3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 44
Текст из файла (страница 44)
! 2Ь 2Ь 2Ь а а Таким образом, (2.4) выполняется для с = и и 0 <2Ь < и. Это завершает доказательство. Обобщение задачи о баллотировке состоит в предположении о наличии урны с с картами, на которых написаны числа йь ..., /г„такие, что /тт — неотрицательные целые числа, ! = 1, ..., с, й,+ ... +/е,=-й, О</с~<с. Если тт снова означает число на !-й по счету карте, вынутой из урны без возвращения, то (2.4) для общего случая примет внд Р(т, + ...
+ тт < г, г = 1, ..., с) = 1 — й/с. (2.8) Э 2. Задача о баллотировке Доказательство этого более общего утверждения можно провести, почти дословно повторяя доказательство (2.4). Мы опускаем детали. (Читателю предлагается провести доказательство самостоятельно.) Дальнейшее обобщение ведет к следующей задаче. Пусть ть,..., т„— неотрицательные перестановочные случайные величины н ч~ + + т = у (фикснрованное число). (2.9) Пусть ть ..., т — порядковые статистики для и независимых наблюдений случайной величины, равномерно распределенной на 0 т т тл т ." т Рис. и отрезке [О, т), Предположим далее, что случайные величины т,(1 = 1, ..., и) не зависят от величин т;(1 = 1, , и), Введем в рассмотрение ступенчатую функцию (рис.
1) О, 0(х<т„ т' (х) = т, + ... + т„тт (~ х < т,+ „г = 1, ..., и — 1, т~+ ... +ч„, т„~(х<1, и поставим вопрос, чему равна вероятность того, что график 1(х) не пересечет прямой у = х (рис. 1). Аналитическая формулировка н решение этой задачи таковы: (1 — у(1, 0(у(1, Р(т~+ ... +те~(т„г=1, ... и)=~ (2.10) 0, у>1, 274 Гл. 9.
Порядковь~е статистики и пуассоиовские процессы Докажем (2.10) по индукции. При п = 1 ! — у((, о(у<(, '(-)= 0' о, у)(, поскольку т! = у, а т! распределена равномерно на [О, !]. Предположим теперь, что (2.!0) выполняется для и — ! Накладывая условия т!+ ... +та ! =г (0(г<у) и т„=и (0<и<!), (2.11) найдем условную вероятность Р(т!+ ... +те(т„г= 1, ..., п[и!+... +те ! =.г, т„=и).
(2.!2) Предположим сначала, что у (и <й Тогда в силу (2.9) неравенство т!+ ... +т„<т„ будет заведомо выполнено при условии (2.11). Следовательно, вероятность (2.!2) равна Р(т!+ ... +т,(т„, г= 1, ..., и — 1<и~+... ф тп ! г, т„=и)= 1 — г/и, 0<г<и, О, г)и, в силу гипотезы индукции, поскольку (ть ..., т !) при условии (2.1!) являются порядковыми статистиками для и — 1 независимых случайных величин, равномерно распределенных на [О, и]. Далее, помня, что т, не зависит от т при всех ! = 1, ..., и, рассмотрим плотность ф (г) =- — „Р (т! + ...
+ та ! ( г). д Тогда для у <и <! Р(т!+ ... +т,(т„г=1, ..., п[т„=и)= = ] Р(и!+ ... +т, <т„г=1, ..., п[и!+ ... + т„! =г, т„=и)Х а е! г Х ф (г) е(г = < (1 — — ) ф (г) атг = 1 — — ] гф (г) т(г = и] и л ! ! и — ! = 1 — — М (т, + ... ф т„!) = 1 — — — у, (2.! 3) и и и 275 Э д Эмпирические функции риспредеяения так как из (2.9) н перестановочности ть ..., ч следует, что М (те) = у/и, ! = 1, 2, ..., и. При и < у, однако, Р (т, + ... + т„( т„г = 1, ..., и | т„= и) =- О, (2.14) поскольку при условии (2.11) неравенство т~+ ...
+Тн(» г„ выполнено быть не может. Далее, в силу (1.13) плотность величины т равна ( и (и/1)" ' (1/1), О ( и (1, 0 в противном случае. Тогда в силу (2.!3) и (2.14) при 0»(у»»! Р (т, + ... + т, » (т„, г = 1, ..., п) = = ) Р(т~+ ... +те(т„г= 1, ..., и !тп= и) чр(и) е(и= о = ) (1 — — — у) и ( —,) — = 1 - Р .
При у > 7, очевидно, Р(т~+ ... +те»(т„г= 1, ..., и) =О. Это доказывает равенство (2.10), Мы теперь в состоянии дать некоторые приложения упомянутых идей к порядковым статистикам. З, ЭМПИРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОРЯДКОВЫЕ стАтистиКи Важный класс задач, связанных с порядковыми статистиками, касается эмпирических функций распределения случайных величин. Если Х вЂ” случайная величина с функцией распределения р(х) н (Х„ХИ ...~ Хп) — множество порядковых статистик, соответствующих выборке размера и нз р(х), то элепирическая функция распределения 276 Гл 9. Поридковые статистики и пуассоиовские проаессы Р„(х) величины Х является случайной величиной, определяемой следующим образом: О, если х<Х"„ й1п, если Х" (~х<Х'+Р к=1, ..., п — 1, 1, если х)Х„'.
(3.!) Р„(х) = Пусть Х вЂ” случайная величина с непрерывной строго возрастающей функцией распределения Р(х) и эмпирической функцией распределения Р„(х). Мы хотим найти вероятность Р(Р„(х)<уР(х), — оо<х<со). (3.2) Как мы уже видели в начале этой главы, без потери общности можно считать, что Х равномерно распределена на отрезке [О, 1]. 'тт 1х1 о х, к' к,' т Рис. 2. В самом деле, заменим Х на величину Р(Х), соответствующие наблюдения которой равны Р(Хт), Р(Хе), ..., Р(Х„). Тогда (3.2) сведется к Р(Р„(х) <ух, О(х ( Ц, (3.3) где Р (х) — теперь эмпирическая функция распределения, связанная с равномерным распределением. На рис. 2 показана типичная реализация Р (х) для равномерного распределения.
Э д Эмаиранеские функции распределения Докажем, что О, если у(1, Р (Р„(х) < ух, 0 < х ( Ц = (3.4) 1 — 1/у, если у)1. Если у < 1, то равенство (3.4) очевидно, поскольку не выполнено условие Р (1) < у, Результат для случая у ) 1 является следствием равенства (2.10). Необходимо лишь сделать подстановку 1 = 1, у = 1/у. В самом деле, ясно (рис. 2), что событие Р„(х)<ух, 0<х(1, произойдет тогда и только тогда, когда Х' > и/(пу), й = 1, 2,, и, (3.5) О, если х<Х;, И/п, если Х" ( х < Х;,+о 1, если х Х„, О, если у<У*„ 1/и, если У;(у<У;ео 1, если у~У"„. й=.1, ..., и — 1, Р„(х) = (3.6) 1=!,...,п — 1, Можно снова предположить, что Р(х) — равномерное распределение на отрезке (О, Ц.
Как показывает рис. 3, Р„(х) = 6„(х) = 0 при х < ппп (Хо У;) н Р„(х) = 6„(х) = 1 прн х)~ щах(Х„*, У'„). где Х" (й = 1, 2, ..., и) — порядковые статистики объема п, соответствующие равномерному распределению на отрезке (О, Ц, Случайные величины ть тм ..., т„(см. (2.10)) в данном случае являются фиксированными числами т; = 1/(пу) (1= 1, ..., п), которые, несомненно, перестановочны. Тогда (3.5) можно записать в виде т,+т+ ... +т <Х', /с=1, 2,...„и, где те + тя + + та = 1/у = У. Равенство (3.4) теперь следует из (2.10). Заметим, что правая часть (3.4) не зависит от и.
Следующая задача, относящаяся к бросанию монеты, также включает в себя эмпирическую функцию распределения. Пусть Х вЂ” случайная величина с непрерывной строго возрастающей функцией распределения Р(х). Пусть (Хь ..., Х„) и (Уь ... ..., У„) — две независимые случайные выборки объема п из оаспределения величины Х. Пусть (Х"„..., Х„') и (У;, ..., У„)— соответствующие порядковые статистики. Образуем эмпирические функции распределения: 278 Гл.
9. Порвдковьге статистики и пуассоиовские процессы В интервале 1=(тп!п(ХР У;), щах(Хо 'т'„')) один из двух графиков может лежать полностью ниже другого или, как на рис. 3, они могут пересекаться. Перейдем к определению вероятности первого из двух упомянутых событий, т. е. найдем Р(Р„(х) Ф 0„(х) в любом подинтервале в 1). (3.7) Эта вероятность может быть интерпретирована следующим образом. Будем рассматривать (Хь ..., Х„уь ..., У ) как од- т/о 51п 4/и 51п 21п //и о ут"(х,') у," ) у,' ~ ув'! х, уг кг кз у5 к," Рис.
3. ну выборку и образуем соответствующие порядковые статистики. Возможный вид их может быть следующим (рис. 3); (ун ~ г~ ХР Х~ ~ 53 Хв' у4> у5' ~ 5' Хфт Х$ ' ' ' ~ Хп~ уп)' Так как обе выборки взяты из одного распределения, все та- кие перестановки равновероятны. Обозначим порядковые статистики вектором (Лр У;т ., Е;и), (3.8) где половина величин 2"„является статистиками Х', а другая половина — статистиками У'. Для каждого и можно найти отношение число величин Хг ~ Ее р ив ч о уг<х", 4 Д Эмпирические функции распределения 279 Очевидно, ре„— - 1. Поскольку график Р (к) будет лежать ниже графика 6„(х) при всех х ен1 тогда и только тогда, когда рн < 1 при всех й = 2, 3, ..., 2л — 1, выражение (3.7) эквивалентно следующему: Р(р„< 1, А = 2, 3, ..., 2л — 1, или р„ > 1, А = 2, 3, ..., 2л — Ц.
(3.9) Другое графическое представление события, записанного в фигурных скобках в формуле (3.9), можно дать слсдуюгцим образом. Рассмотрим ступенчатую функцию (рис. 4), которая совершает л-! О 1 2545 л-/л Рис. 4. горизонтальный единичный скачок всякий раз, когда в перестановке порядковых статистик встречается Х;, и вертикальный единичный скачок всякий раз, когда встречается У'. График этой ступенчатой функции лежит строго выше прямой с наклоном 45' (кроме граничных точек, где он будет совпадать с ней) тогда и только тогда, когда рн < 1 при всех й = 2, 3, ..., 2п — 1. Следовательно, выражение (3.9) (а также (3.7)) есть вероятность того, что график ступенчатой функции на рис.
4 лежит полностью по одну сторону от прямой с наклоном 45' (кроме граничных точек), Эта задача может быть интерпретирована как последовательное бросание монеты. Предположим, что мы проводим серию из 2л бросаний симметричной монеты. Предполагая, что в конце серии общее число выпадений герба равно общему числу выпадений решетки (и оба они равны л), можно спросить, чему равна вероятность того, что число выпадений герба всегда больше числа выпадений решетки, наблюдаемых по ходу игры, или наоборот (число выпадений решетки всегда больше числа выпадений герба при каждом бросании)? 2ВО Гя 9. ГГорядковьсе статистики и ауассоновские ироиессы Если сопоставить горизонтальным скачкам события, состоящие в выпадении герба, а вертикальным скачкам — в выпадении решетки, то таким образом каждой серии ставится в соответствие ступенчатая функция типа показанной на рис.
4. Следовательно, вероятность того, что число выпадений герба превышает число выпадений решетки (или наоборот) в течение всей серии из 2п бро. саний при условии, что они равны в конце, равна вероятности (3.9). Перейдем теперь к вычислению этой вероятности, для которой было дано несколько интерпретаций.
Для этой цели мы ради удобства будем ссылаться на типичные случайные ступенчатые функции вида функции, представленной на рис. 4. Графики этих ступенчатых функций идут из точки (0,0) в точку (и, п) за 2п скачков, п из которых должны быть вертикальными. Очевидно, об! 2и1 щее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
