3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Последовательность сумлс незаеисимых величин 8 (продолжение). Пусть Я„ — число различных состояний, которые процесс (Я»)~ о занимал за пероые л шагов. Выразить среднее значение д.с. в. /с„ че. рез (уь). и Огеегс М Яи) = с~~ Уг с с й (продолжение). Показать, что !!гп " 1 — /оо, М Яи) иэчь и где /оо ~~"„ /оо. » 1 1О (продолжение). Пусть Е / тогда и только тогда, когда Зс > дс прн О ( (с </ и бс > бс при /< с ( и, т. е. /., есть первый индекс, на котором достигается шах Яс.
Доказать соотношение о<с<и Р(й„=с)=Р(/./=/) Р(Е„,=О). 11. Опредетим процесс (Хс, С О, !, 2, ...), где Хс — действительные числа, следующим образом: Хо О, ! Хс, + ! — ) с вероятностью —, 2' 1 Хс, — ~ — ) с вероятностью —. ~2) 2' Хс= ПОКаэатъ, Чта В ПрЕдЕЛЕ Прн /†со раСПрЕдЕЛЕНИЕ С. В. Х, СтрЕМИтСя К раВНОМЕрному распределению на интервале ( — 1, 1). еказание: Распределение с. в. Х, стремится к распределению с. в. У О 7 У» ~ — ) где Уь — одинаково и независимо распределенные с.в, со зна- ~2) » 1 1(2з) (соз з) 1 (з). Показать, что единственным непрерывным решением этого уравнения, удовле- творяющим условию /(О) = 1, является функция (з!па)/з, т.
е. характеристиче. ская фуниция равномерного распределения на интервале ( — 1, 1). 12. Рассмотрим двумерное случайное блуждание по целочисленной решетке В положительном квадранте. Если иа некотором шаге процесс находится в состоянии (т, и), то на следующем шаге процесс с одинаковой вероятностью '/з пе. рейдет либо в состояние (т + 1, п), либо в (т,л + 1). Пусть à — ломаная, соединяющая соседние топни решетки (и простирающаяся от оси У до оси Х) в положительном квадранте.
Показать, что М(ус) =М(уз) где У, и Уз обо- чениями ~1, принимаемыми равновероятно. Пусть 1(з)=П созе/2»; 1(е) удо» ! влетворяет функциональному уравнению Задачи значают число шагов вправо и числа шагов вверх соответственно перед попада.
пнем иа границ» Г. Предполагается, что процесс выходит иэ начального состояния (О, 0). Пример ломаной Г приведен на рисунке. Указпчие! (а) Сначала рассмотреть случай, когда ломаная Г состоит из двух сегментов АВ и ВС. А — горизонтальный отрезок, соединяющий точки (О, 1) и (й!, 1), а ВС вЂ” вертикальный отрезок, соединяющий точки (аг, 1) и (йг, 0). Показать, что для этого случая э ! э-! и эти величины равны между собой.
(б) Всякую область, ограниченную осями Х и У и ломаной Г, можно разбить на блоки вида, описанного в (а). Использовать соответствующее правило сложения средних н результат пункта (а) настоящего указания. Задачи 13 — 18 основаны нз следующей модели. Рассмотриы случайное блуждание Х = (А„,В ) на плоскости, возможными состояниями которого являются все точки с целочисленными координатами в двумерном пространстве.
Предположим, что вероятность перехода в любое из четырех соседних состояний равна !/и Пусть Т вЂ” время первого попадания случайного блуждания, начинающегося из начала координат, на биссектрису положительного квадранта, а Хт — точка на биссектрисе, в которую попадает случайное блуждание. Пусть О,)-Р(Хг=(В )) ~Х,=(О! О)). Этим соотношением определяется переходная вероятность одномерного случайного блуждания, порождаемого исходным двумерным случайным блужданием, наблюдаемым лишь в моменты его попадания на биссектрису, Определим характеристическую функцию указанного одномерного случайного блуждания: ф(О)-,".', с)зме""', -а <О<-.
13. Положим (!о = Уо = 0 и (Г = А„+ В„, Р„А„— В„, л 1,2...,, Показать, что последовательность с. в. (() ) не зависит от последовательности (У ). (Переход к переменным (()з, )г ) соответствует замене исходной 196 Гл. 6. Последовательность гулом независимыл величин системы г.оординат на систему, в которой одной из осей является биссектриса положительного квадранта.) Указание: (а) Показать сначала, что — )г) 1, ! Р(У -У,= )Уз= [г,=О)=~ 2' (ги [, 2,...) ( о, [г)~!! ( ! — [5[= [, Р(!'л — 1'а- = й з) Уо= !'о=о) = 2 (л = 1, 2, ...). О, ) з)~0; (б) Далее показать, что Р(У вЂ” У, г, [Гл — !'л-г = з) !'о- !'о = 0)-0, если[г[ф! либо[а[ни! (л,гл=[,2, ), Воспользоваться формулами пунктов (а) и (б) и показать, что последовательность (У вЂ” У,„ г) не зависит ог последовательности (У„ — У, г); вывести отсюда, что (У,) не зависит ог (Уо).
14. Доказать, что с. в. Т не зависит от последовательности (У,). 15. Убедившись предварительно, что из Т = » следует, что [го = О, устано. вить форлгулу ф(О) = ~к~~ Р(Т=» [Х,=(0, 0)) ~ЧЗ~ егг Р(У» 2!(Хо=(0, О)). гг г г=- 16. На основе того факта, что (У„) описывает одноьгерное случайное блу. ждание, показать, что ф (0) = ~ Р (Т - й [ Х = (О, 0)) (соз 0[2)», »-1 17. Доказать, что произнодящая функдия с. в.
Т имеет вид М(з )=!†)Г! †. 18. Доказать формулу ф (0) = 1 — ) з!п 0[2 ~, — <О < ЗАМВЧАИИЯ В значительной степени источником материала этой главы послужила элегантная книга Спицера [)). Превосходными руководствамп по геории вероятностей, содержац[ими изложение предельных теорем для сумм независимых случайных величин на значительно более высоком уровне, являются монографии Гнеденко и 197 Литература Колмогорова [2], Лоэва [3] и Репьи [4]. Современное полное изложение предельных теорем теории вероятностей в различных аспектах читатель найдет во втором томе книги Феллера [й]. ЛИТЕРАТУРА 1, С п и ц е р Ф., Г!рпнципы случайного блуждания, «Мира„М., !968. 2, Гн еде н к о Б.
В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, Гостехиздат, М., !949, 3. Л о э в М., Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962. 4, ив п у ! А., йГаьгзсье!п!!сьйе!!згесьпппи, гпн е1пегп Апьапн йЬег 1пгоггпанопз!Ьеог!е. Оепмсьег тгег1аи бег %!звепзсьа1!еп, Вег!!п, 1962, 5. Фелл е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, еМира, ! 967, Глава 7 КЛАССИЧЕСКИЕ ПРИМЕРЫ ЦЕПЕЙ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ й Е ОБЩИЕ ПРОЦЕССЫ ЧИСТОГО РОЖДЕНИЯ (РАЗМНОЖЕНИЯ) И ПУАССОИОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ В предыдущих главах были введены основные понятия и рассмотрены методы анализа цепей Маркова с дискретным временем.
В этой главе дается краткое обсуждение некоторых важных примеров марковских процессов с дискретным множеством состояний и непрерывным временем. Точнее, здесь мы будем иметь дело с семейством случайных величин (Х(1), О (~ ( оо), принимающих неотрицательные целочисленные значения. Мы ограничимся случаем, когда (Х(г))— марковский процесс со стационарными переходными вероятностями. Таким образом, переходная вероятностная функция при ( ) О Рп(() = Р(Х((+и) =у~ Х(и)=(), (, /=О, 1, 2, ..., (1.1) не зависит от и)~ О.
Обычно при исследовании частных вероятностных моделей физических явлений более естественно описать так называемые инфинитезимальные вероятности, связанные с процессом, а затем вывести из них точное выражение для переходной функции. В рассматриваемом случае мы будем постулировать вид РО(А) для малых 6 и, используя марковское свойство, выведем систему дифференциальных уравнений, которой удовлетворяют РОЯ при всех 1 > О. РОЯ являются решением этих уравнений при соответствующих начальных условиях.
Напомним, что пуассоновский процесс, введенный в 5 2 гл. 1, рассматривался именно таким образом. Перед тем как перейти к общему процессу чистого рождения, напомним кратко аксиомы, характеризующие пуассоновский процесс. А. Постулаты пуассоновского процесса Пуассоновский процесс был рассмотрен в 5 2 гл. 1, где было показано, что его можно определить с помощью нескольких простых постулатов.
Для того чтобы определить более общие процессы подобного рода, укажем на некоторые свойства, которыми обладает пуассоновский процесс. Пуассоновский процесс — это мар- д ! Процессы <еского рождения и пуассоноес«пе процессы 199 ковский процесс, принимающий неотрицательные целочисленные значения и обладающий следующими свойствами: (1) Р(Х(1+ Ь) — Х(1) = 1(Х(1) =х) =ЛЬ+о(Ь) при Ь10 (х=О, 1, 2, ....) Свойство (1) можно записать еще так: 1!ш — Р(Х(1+ Ь) — Х(1)= 1(Х(1)= х)= У.. ! аче " Символ о(Ь) обозначает такую величину, которая, будучи деленной на Ь, стремится к 0 при Ь - О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
