3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(4.6) Из (4.5) и (4.6) сразу же получаем — ) соз" ОсозйОсоззОг(О при зчьО, о 2и — „~ соз" О соз (еО с(О 2п ( при з О. о Рае = (4,7) Эти интегралы легко вычислить для любых заданных и, й и з. Общин же метод, частным случаем которого мы только что воспользовались, состоит в следующем, Отметим, что суммирование от О до оо введено лишь для упрощения обозначений; на самом деле лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
После п — 1 повторений процедуры, состоящей в умножении на созО и изменении порядка суммирования, полу- чаем 4 4 Сссечаальньсе оыниелительные летодьс !23 Пусть нам задан процесс случайного блуждания на множестве неотрицательных цельсх чисел с матрицей одношагоаых переходных вероятностей вида го р, 0 0 с!с г, р, 0 0 ссо го рс (4. 8) где ст,+г,+р„=1, с!о)0, р >О, го)~0 при и=! 2, ... и го Ь ро = 1, ро > О, го ) О. (Отметим для будущих ссылок, что нн один из результатов, которые лты получим ниже в этом параграфе, не зависит от условий с)„+ г„+ р„= 1, п = 1, 2, ..., и го + ро = = !.) Рассьсотрим следующую систему уравнений: хЯь(х)=цДь-с(х)+тычь(х)+РДьес(х), й=1, 2...
(49) с ) Яь(х)Яе(х) сЬ(х) ' й=О, 1, 2, .... (4,10) ! >О при й=з, О функциях Оь(х), ст = О, 1, ..., обладающих свойством (4.10), говорят, что они являются ортогональными полиномами относительно распределения о(х) на отрезке ! — 1, !), Функция о(х) единственна с точностью до аддитивной постоянной. Эта общая теорема позволяет получить явные выражения для вероятностей Рь,. В самом деле, учитывая то, как мы задали !со(х) и ! тс(х), уравнения (4.9) можно переписать в виде хЯо(х) = ~с РьД,(х), 1=0, 1, ....
(4.11) т о Умножая обе части на х и подставляя это в (4.1!), получаем Н;1о(х) = ~ Рьс ~2„'с РтсК(х) = ~~.", Р1Дс(х)с lг- О, 1, .... (4.!2) т-о е-о ь о с начальными условиями Яо(х) —= . 1 и !сс(х) = (х — го)сро Поскольку р„> 0 при всех п = О, 1,2, ..., ясно, что Я„(х), п)~2, последовательно определяются из формулы (4.9) и что Я„(х) является полиномом от х степени в точности п. Далее мы воспользуемся теоремой, доказательство которой выходит за рамки этой книги и которая устанавливает следующий факт. Существует неубывающая и непостоянная функция о(х), определенная на отрезке ( — 1,!), такая, что !24 Гл.
4, Алгебраическое методы исследования марковских цеаеб Продолжая таким же образом, переходим к соотношениям х"Яя(х)= ~ Ря,Ол(х), й=0, 1, ..., ~= 1, 2, .... (4.!3) т Умножая обе части на Д,(х) и интегрируя на интервале [ — 1, Ц по с(о(х), мы находим, воспользовавшись соотношением ортогональности (4.10), что ) к" 1;)я (х) !',)е (х) е1о (х) = ~~~ Р"„~ !'„)т (х) 1;)г (х) сЬ (х) = Р,", ~ Я',(х) сЬ (х), -о откуда следует доказываемая формула ! )' хаЯя (х) Ое (х) да (х) а -1 »5 (4.14) ~ 0с' (х) да (х) -1 Как мы уже отмечали, приведенная процедура напоминает метод диагонализации из 9 1.
Действительно, соотношения (4.9) просто означают, что для каждого х бесконечномерный вектор (!са(х), !)~(х), ...) является, формально, собственным вектором матрицы (4.8), соответствующим собственному значению х. Поскольку мы имеем дело с континуумом собственных значений, естественно предположить, что представление Рц дискретной суммой, аналогичное полученному в 5 1, 2, не имеет места.
Оказывается, однако, что соответствующее обобщение спектрального представления (1.1) дается формулой (4.14). В его основе лежит существование «непрерывного спектра» в дополнение к дискретному (возможно, пустому), что является характерным для бесконечных матриц. Строгое математическое рассмотрение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги. Тем не менее мы рассмотрим еще несколько иллюстративных примеров, связанных с этой теорией. Может показаться, что изложенный метод, сколь ни элегантна его теория, не имеет практической ценности. Действительно, чтобы найти Ря„необходимо определить полиномы Яя(х))", и распределение о(х), относительно которого нами установлен до сих пор лишь факт существования.
В действительности же положение дел много лучше, чем это намечается указанными трудностями. Прежде всего мы располагаем хорошо разработанной теорией ортогональных полиномов, которая позволяет получить важные теоретические результаты, касающиеся поведения вероятностей Р~, и в частности их отношений, при п — оо, 1лб у д Примеры С другой стороны, процессы случайного блуждания, возникаюшие в конкретных задачах, имеют матрицы переходных вероятностей более специального вида, чем (4.8). Например, может быть, что ро=р~=ра=, до=д1=..., илн же р,=р„е,=..., д, = дие, = ...
для некоторого п. В этих случаях, как впрочем и в других, можно показать, что полиномы !г,(х) являются комбинапнями различных классических систем полиномов, теория которых хорошо равен~а. В В. ПРИМЕРЫ (а) Си,иметричное случайное блуждание с отражающило экраном. Для того чтобы подвести вычисления, проведенные в В 4, под общую схему, основывающуюся на ортогональных полиномах, достаточно положить Сто (х) = сов й (агс сов х), й = О, 1... ~) Полиномы !го(х) ортогональны на отрезке [ — 1, !) по отношспшо к распределению сЬ(х)=р(х)йх, где р(х)=('/оп)(1 — х') ', так как 1 Л ) Яа(х)Я,(х)р(х)йх=С ~ сов/ей сов!ВйО= О, если (е~(, — ! о в чем убеждаемся заменой переменной х = сов О. (б) Еще один процесс случайного блуждания с отражающило экраном.
Рассмотрим случайное блуждание во множестве неотрицательных целых чисел матрицей переходных вероятностей вида ~0 1 0 0 0 !дО рО О... Од ОрО... где д, р > О, д + р = 1. Умножая обе части тождества (4.1) на 2 $/рд ()/р/д), получаем 2 )ярд сов В ()/д(р ) сов (оВ = равд(р ) сов (й + 1) О + +д(Рд/р) сов(й — 1)В, й=!, 2, .... (5.1) Такиоо образом, полиномы Я~(х)=()/д/р) совйО, 2 )лрд совй=х, у=О, 1, 2, ..., ') Я,(х1 ааоываюлса поаивоыаяи Чебышева. — Прим. ред, !26 Гл. 4. Ллгебраические методы исследовании марковских цепей удовлетворяют системе уравнений (4.9), соответствующей рассматриваемой матрице Р, за исключением уравнения для й = О.
Здесь мы имеем Яе(х) =- 1 и Яс(х) = х/2р, тогда как нам нужны начальные условия Яо(1) = 1, Я!(х) = х. Чтобы исправить положение, начнем с тождества соз9з!и(/с+1)О= — з!п/еО+ — з!п(й+2)0, й=О, 1, 2, .... (52) ! . ! Умножив обе его части на 2 у'рд (1сд/р) и разделив на з!и О, перепишем (5.2) в виде 2 у'рс/ (соз О)(~~ д/р) (у / — )и-! Мп сев ! (.рс / )к+! е!п(ге+2) О / Пусть 2~(0)=()сд7р) ',,пО, /с=О, 1, тогда 2,(0)— = 1 и г,(0) =)/о/Р— ' ,',пв и при этом 2 )/ рд (соз 0) Ли (О) = д2е ! (О) + РХ,+! (0), /е = 1, 2, Пусть /4 (х) = 2е (0); х =. 2 ~сру соз О. Отметим, что Ра(х) = 1 и )т!(х) = х/р, тогда как х//в(х)=с!Ке !(х)+рй„г.,(х), /г=1, 2, причем /ск(х) является полиномом /е-й степени.
Наконец, положим Рк(х) = (2Р— 1)йи(х) + (2 — 2р) Яд(х), /е = О, 1, 2, ...; тогда Ре(х) = 1, Р!(х) = х и хРк (х) = с/Ри ! (х) + РРи+! (х), /г = 1, 2, ..., так как йи(х) и !/и(х) удовлетворяют одним и тем же соотношениям. Таким образом, полиномы Рк(х) отвечают матрице переходных вероятностей Р. Детальная процедура нахождения распределения о(х), ортогонализирующего полииомы Рк(х) на отрезке ( — 1, !), нами не рассматривается. Мы просто приведем соответствующее распределение, оставив читателю проверить, что оно обладает всеми нужными свойствами. 127 4 д При010р01 Если р )~ 1,гг, то о(х) постоянна внэ [- )ярд, )7 4рд [, а в са.
мом интервале Если р ( 110, то о(х) сохраняет свой вид внутри отрезка [ — )7 4рд, )74рд ~, а в точках — 1 и + 1 появляются скачки величины 110(! — 2р)/д. Константа С служит в качестве нормирующего множителя, обеспечивающего равенство единице интеграла 1 [ а!о(х). -1 (в) Случайное блуждание с поглощающим экраноль В качестве следую!цего примера мы рассмотрим процесс случайного блуждания по целым числам — 1, О, 1, 2, 3, ... с вероятностью перехода в одно из соседних состояний из состояния )г(й)~0), равной '/0, и с поглощающим экраном, расположенным в состоянии — 1.
Матрица переходных вероятностей этого процесса имеет вид 1 0 0 0 — 0 — 0 0 — 0 Хотя эта матрица и отличается от тех, для которых был развит общий метод, лгы будем следовать, по существу, процедуре, изло. женной в 5 4. Ключевым в нашем анализе будет тождество сов йз!п(Уг+1)О= — з!и 7гО+ — з!п(/г+2)О, Й=О, 1, 2, .... (5.3) ! . 1 Так как й-я строка матрицы Р состоит из элементов 1 1 РА 1=0 Р, =О...
Р, -1=2 Ргь=о РОД+1=2 Р,,„0=0, ..., 70=1, 2, ..., ! 1 Р0,-1= 2 ! Р00=0 РО! = 2 ! 00 — О соотношение (5.3) можно записать для й = О, 1, ... в виде созОз!п(й+ ЦО= 2 Р„,з(п(г+ !) О. г -! !28 Гл. 4. Алгебраические легодь! исследования марковских цепей Умножая обе части на созО и подставляя созйз!п(с+1)0= ~ Р„з!п(з+1)0 е--! в правую часть получающегося соотношения, имеем сова Оз!п(Ге+1) О= ~~'., Раг ~~'., Р„з!п(з+1)0= г †! е †! ~~~~ зш(з+ 1) О ~ Р!„Р„= л -! г — ! ~~'.~ Рае зш (з + 1) О.
е=-! Повторив эти действия п — 1 раз, приходим к формуле г соз" Оз!п(Ге+1)0= ~~~ Ра,з(п(г+1) О. г=-! Умножим обе ее части на з!п(з+ 1)0 и проинтегрируем по О на отрезке [О, 2п): ) соз" О з!п (Гс + 1) О з!п (з + 1) О !ГО = а 2Л вЂ” Р~, з!п (г + 1) О з(п (з + 1) О гГО = ,~~ Ра ) з)п(с+ 1) Оз!п(з+ 1) О а!О (з О, 1, ...).
(5.4) о Легко показать, используя элементарные тригонометрические тож- дества, что ~ 81п (г + 1) 0 з!п (з + 1) 0 сГО = ! Г О, если гааз, (5.5) и, если г=з, г, з = О, 1, 2, .... Из (5.4) и (5.5) следует, что вероятности перехода за и шагов вы- ражаются формулой ап Р,"г= — „!)с "Оз!п(й+1)ез!п(+1)ОГО, (5.6) о Гс, з О, 1, 2, ..., и - О, 1, ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
