3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Й) 2, т) 1. (6,8) т-1 Сравнивая (6.8) и (6.7) и используя равенство г1 2,„= гс 2, а так- же тот факт, что 12 „= р,, — р, = г,, — г... получаем 2,2ы 1,2ы 10,0 г1,2ы 0,2ы-2' Подставляя это в (6.8), индукцией получаем следующее рекуррент. ное соотношение: гй,свт 2г»-1.2ы г»-2,2ы-2. (6.9) ЕСЛИ ПОЛОжИтЬ В НЕМ гй,, =2 2 ай,сеи тО ОНО СВЕДЕТСЯ К СООтношению Пй-1 2 Пй, 2~ + П»-2, 2ы-2 (6.10) Этому рекуррентному соотношению удовлетворяют величины сгй2 ( ю ) (6.1 1) Итак, нам известны г,, и г1,2, а прямая подстановка показывает, что а0,2 и а1,2 задаются формулой (6.11). Очевидно, соотношение (6.10) однозначно определяет а» 2 при к )~ 2; следовательно, формула (6.11) дает нам выражение для величин а»,2, и поэтому 2»-2ы ( 2тл — й ) (6.12) С тем чтобы ответить на следующий вопрос, касающийся последовательности 51, ..., 52„, определим понятие перемены знака в последовательности.
Мы скажем, что в момент й произошла перемена знака, если 5»,= 0 и 5» 15»+1 = — 1. Вопрос же состоит в следующем. Чему равна вероятность того, что в последовательности 51, ..., 52„имеется ровно г перемен знака? Событие, о котором идет речь, произойдет, если среди 52, 5ь, 52а-2 имеется ровно 12 нулей (й = г, г + 1, ..., п — 1) и ровно в г из них процесс меняет направление'). Пусть 0-1 Ст,2 = ~л~1 Р(среди 52, 54, ..., 52„2 ровно й нулей) Х »-т Х Р(находясь в нуле й раз, процесс меняет направление г раз).
1) ПОД СИСНПН Нанраплення следует пРНнмать переход На ДругУю полУось. Прим. перев, Задачи тМ Но Р(среди 5„54, ..., 5зи а ровно гг нулей)= = Р(среди 5„5„5,, 5„..., 5,„г ровно 1г нулей) =2 ь-зл+г ! 2л — А — 2 1 а — ! )' как это следует из формулы (6.12). Далее, смена направления в нуле происходит с вероятностью 1/з. Следовательно, Р(находясь в нуле !2 раз, процесс меняет направление г раз) = =( ) —,—,„=( )2 откуда и-1 С ~~2ь — злтз(2л-Ь вЂ” 2)(Ь)2 и Ь г 22-ги "1~~~ (2л — г — !' — 2 ) (г+ ! ) 1-о 2з-ь1 ч~!ч~ ( 2л — г — ! — 2) (г+! ) т-о Используя равенства ( — а) 11(а+1-г) 451(а)( Ь ) (а+Ь) 1-О получаем л ~ ( 1)л г ! ( л )( 1)1( (г+ )) т-о =-2 "( — 1)" " ( ~! =2 п — г — ! ) (а-г-!)' ЗАДАЧИ !.
Пусть Р=~! (~, 0(а, Ь<!. Доказать, что Ри ! ЦЬ а~ (! — а — Ь1" ~ а -а~ 136 Рл. е, Алгебраические методы исследования маркоагких цепей 2. Рассмотреть конечное случайное блуждание по множеству чисел О, 1, 2... „ Ф, матрица одношаговых переходных вероятностей которого имеет вид Найти формулу для вероятностей перехода за г шагов с помощью метода ортогональных аолиномое.
Овеет. ТригоНометрические полииомы 1гп (х) сов пй, х - сов О, х()„(х)- — Е„,(х)+ — Е„„(х) при п-1,2,..., Л-!. 1 1 п 2 и Кроме того, хЕ» (х) - 1), (х). должно выполняться равенство сов В сов УВ -сов (йГ- 1) В, а(п йГВ в!п 0 О. т, е. Это означает, что 6 йл/М, й О, 1, 2, ..., 2йг — 1. Итак, при В Ал/)т' мы имеем х(Ь(х)- ~', Р ~ст (х), ы а где Р 1!Р» !(. Из этого уравнения также следует, что при 0 йлг)т' ш-е О 1 ΠΠ— Π— О 1 1 2 2 1 1 Π—, О 2 2 удовлетворяют рекуррентным соотношениям Для того чтобы удовлетворялось уравнение 1 1 — О 2 2 1 О Задачи -т 'Сз пал тйл (х ) () (х ) 7 соа — соз— пата г4 М М а о а-а 1 ьч Г (л — т) йл ("+т) йл1 — ! соз + соз М а о (л — т) йл! ~ ~ (л + лг) Ал! Ц а о — Ве.
! — ехр (2 (п — т) л!) 1 — [ехр 2 (и+ т) и/) + О, если л чь т. 1 — ехр [(л — т) лЦМ) ! — [ехр (л+ т) л!/М[ (здесь ! )~- !) Кроме того, '~; д~(ха)--' У (!+сов — '"„' ) -М. а о а-о части соотношения (а) на д, (х), суммируя по множеству а О, 1, ..., 2М вЂ” 1, и используя соотношения ортогональности, Умножая обе ха = сов йл/М, получаем зм- ! Х "~.( )~ (.)-.".',, откуда, опустив нуль в индексе, имеем зм- ! ! %~ г йл пал тйл Р— д~ соз — соз — соз— Мла М М М' а-о тгп-0,1,...,М.
3. Рассмотреть процесс, описанный в предыдущем упражнении, но отличаю. щнйся от последнего тем, что состояния 0 н М являются поглошаюшими экранами. В этом случае (М вЂ” 1) Х (М вЂ” 1)-матрица одношаговых переходных веро. ятностей, соответствующая невозвратным состояниям, имеет вид Π— 0 О ... О О ! 2 — 0 — 0 ... 0 0 ! ! 2 2 ! 1 0 — 0 — ... 0 0 2 2 0 0 0 0 ... — 0 1 2 Нагни формулы вероятностей перехода за г шагов прн условии, что поглошение не имело места. где Р' [1Р'„" !!. Покажем, что Гс„(х) образуют ортогональную систему на ко.
печном многкестве хь - совал/М, а О, 1, 2, ..., 2М вЂ” 1. Действительно, зл-! зм — ! 138 Гл. 4, Алгебраоческие методы исследования марковскик цепей Указаниес В качестве ортогональных полнномов взять Я (х) з!и пй, х соз 8, где О пробегает значения О /гп/Л', й = О, 1, ..., 2/с/ — 1. Ответ: зм-1 РС вЂ” Д (сов йп/й/)' з!п пйн/й/Ып псйп/йг (и, гп = 1, 2, л .., йс — !). 1 %ч в-о 4. Рассмотреть случайное блуждание на окружности, имеющее йг+ 1 состояний, симметрично расположенных на этой окружности. Матрица одношаговых переходных вероятностей процесса имеет внд Π— О О ...
О 1 1 О 2 — Π— О ... О 1 1 2 2 Π— Π— ... О ! 1 2 2 О О О О ! 1 О О ... — О 2 2 1 О О ... Π— О 2 О О ! — О 2 Найти выражение лля г-щаговых переходных вероятностей. Ответ; Пусть Е(8) — е + — е сов б ш ! -со 2 2 166 Задачи Эти величины удовлетворяют рекуррентному соотвошению Е(0) !2а(0) = — Я„~, (6) + — Я„, (6) при и=-1, 2, ..., йГ-1. 1 ! 2 2 л Кроме этого, требуется выполнение еше двух соотношений: г (О) !2, (О) = -' !2, (О) + 2 !2„ (6) Е (О) Я (6) — — Я (8) + — Я~ (6) Они выполняются при одном лишь условии 1 = е 1м+ ') т, е, прн 6 —, й=б, 1...„о'.
2пй й/+1' Итак, при 0 = 2п/г/(М + 1) 2 (О) Яа (О) = ~ Рат()м (6), и, т = О, 1, ..., й/, и о откуда получаем г'(О) а„ (6) - ,'~~ !'!!2 (О), 2пй 6- —. й!+! ' и о Кроме гого, ~~'.~~ [ Яа (Оа) [з = йГ + 1 Умножая обе части соотношения (') на Я~, (6), суммируя по всем 8а 2п/г/(йг+ 1), й = О, 1, ..., л/, н пользуясь свойством ортогональности, получаем М ~ г'(О,) а„(6а) С2„, (Оь) - (/У+ Ц Р!„">, а-а отнуда Рм' — 7„соз' — ехр [ ! 'Кч 2яй Г 2пй (л-т)1 т ам у.р) .уй /2.~-1 '[ й/ ~-1 а, т = О. 1, 2, ..., й/. Далее, функпни !2„(0) образуют ортогональную систему на конечном множестве Оь 2пЦ(/т'+ 1) (Ф = О, 1, ..., У; л = О, 1, ..., /т), так как при пфш М и 0 !2 6 ~ех — С [2пй(п- )) 1-"р[2.
(.— И зйм р 1 й/+ 1 [ 1 — ехр [2п! (и — и)/(/2+ 1)[ а-о а о 140 Гл. 4. Алгебраические методы исследования марковских цепей й. Рассмотреть случайное блуждание на окружности (см. задачу 4) с ма. трицей одношаговых переходных вероятностей вида О р О...О ц д О р...е О О д О ... О О О О О...О р р О О ... ц О Найти выражение для г-шатовых переходных вероятностей. Указание: В решении к задаче 4 положить Е(0) ге' о + це-еа.
Ответ: з о п, пэ = О. 1. 2...., йс. 8. Дохаэать, что 1 à — !! соз" есозйесоз!Ейй з [( (и + й — !)/2 / ( (и + й + !)/2 / ) 2п+' О в противном случае. (Этот интеграл есть выражение для Рэп! при !чЬО иэ формулы (4.7).) Найти предел !(гп тс и Рпы. и+ Указание: Пусть й — неотрицательное целое число. Доказать, что зя О, если и+й нечетно, 1 2 со5" есозйейЕ- —./ ~ 2 " ~ ) в противном случае. о ~ (и+ й)/2 Для этого воспользоваться тождеством соз" + ' 0 соз (й — 1) В = соз" 0 соз де+ соз" Е э!п (й — 1) 8 э!и О, проинтегрировать по частям и получить рекуррентное соотношение соз" 8 соз й8 йе и — й+2 со5 +~ 0со5 (й !) еде, «+1 Ответ; )т 2/и. 7, Найти эначеняе интеграла Рй — ~ соз" 0 5!п (й+!) 85!и (!+ !) 0 иЕ.
о Задачи 141 Ьтказаиие: Воспользоваться решением задачи 6. Ответ, 'ь((и — й->1)12) ((и+а+14-2)т'2)]' 8. Пусть Р = )[Р~т[! обозначает матрицу переходных вероятностей конечной марковской пепи (Хи)о, имеющей три класса состояний (0), (1, 2, ....,М вЂ” 1) и (Д!), из которых 0 и йт — поглоща!ошие состояния, а остальные — невозвратные состояния. Введем сез!ейство матрин Р (О) =!! Р те !' 0
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
