3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 25
Текст из файла (страница 25)
По формуле Байеса имеем б 4. Иктгрпргтеяих обобщенных ттакяонаеных раскрсбелгьид 157 Метод введения обратного процесса применим всякий раз, когда имеется положительное (не обязательно сходящееся) решение системы (3.3). Этим приемом мы воспользуемся ниже в теореме 5.2. Как следует пз теоремы 3.1, решение системы (3.3) расходится в случае возвратного нулевого класса и сходится в случае возвратного положительного класса Интересную интерпретацию можно дать как сходяшемуся, так и расходящемуся решениям системы (З.З). Для возвратного положительного класса значения (о,),, пропорциональны стационарным вероятностям пребывания в соответствующих состояниях. В общем случае значения, можно интерпретировазь как стационарное среднее число частиц, находящихся в состоянии 1 при соответствующих условиях равновесия.
Точный смысл имеющегося в виду равновесия выявляется в следуюшей тсореме: Теор е и а 4.1, Предположим, что счетное число частиц независимо подчиняются марковскому процессу, заданно,чу матрицей Р = ~~РО11. Пусть д. с, в. А;(и) представляет число час иц, находящихся в состоянии 1 в момент и. Если А;(0), 1 = 1, 2,..., являются независилгыми д. с.
в., подчиняющилшся распределению Пуассона со среднилш о; соотве~ственно, где Х о,Р„= о„о;)О, то А;(и), 1 = 1, 2,..., также являются независильыми д. с. в, с теми же распределениями, что и соответствующие А;(0), 1 = 1, 2, 3 а м е ч а н и е. Когда мы говорим о бесконечном числе случайных величин, что они независимы и подчиняются распределению Пуассона, то зто означает, что любая их конечная совокупность обладает этим свойством.
Дока з а тел ьств о. Пусть Ль(п; 1) есть число частиц, находящихся в состоянии й в момент и, из общего числа частиц, пребывавших в состоянии 1 в момент п — 1. Определим векторы А(п) и А(п; 1) следующим образом: А(п)=(А,(п), Л~(п), ...), А(п; 1)=(Л,(п; 1), А~(п; 1), ...), тогда А(п) = ~ А(п; 1). Доказательство теоремы проведем по индукции, В силу индуктивного предположения (что д. с. в, А (и — !) независимы), а также потому, что частицы ведут себя независимо друг от друга, д. с. в. А,(п; 1), 1 = 1, 2,..., независимы при каждом фиксированном я. Мы покажем, что компоненты Ак(п; 1), я = 1, 2... каждого вектора А(п; 1) также являются независимымн д.
с. в., откуда следует, чтоАь(п) = ~Ах(п;(), (г = 1,2, ...,— независимые д. с. в, 158 Гл. б, Теоремы об отношениях яереходнвсх вероятностей оа ехр( — о,) — ', . (4.4) Ввиду обусловленности и независимого характера поведения частиц второй сомножитель представляет собой полиномиальное распределение, т. е. Р (Ая (п; !) =а„..., А„,(и; !) = а,(А,(п — 1) =а) = г ,т г ! ! — ~я~~ ~Рс! - .,~ и"....,~ (11! з'"1 ч=! (4.5) если,"У', а, > а. Под- Это выражение полагается равным нулю, ставляя (4.4) и (4.5) в (4.3), получаем Р (Лн (и; !) =а„Ая (и; !) = а„..., Ая (и; !) Д, ", ехр(— ч-! =а,(= осР нт ! а Х а ч ч г х ', .т(-,[! — ~',г„1)= 1 — ~~Рс Рсн о! г а — ~ а„( вс-! „(,1-.„, .„„,1~((-..
-) 1, г х р ( — , (! — й,' г, 1) . !4.е! нс ! Для любого конечного числа компонент вектора А(п; !) и целых чисел аь аь..., аг имеем Р (Ля, (п; !) = а„А,,(п; !) = ам ..., Ая (и; !) = а,( = = ~2~ Р(Л,(п-1)=а) Р(Ах, (и; !)=а„..., Ая (п; !)=а, ~А,(п — 1)=а). (4.3) По предположению индукции первый сомножитель общего члена суммы равен 4 5. Регдлярные последовательности яирковскик цепей !Бз Но данная сумма равна 1 (достаточно положить а =. а* + а и просуммировать по сс), так как она является суммой вероятностей частных значений для пуассоновского распределения с пара- метром 1 — ~~'.~ Ры ° оп Полученное в формуле (4.6) разложение показывает, что Ая(п; 1), й = 1,2, ..., являются независимыми с. в., подчиняющимися распределению Пуассона со средними (о,РН) соответственно. Следовательно, Ае(п)= ~~~з Ан(ГИ 1) — независимые с.
в. с пуасг-о соновским распределением и средними ~ и;Ры= несоответственно. г-о Поскольку по условию А;(О), 1 = 1, 2,..., независимы и имеют пуассоновское распределение со средними о;, то тем самым доказательство по индукции закончено, ° й 5. РЕГУЛЯРНЫЕ, СУПЕРРЕГУЛЯРНЫЕ И СУБРЕГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ Мы уже познакомились с несколькими критериями для определения возвратности, невозвратности и положительной возвратности марковской цепи (см теоремы 4.1 — 4.2 гл.
3) и применили их при изучении некоторых моделей из теории очередей. Условия этих критериев связаны с характером решений системы уравнений лил!Ры=$ь А=О, 1, 2, ..., г-о (5.1) либо системы уравнений ~~"„Р,ят1,=т!ь 1=0, 1, 2, я-о Современный подход к этой проблеме состоит в применении теории регулярных, суперрегулярных и субрегулярных последовательностей. Мы остановимся на наиболее простых аспектах этой элегантной теории, которая основывается на теории потенциала марковских матричных операторов.
Классическая теория потенциала привлекается при рассмотрении этих же идей в исследовании броуновского движения. Такое взаимопроникновение теории потенциала и теории вероятностей чрезвычайно плодотворно н в последнее время привлекло внимание исследователей, л л. б. теоремы об отношениях переходных вероятностей Пусть Р— заданная матрица переходных вероятностей, Будем говорить, что неотрицательный вектор (неотрицательная последо- вательность) н=(и(/)) является по отношению к Р правым регулярным (сокращенно т-регулярным), если ~л Рпи()) = и(!), с правым суперрегулярным (т-суперрегулярным), если ~еРс;и (1) ( и (1), г правым субрегулярным (т-субрегулярным), если ~Рми(1) ) и(1).
Правую суперрегулярную последовательность (и(1)) будем называть минимальной, если из условия 04$(1)4и(() (1)~0), где $(1) — регулярная последовательность, следует, что В(1) = си(с) при некоторой константе с. Неотрицательный вектор (о (1)),. будем называть левым регулярным (1-регулярным), если ~о(1)Р» -— о(1), левым суперрегулярным ((-суперрегулярным), если ~~,'ео(1)РП(о(/), левым субрегулярным (1-субрегулярным), если ~о(1)РП)о(1). Сначала мы докажем теорему о представлении правых регу- лярных последовательностей минимальными регулярными после- довательностями. Теорем а 5.1. Пусть н есть т-суперрегулярный вектор по от- ношению к Р.
Тогда предел а(1) = 1нп ~~'.,Рс"~и(1) л+ существует для всех 1 и вектор а является т-регулярным вектором по отношеншо к Р. Более того, если Ь есть т-регулярный вектор по отношению к Р и Ь(1) <и(с) при всех с, то Ь(с) (а(с) для всех й Если мы представим компоненты вектора ц в виде и(1)=-а(с)+с(1), с)0, (5.2) где с(с) = и(1)- а(1), то с(1) образуют минимальный т-суперрегулярный вектор, й 5. Регулярнеее яостееаователаноста яаркоасках Чеяей 16! Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению с-суперрегулярного вектора имеем Х Р)!)и О) = Х' '.р(Р(а пРми (() =-,"9~ Р(сря н Х Р„,и ()) ( ~ Ф,.";(ги (ь).
! ! е е ' ! (е В векторно-матричных обозначениях мы можем записать это соотношение в виде Р"и(Р" (и, подразумевая под этим покомпонентные неравенства. Итак, для каждого !' и (!) ) ~~ Р пи ()) ) ~~ Р(еги ()) ) Поскольку все члены этой цепочки неравенств пеотрнцательны, то а(!) существует и а(!')>(и(!') прн всех !. Далее, Х Рн,~лРКи(й) =,~гР';"" пи(й). В пределе при и- оо выражение в правой части сходится к а(!), тогда как левая часть, если формально перейти к пределу под зна- ком суммы, стремится к ~с'.~Рма((), т, е, ! ~лРс,а Э = а (!). ! Для доказательства правомерности предельного перехода под знаком суммы зафиксируем некоторое значение индекса !. Для лю.
бого е ) 0 существует Ф(е), такое, что Рми О) (е; ! > и (ег тогда Рп Х Р(яи(А)( Х Рс(и(()(е при всех и. ! > н (е( (>н(е( Далее, воспользуемся представлением Х Р(4и(й)= Х Рс! Х Р(!"'и(й)+ Х Рп Х РЯи(й), а т<н(е( а (>н(м е Как мы угке видели, при и-.. оо левая часть стремится к а(!). Так как первый член в правой части является конечной суммой по (', то его предел есть просто Р,(а (/). (~н (ег Величина второго члена не превышает е. Итак, имеем а(!)= Х Р(,аЦ)+(((!), где 0(а((!)(е, (~н(е( зак. 939 162 Гя. Б. Теоремы ой отношениях переходнь~х вероятностей откуда следует, что а(т) = ~ Р,уа(у), т. е. а = (а(т)) является у т-регулярным вектором по отношению к Р.
Предположим, наконец, что Ь(т) = 2~РтуЬ (у) ~(и(т') при всех т'. Тогда с помощью индукции получаем Ь(Е)= 2"„Реу'Ь(у) ~(~ Рту~и(у) при всех и и т. т т Следовательно, Ь(т)('~и ~с~Р(т)и(у)=а(Е) при всех т'. л-+ Не составляет никакого труда проверить, что последовательность с(т) = и(т) — а(т) является т-суперрегулярной. Остается только установить минимальность последовательности с(Е). Предположим, что 0 (В (Е) ( (с (Е), Е ) О, (5.3) где (я(Е)) есть т-регулярная последовательность.
Применяя п раз Р к обеим частям (5.3), получаем й = Р "~ ( Рлс. Но из определения вектора с следует, что Р"с = Р"и — Рла = = Рлп — а стремится к нулевому вектору. Этим завершается доказательство минимальности вектора с. и (5.4) Представление (5.2) в случае броуновского движения является не чем иным, как классическим представлением Рисса, связанным с гармоническими, супергармоническими и потенциальными функ- циями. Изложение этой элегантной теории выходит за рамки на- шей книги. Для невозвратных марковских цепей очень легко построить т-суперрегулярные последовательности. Напомним, что в невоз- вРатном слУчае 2~ Рея< во пРи всех т', Ут)~О. Мы УтвеРждаем, и О что при фиксированном АО ив= 2~ Ртьн 1=0, 1, ..., и-О является т-суперрегулярной последовательностью. Действительно, Х Р,и, = Х Рты'-ит-Руте ~(ит. (5.5) У-О л-О Приведенное построение позволяет сделать вывод о том, что су- ществует достаточно обширное множество непостоянных положи- у 5.
Рееулпупые погледователвноета науковеках цыма 163 тельных г-суперрегулярных векторов. То, что последовательности вида (5.4) не являются постоянными, следует из соотношения (5.5), которое при 1 = йо является строгим неравенством. Совершенно иная картина имеет место в возвратном случае. Следующая теорема утверждает, что единственной г-суперрегулярной последовательностью является постоянный вектор. Она обобщает критерий, полученный в теореме 4.1 гл. 3. Т е о р е и а 5.2, 11еприводилеая марковская цепь с матрицей переходных вероятностей Р возвратна тогда и только тогда, когда всякий неотрицательный вектор ч, г-суперрегулярный по отноиеению к Р, у которого хотя бье одна компонента полоясительна, является постоянным. Дока з а тел ь от во.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
