХВ> О, усиленный закон больших чисел гарантирует нам, что Р(М- — ео)<Р(Юя(0 при бесконечно многих п)-0. Следовательно, М конечно с вероятностью !. Далее, М(Мл) М(пцп(Яь ..., Вв)) =М(Х, + ш!г.
(О. Хз, Х,+К,, ..., Хз+... +Ха)) = М(Х~)+М(ш!п(0, Хз, Ха+Ха, ..., Хз+ ... +Хл)). (315) 6 3. Правые регулярные последовательности 187 Наши рассуждения имеют одно слабое место: мы не знаем а рдоп', что М(М ) ) — ьь, а только в этом случае соотношение (3.16) имеет смысл. Чтобы восполнить этот пробел, нам понадобится следующая теорема, имеюшая и самостоятельный интерес.
Т е о р е и а З.З. Пусть Я вЂ” неотрицательная целочисленная с. в., т. е. Р(2 л) р„, л 0,1,..., ~~'~ рп 1, и ф(0) — ее характеристическая функл О ция, Предпгложия, что [ф (О) — 1)/!О = (1ПО) ~ рп (еглз-1) сходится к л О м (О < а < ьь) пРи О Э О. Тогда М(Я) - ~к~ ~пРп=а. и О Доказательство. Выделяя действительную и мнимую части выражения (ф(О) — 1)/16, мы заключаем, что (! — соз лО), %~ з!п пО 1!ш ~~рп О 0 и 11гп ~рп О =а. ООО~ ОФО'~ и О и-О Для любого фиксированного 0) 0 найдем наибольшее целое число й = й(0), удовлетворяюшее условию и/2 ) 60) О. В силу (3.!8) сумма ~Ч", рп (з1п лВ)/О равномерно ограничена при достаточи О но малых В.
Представим эту сумму в виде в Х -~ .Х з1п пВ жт з!п лО жт зш лО 0 фд Рп О + .ЛМ '" 0 и-О и-О п-а+! (з|п лО)/О, используя тот факт, что (э!п О)/В является убываю- 0 ~ В < и/2 (см. стр. 178): з!пО з!пи/2 2 и — ) - —, 0<0< —. 0 и/2 и ' 2 ' следует, что 0 < лО ~ (и/2 при 0 ( а ~(й. Тогда предыдушее Оценим снизу шей функцией при Из определения Б неравенство дает Х - Х зшлО 2 %'1 Рп ) бд г~рп. 0 -п,Й и О Так как Х; независимы и одинаково распределены, то последнее слагаемое есть не что иное, как М(М„!).
Устремляя и к сь, получаем М (М) = М (Х,) + М (М (3.16) (Читателю рекомендуется доказать возможность перехода к пределу под знаком математического ожидания.) Очевидно, М(М) = М (М+) +М (М ), откуда с учетом (3.!6) получаем М (М+) = М (Х, ). (3.17) 188 Гл. б. Г/осхедоэагельность сумм неэаэнсимых еелнчнн С другой стороны, для второй суммы в (3.19) имеем Х " О Х л й+! л-й+! Но 1 — (з(плО)/иО >! — (1/иО) >! — 2/и = Ь > О для всех л, таких, что лО > и/2.
Следовательно, Р - '— ~ Рл'[1 ) л й+1 л й+! е ! %Ч 1 à — 7 рл — [ (1 — сози$) дй( ЬО,УЙ! О ) и й+1 В" В л й+! В В ! Г %ч Г! — созпй1! 1дэ((перемена местами суммирования и интегрирования возможна. так как все члены неотрицательны) «-4 1 Х ' ';""' "'= В л-Е В о Но 1гп([ф(Ц вЂ” ![/!8) -нб при $ ) О в соответствии с (3.!8), и поэтому ее сред. нее значение стремится к нулю: 1!ю — 1 !т [ ф ( .) ! [ дв = О, о (Читателю следует доказать это.] Из полученных оценок следует, что вторая сумма в (3.19) стремится к нулю при 0 ) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
