3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 28
Текст из файла (страница 28)
(Доказать это.) Напомним еще, что если марковская цепь (5,] — непериодическая, то наименьшая аддитивная группа, порождаемая целыми числами ь, для которых Р (Х1= 1]>0, есть группа всех целых чисел. 1 здесь 1= ')Г-1. Таким образом, функции (2п) ' еиа (] — любое целое) образуют ортонормироваиную систему. Поэтому, умножив обе части (2.2) на (2п) 'е пв и проинтегрировав по 0 на отрезке [ — и, и], получим Роь =(2п) ' ] е '~[ф(О)]" ь(О, (2.4) >те Гл б.
Последовательность сулим независимых величин Случайная величина + 1 с вероятностью р, Хи = — 1 с вероятностью д дает пример периодической случайной величины. В самом деле, ее возможные значения можно представить в виде Х=1+2г, г=О, -~- 1, + 2, (Здесь с = 2, ь> = 1.) Л е м м а 2.1, Случайные величины Х„являются периодическими тогда и только тогда, когда их характеристическая функция ф(0) обладает следующим свойством: 1ф(Е,) ~=1 (2.5) для некоторого Оь Ф О, — и < Оь ( и. Доказательство. Предположим, что при Оо = й Ф О ( — и <-' й ( и) ! ф (й) ! = 1. Тогда существует такое действительное число и>, что ф(й) = ес '", а следовательно, 1=в-"ьыф(й) = ~~'., Рыемт- >' = Х Рь>соз(/ — ю)й+/ Х Рыз(п(/ — ю)й.
> Отсюда 1 = ~ Р„соз (/ — ю) й. > Так как ~сов х~ ( 1 при всех х, то для всех состояний /, дости>кимых из нулевого, т. е. для тех /, для которых Ро> > О, с необходимостью соз (/ — и>) й = 1. Решения последнего уравнения задаются формулой (/ — тв)й=.2пг, г=-О, + 1, -+ 2, Это означает, что всякое /, достижимое из нуля, можно представить в виде / = ш +(2а/й)г, г = О, +1, л-2, ..., где, очевидно, 1с( = 12п/й(Ф 1. Ясно, что Хи может принимать только эти значения /, т, е. Х, — периодическая случайная величина.
Э" 2. Лонольньге предельные теоремы /77 Докажем теперь необходимость. Если все возможные значения содержатся в множестве Хь = та + гс, г = О, -/- 1, ... (а/ и с — целые, ~ с) Ф 1), то ф(0) = ~ Ра и, в/аььге/ь Х Ра, ьг+ге Положим еа — — (2л/с). Так как с — целое и !с)Ф 1, то еа ~ О, — л(Е,(л и гь ф( — ") = ~~ Р, „е/"и'/ее/впг е/"/вп/е/ ~»з Р,„„=е'"/'и/е/.
а ьг+ге а, а+ге = г г ьг Таким образом, (2.5) выполняется для еа = (2л/с) Ф О, — л-< (е < . ° Далее мы будем предполагать, если не оговорено противное, что Хь является непериодической случайной величиной. Лемма 2.2, Существует константа 7,> О, такая, нто 1 — йе ф (8) ) Ы'-, — л (0 ( л. (2.6) Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что ь 1 — шеф(8)=1 — ~ Р,/сов/О= ~ (1 — сов/8) Р„. / — гь / -ь Нам понадобится тождество в 1 — сов а = 2 в!пв —, 2 ' имеющее место при любом действительном са.
С помощью этого тождества приходим к неравенству с 1 — йеф(0)=2,~~~ '(в!и' 2 !Ра/>~2,~» (в(п' — '2)Ра/, (2.7) / — ть / -ь справедливому для любого положительного Т.. Мы воспользуемся хорошо известным неравенством )юпх!) —, — — (х( —. 2)х! л л (2.81 !78 Гл. 6. Последовательность сумм нееависиммх величин Доказать это неравенство можно, например, так. Функция (э)п х)/х является убываюшей при 0 (х < и/2. Действительно, /е1ах) хсоех — 51ох дх 1 х / х' Но 1 <весах, и интегрирование обеих частей этого неравенства от 0 до х дает х (!ах. Так как соз х ) 0 при 0 (х < и/2, то (с(/с/х)[(э)п х)/х[ < 0; значит, (з!п х)/х убывает при 0 < х < и/2.
Следовательно, при 0~(х<— сна х Мп (н/2) 2 2 — — ИЛН 51П Х ) — Х. ч/2 и э и Поскольку обе части последнего неравенства являются нечетными функциями, ясно, что (2.8) выполняется. Учитывая (2.8), из неравенства (2.7) получаем 1 — Ке ф(0) ) 2 ~ ( тп ' Рш — — — О' ~'„ /'Рог (2 9) 1Л<с Это неравенство справедливо для значений О, таких, что [/0[(п. Но если [/[~(/., то неравенство [/О[(п будет выполнено, если (2. 10) При достаточно большом Е должно существовать по крайней мере одно /, )/[ < Е, для которого Рш > О.
Выбирая Е именно таким, имеем С=2п ' Х /еРо1>0 111< с и 1 — Ке ф (0) '- СО' (2.11) при всех [О[(п//.. До сих пор мы не пользовались непериодичностью случайной величины Хи. Это допущение нам потребуется для оценки 1 — Кеф(0) при 101) и//.. Мы знаем, что непериодичность Хь эквивалентна тому, что равенство [ф(О)1= 1 выполняется на отрезке [ — и, и) только при О = 0 (лемма 2.1). Но [ф(0) [(! при всех О, как характеристическая функция. Следовательно, 1 — Кеф(0)) 1 — | ф(9) [)0 (2.12) при 9ФО, — и < 0 < и.
Так как разность 1 — Кеф(9) является непрерывной функцией аргумента 0 на отрезке [ — и, ес), то тп = пнп (1 — Ке ф (9)) н)101) нд 179 5 2. Локальные предельные теореыьь сугцествует и в силу (2.12) положителен. По самому смыслу величины и неравенство 1-Р(еф(0) >и — ', (2.13) выполняется при всех О, таких, что и )~[0])~ и/Ь. Положим теперь Л =- пип (С, и/и'). Тогда (2.6) выполняется при всех ]О] (и. ° Мы подготовили все, что требуется для того, чтобы сформули- ровать и доказать теорему об оценке скорости сходимости вероят- ностей Р,"~ к нулю при и- оо, Теорем а 2.1. Если случайные величины (Хн) непериодические, то при некоторой константе А ) О (не зависящей от / и и) А Роь (:— рп для всех целых / и п)~1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (2 4) следует, что Рок~((2п) ' [ ! ф(0) !'"йО.
(2.15) Покажем, что !ф(0) (а является характеристической функцией некоторой целочисленной случайной величины. В самом деле, так как ф(0)=М[ехр(/ХеО)] для любого А=1, 2, ... ф(О) =М[ехр(- /Х~О)] то при й Ф1 для любого 1= 1, 2, ] ф(0) !т= ф(О) ф(0) М[ехр(/Хай)]М[ехр(-/Х,О)] = М [ехр (1 (Хе — Х,) О)], так что !ф(0) ]' является характеристической функцией целочисленной случайной величины (Մ— Х), где Хк и Х~ — независимые и одинаково распределенные случайные величины.
Непериодичность Хь эквивалентна непериодичности разности Хд — Хь Это является непосредственным следствием леммы 2.1. Пусть ф(О) = !ф(0) !т. Применим теперь результат леммы 2.2 к действительной характеристической функции ф(9). Это даст неравенство 1 — ф(0))~ЛО', справедливое при всех 0 из отрезка [ — и, н] и некотором Л ) О, Перепишем это соотношение в виде Ф(0) (1 — ЛО'( ехр (- ЛОа), (2.16) !во Гл. 6. Последовательность сули невависиимх величин где последнее неравенство следует из соотношения 1 — у ( е-в, у )~ О, которое в свою очередь следует из тривиального неравенства е-с ( 1 как результат интегрирования последнего в пределах от О до у.
Из (2.16) интегрированием получаем ~ 2Р(0)" 210.=' ~ ехр ( — пЛ02) сКО = = ) ехр ( — Ла') с(а( — и — и -иУл (()т и) )' ехр ( — Ла') с(а. (2.17) Сравнение соотношений (2.15) и (2.17) дает Рсь(=. — ) ехр( — Ла') ь(а = 2л ! 1 А, у т (2.! 8) где А, = 'тГ2 (2и) ' ) ехр( — Лаа) с(а.
Поскольку 172(0) ) (1, мы также получаем Рое ((2а) ~ ! Ф(0) !'"+'с(0((2п) ' ~ ! ф(0) !'"выл= =(2я) ' ~(вр(О))" с(0( ' ( (2.19) 1 с вероятностью р, — 1 с вероятностью 27, Положим теперь А = ')У2А,; (2.18) и (2.19) совместно дают (2.14), что и требовалось. ° Нужно подчеркнуть, что оценка (2.14) справедлива как для возвратной марковской цепи (3„), так и для случая, когда эта цепь невозвратна. В этой связи полезно еще раз обратиться к классической вероятностной модели бросаний монеты. В этой модели 1В1 Э 2.
Локальные предельные теоремы а последовательность (5„) представляет собой марковскую цепь с переходными вероятностями специального вида'): р, если 1=1'+1, Р,1 — — д, если 1=1 — 1, 0 в остальных случаях. Как мы видели (формулы (6.1) — (6.2) в гл. 2), Р -(„)РЧ, зл а асимптотическая формула для Рвв имеет вид Рьв ~ — (4рч)". (2.20) л.ь где  — конечная положительная константа, не зависящая от 1. Доказательство этого результата выходит за рамки нашей книги. Мы отсылаем читателя к монографиям (1, 2), где подробно излагаются результаты этого характера.
Если М(Хь) = сс и М(1Хь ~'+ ) < <со при 0 < б < 1, но М(1Хь ~'~~)= со при $ ) б, то часто (2.21) заменяется другой точной асимптотической формулой Вт ПНП~~~Рл1 = В. (2.22) Последний результат справедлив в случае, когда центральная предельная теорема неприменима, но имеет место притяжение к соответствующему устойчивому закону. Теория устойчивых законов ') Заметим, что здесь Хь — периодическая случайная величина. — Прим.
лерее. Из (2.20) видно, что если р Ф вЂ”, то Ртаь экспоненциально (со скоростью геометрической прогрессии) стремится к нулю, Формула 1 (2.14) дает точную оценку, если р= 4= —. Приведенный нами пример является типичным для общей ситуации, Имеются значительные уточнения оценки (2.14) при дополнительных ограничениях М(Хзь)< сс и М(Хь) = р= О. В этом случае, согласно теореме 1.1, марковская цепь (5л) является возвратной, а точнее, возвратной нулевой.
Следовательно, ~ РК = л в = со, а Рв1-+ О. С помощью центральной предельной теоремы доказывается, что 1пп Уп Р„"=В, !ал Гл. б. Последовательность сулгя независимых величин представляет собой довольно сложную область теории вероятностей, играющую важную роль в приложениях к физике и астрономии. Элементарный характер нашей книги не позволяет нам даже поверхностно затронуть этн вопросы. Мы ограничимся лишь констатацией существования этой теории и рекомендуем читателю обратиться к ней при дальнейшем изучении теории вероятностей. й 3.
ПРАВЫЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕИ Для специальных классов марковских цепей обычно удается получить более сильные результаты, касающиеся свойства возвратности, задач о времени пребывания, нахождения законов распределения различных функционалов от процессов и др. В этом параграфе мы получим уточнение свойств правых регулярных последовательностей (теорема 5.2 гл.
5) для марковской цепи (5„). Если марковская цепь является неприводимой н возвратной, то единственным правым регулярным вектором является постоянный вектор (теорема 5.2 гл. 5). Если же марковская цепь описывает последовательность сумм независимых случайных величин, то этот результат можно распространить на непериодический невозвратный случай, если мы потребуем, чтобы правый регулярный вектор был ограниченным Более точно, мы докажем следующее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
