3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а д примеры До сих пор все, что мы сделали, — это получили применение об- щего метода к матрице О 1 2 О О ! 2 — О 1 2 1 О 2 ра О 1 2 первой строки и первого столбца из получаемой вычеркиванием матрицы 1 О О О 1 О 2 ! — О 2 ! 2 1 2 л Возможность такого сведения при вычислении вероятностей Р„ перехода за п шагов для А, з = О, 1, ...
основывается на том факте, что нам нет необходимости рассматривать те траектории, которые ведут в состояние — 1, так как зти траектории не могут выйти из него. Ортогональные полиномы в рассматриваемом случае таковы: аш (Ь4-1) а (еи(Х)= а1ва а Й=Оа 1, 2, ..., ч заа. 239 где х = сов О и, как зто легко проверить, полиномы Яд(х) ортогональны по отношению к е(о(х) = и '(1 — х') 'е(х на интервале [ — 1, Ц. Как приложение полученного результата вычислим вероятность события, состоящего в том, что поглощение состоянием — 1 произойдет точно на и-м шаге, если исходным состоянием было состояние л.
Поглощение состоянием — 1 на и-м шаге может про. изойти, очевидно, только в том случае, если на (и — 1)-м шаге про. цесс пребывал в состоянии О. Но вероятность попасть в состоя. ние О на (и — 1)-м шаге, отправляясь из состояния л, задается формулой (б.б), т. е. Рйе = — ~ соз" О з!п(й+ 1) Оз(пО е(О, о 130 Гл 4. Алгебраические методы исследования марковских цепей а вероятность Ро, 1 —. Следовательно, вероятность поглощения 1 2 ' состоянием — ! на и-м шаге при начальном состоянии й есть Лв= ~ „(соз"-'Ез)п(й+1)Вз)пВ )В. 2п й о (5.7) $ а. пРилОжения к БРОсАниям мОнеты Рассмотренные процессы случайного блуждания связаны с за- дачами о бросании монеты.
Предположим, что два игрока дого- вариваются провести серию бросаний симметричной монеты на следующих условиях: если выпадает герб, то игрок 1 выигрывает единицу у игрока П, в противном случае он проигрывает единицу игроку П. Пусть +1, если игрок 1 выигрывает, Хс= — 1, если игрок 1 проигрывает при Рм бросании монеты, Тогда Р(Х; = + 1) = Р(Хс = — !) = /з и 8„= ~~'„', Х, (и) 1) есть суммарный выигрыш игрока 1 после п брог ! саний монеты. Положим также 5о = О.
Один из самых простых вопросов, касающихся этой игры, таков: какова вероятность того, что после и бросаний монеты суммарный выигрыш игрока 1 будет равен нулю? Очевидно, что выигрыш игрока 1 не может быть равным нулю, если и нечетно. Пусть л = 2т, тогда если выигрыш равен нулю после 2т бросаний, то игрок 1 выиграл т партий и столько же проиграл. Искомая вероятность, очевидно, равна Далее, чему равна вероятность того, что после л = 2гп бросаний выигрыш игрока 1 будет равняться нулю в первый раз? Очевидно, З„описывают симметричное случайное блуждание на множестве всех целых чисел. Поэтому наш вопрос может быть сформулирован так: чему равна вероятность 1о,о первого возвращения в состояние О на и-м шаге? Первый переход из состояния О может произойти в одно из двух состояний — 1 нли +1 с одинаковыми вероятностями обоих исходов, равными Ъ В силу очевидной симметрии относительно нулевого состояния вероятность первого достижения состояния О из состояния +1 должна равняться вероятности первого достижения состояния О из состояния — 1, поэтому мы ответим на вопрос, если найдем вероятность первого достижения состояния О из состояния +1 за 2т — 1 шагов.
Но эта аероят- б 6. !триложения к бросаниям монеты ность равна вероятности первого достижения состояния — 1 из состояния О в силу однородного характера процесса. Последняя же вероятность равна вероятности Ао~ ~ поглощения состоянием — 1 за 2гп — 1 шагов при условии, что исходным состоянием было состояние О, в процессе случайного блуждания на множестве целых чисел ( — 1, О, 1, 2, ...) с поглощающим экраном, расположенным в состоянии — !.
Из формулы (5.7) при й = О и п = 2т — 1 получаем А'т '= — ) соз' 'Оз!п'Ос(О= — ~ соз' 'Оз!п'Ос(О. ! г 1 г — 2я~ о о В последнем интеграле сделаем замену х = соз О; тогда г ! Ао '= — ! х'т '(1 — хз)о с(х = — ° — ) (хо) '(1 — х')'2хЫх. а я 2 Еще одна замена ( = х' дает з о Ао = — ) ( (1 — !)' г(Г= — В (т — — г — )г (6.!) о где В(а, й) = ~ Г (! — () с(! о есть бета-функция, которую можно выразить через гамма-функцию: ян) Г (а) Г (Р) Г (а+ !1) Воспользовавшись известными свойствами гамма-функции, полу- чаем Г(т — — ) Г( — ) Ао = г( +!) (т — — )(т — — ) ...
— — Г( — ) — Г( — ) т(т — 1) ... ° 2 1 Так как Г( — ) = )си, мы находим, что вероятность равенства нулю суммарного выигрыша игрока 1 после 2и! бросаний монеты 132 Гл. 4, Алгебраинеские методы исследования марковская целей задается формулой 1 сйсл 2 (2сл — 3) (2ас-3) ... ° 3 1 2т . сл! при си=1, (6.2) при пй)2. Простой подсчет приводит к следующему интересному результату; 1о"о-р, й — Ра,„, п1=1, 2, ." > где по определению ро —— 1. Далее, Х ".=: ~0 о ~ е! 11ййй-2 1ййй1 1йаас 11ГП )ййл й т+~ й-~а+~ =1й, — !!гп 2 '" ( ') =р,„, (6,3) а это значит, что р„„= Р(5„„=0) Р(5, Ф0„5аФО, ..., 5„„ФО).
(6А) Чему равна вероятность того, что выигрыш игрока 1 обратится в нуль в й-й раз (л > 1) после 2т-го бросания монеты? Мы ответим на этот вопрос, сформулировав его в терминах процесса случайного блуждания: «какова вероятность того, что й-е возвращение в нулевое состояние произойдет на 2лг-м шаге?» Как и ранее, можно считать, что из состояния О на первом шаге процесс попадает в состояние + 1, и, более того, это же происходит после каждого из й — 1 первых возвращений в состояние О.
Далее, поскольку наше случайное блуждание однородно, мы можем «менять местами» во времени промежуточные шаги, не изменяя при этом вероят. ности достижения одного состояния из другого. Так, мы можем считать, что непосредственно за первым шагом «вправо» (в состояние +1) происходят все переходы в состояние +1, следующие за каждым из й — ! первых возвращений в состояние О, и, таким образом, за первые Й шагов процесс оказывается в состоянии Й.
Тогда искомая вероятность равна вероятности достижения состояния О в первый раз за 2сп — Й шагов при начальном состоянии й, или, что то же, вероятности достижения состояния — 1 из состояния й — 1 в первый раз за 2т — й шагов. Последняя же вероятность есть вероятность Ай ~ поглощения состоянием — 1 на (2сп — ц)-м шаге при начальном состоянии й — 1 в процессе случайного блуждания по множеству целых чисел ( — 1, О, 1, 2, ...) !зз б б Прияожения к бросаниям монеты с поглошаюшим экраном, расположенным в состоянии — 1. Формула (6.7) дает 2л А«Т"= — ( созе -«-' 0 з(п й0 з(п0 с!О.
1 2Л (6.6) о Значение э~ого интеграла, как можно подсчитать (см. задачу 7 в конце главы), таково: 42сл-«1 ( 2си — «) « А.«-1 2~~ «е 2ог — « (6.6) Вс=(5~ ФО 52.-~ ЧЬО 5Р =0 5«с«~ ФО. 52 ФО)= =(5~чаО, ° ° °, 52 -~ МО, 52 = 0) П(52 .~~ 52 ФО, ° ° °, 52,Л 52 ~0). Ясно, что события (5, Ф О, ..., 52„, Ф О, 52. = О) и (52.ы — 52„Ф чь О, ..., 52 — 52, Ф О) независимы и вероятность последнего есть просто рг г„. Тогда (В) )о ого 2~ — г' где по определению а„,е — — 1. Таким образом, ,, =- Х Р [В,) = Х ц',2„2 (6.7) Однако рг г, есть вероятность того, что выигрыш игрока ! будет равен нулю после 2пг — 2г бросаний монеты; эта вероятность, как мы уже отмечалн, равна вероятности Р (52 — 52, = О). События (5~ Ф О,, 5г -2 -с- О.
52с = 0) н (52т 52с = 0) также независимы, и, таким образом, мы получаем соотношение Р(Вс) = Р(5, Ф О, ..., 5,„, Ф О, 5„=0, 5„„— 5,„0). События в правой части этого соотношения несовместны, а их объединение составляет событие (5г = 0); следовательно, г ! Рассмотрим теперь последовательность 5ь 52, ..., 52 . Нас будет интересовать следующий вопрос: чему равна вероятность того, что ровно й членов этой последовательное~и обращаются в нуль. Это соответствует вероятности а«,2 того, что за 2лг бросаний монеты выигрыш игрока 1 обратится в нуль ровно й раз.
В силу (6А) имеем ае, г~ = рг Вычислим теперь ас г . Пусть „— событие, состоящее в том, что среди 5ь ..., 52 только 52, равно нулю. Тогда для г ( пг 134 Гл 4. Алгебраические методы исследаваыия марковских Чеаей ТаКИМ ОбраЗОМ, г1,2„= 1»хы = гв,йы Прн т ) 1. ТОЧНО таК жЕ можно показать, что ы-1 г»,2 = .лл' К,сг»-1 -2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
