3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть Хь Хг, ... — независимые одинаково распределевные положительныс случайные величины с непрерывной функцией распределения Р(х). Доказать, что Р (Хе) щах (Хь Х,... „Ха,)) = 1И, 23. Пусть Хь Хь ... — независимые одинаково распределенные д. с. вл определим Ма= щах (Хь Х,, ..., Х„). Пусть йг„(Л, р) (О < Л < Р) — число членов в последовательности !лМ' (лщв!' (лщна' ' ' " !лп)' таких, что Хг = Мь Здесь, как обычно, символ ( ) означает взятие целан части, Показать, что вероятностнан производящая функция величины йгл(Л, Р) равна (пл! ЩМ М(з л )=ехр ~ (п(1 — ))= И (1 — ), ( г-!Хл) ) г (кл! Указание. Ввести д.
с. в. если Х! = Мь в противном случае. Используя задачу 21, показать, что С(!) — независимые случайные величины, и затем найти !ля) И М (го !з!). !-'(лз! 24 (продолженне). Показать, что предельное распределение величины !ул(Л, р) прп и -г со является пуассоновским с параметром )п(р(),). 26. Пусть )г'!, „ — индекс последнего максимального члена последовательно.
и 1 стн Хь Хт, ..., Х! 1. Доказать, что велнчина — )Р!, и имеет предельное прп лп пр л-г сю распределение, являющееся равномерным нз отрезке (О, 1). 26. Пусть йрь йяз, ... — независимые и равномерно распределенные па (О, Ц д. с. в. Пусть йг — число индексов 1, удовлетворяющих соотношению ! < Ц В'!<1, )=! где ! — фиксированное число, 0 < ( < 1.
Найти функцию распределения вели. чины М Ответ: М имеет пуассоновское распределение с параметром — 1п !. 27. Пусть Хь Хз, ..., Х суть л наблюдений случайной величины с непре. рывной функцией распределения Р(х). Пусть гт'„ — число индексов й, для которых Хь > щах (Хь Хз, ..., Хя 1)л где й = 1, 2, ..., л, Показать, что пронзвовящая функция для й! равна л Р(йгл Нз ( ) г,! Задачи 28. В предыдущей задаче установить соотношение Г М(йа) а.о 1п и 29. Пусть Х! = (Х„У;), ! = 1, ..., а, суть а пар действительных случайных величи!, причем все из них независимы и одинаково распределены с непрерывной функцией распределения г"(х).
Говорят, что вектор Е! (Хг, У!) — допустииыа, если не существует другого Л! = (Х;, Ут), у которого Х! > Хь У, > У,, Пусть 1„ — число допустимых векторов в последовательности Х!, Хьг, ..., 2„. Без потери общности предположим, что Е! неренуиерованы в гаком порядке, что Хг<Хгг ... <Ха. Доказать, что 1„- ~И~З Оь г-! где О! — независимые случайные величины, определяемые равенством 1, если ранг У! в множестве Уь У!+о,..., У„равен и — г+1, (7! = 0 в противном случае. Указание.
Использовать результат задачи 21. ЗО. При условиях задачи 29 найти вероягностную производящую функции д(1) величины 1 (см. задачу 27). Ответ: 1 Г(1+а) Х(!) = и! Г (!) 31. Пусть Хг, Хь ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения г"(х) и плотностью !(х). Пусть а! — пелочисленная случайная величина, равная наименьшему индексу, такому, что Х„>Х!. ивлев, пусть пг — наименьший индекс (>а!), такой, что Х > Х . и вообще пусть а, — наименьший индекс (>л, !), для которого а! аг Х >Х .
Найти функцию распределения величины Х„. аг аг !' Указание: Накладывая условие на значения величин Хг, Х„, Х„, ..., Х„ доказать формулу Р (Х„<з(= 7 хг х, ! (Хг-!) дхг-! ( ((хг — г) дхг-г ( 1 (хо) дхо ((х ) Дх = ("(( )Д ! — р (х,,) ! Р(х — г) 1 Г(хо) Затем упростить ее, Другой путь решения — использование индукции по г. Ответ: Плотность величины Х„равна г ( ) = 1(х), х>О. аг г! 32. Пусть Х!, Хг, ... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения г'(х) и плотностью !(х).
Пусть и! — д. с, в., определенные в задаче 31. Найти распределение случайной величины а, — а, 294 Гл. 9. Порядковые статистики и пуассоновсние нроиесгы Ответ. Р(п,— н,,=т)= р„( — 1) ~ ) ~ Ь) я+2) и-о Задачи 33 — 37 являютгя вариантами задачи о баллотировке. 33. В качестве модификации задачи о баллотировке, приведенной в тексте, найти вероятность того, что А никогда не будет отставать при подсчете голосов. Указание: Рассмотрим более обшую урновую схему, когда н урне имеется с карт, на которых написаны числа йь Ьь ..., Ьи Пусть ле, нь нт, ...
— количество нулей, единиц, двоек, ... среди Ьь Ьт, ..., й,. Предположим, что Ь~ + ... -ьй, = й (О < Ь < с). Пусть ч~ (1 = 1, 2, ..., с) — д. с, в., значение которой равно числу на Ьй вынутой карте. За один раз вынимается одна карта; обратно в урну она не возвращается. Обозначим Р) (с, Ьт н,, и о ... ) = Р (ч, + ... Ч- чг < г + й г = 1, 2,.... с). Поместив в урну дополнительную карту с числом О, получим рекуррентную формулу не+ 1 Р), (с+ 1, Ь; н, + 1, нь а,, ...) = Р) (с, й; и,, и, ) + с 1-1 )-! 'кч и! + Д вЂ” Р..(с,й — йп +1, п,..., и., п — 1, п.....). с+1 1 — ! ' О ' г"" г-! ! ' т+! г 1 С помощью метода, использованного в тексте (где па = а, пз = Ь, а + Ь = с), показать, что вероятность того, что А никогда не будет отставать при подсчете голосов, равна Р (ч1+ ... Ь чт < г + 1.
г = 1, 2...., с). Ответ: (а — Ь ч- 1)т(а +!). 34. Рассмотрим урну, содержашую а белых и Ь черных шаров (а > Ь). Последовательно вынимаются все шары случайным образом без возвращения, Одновременно производится случайное блуждание по неотрицательныл~ целым числам, которое начинается с 1. Направление шага (вправо или влево на 1) зависит соответственно от того, белый или черный очередной шар вынут из урны. Чему равна вероятность того, что за а + Ь шагов хотя бы один раз будет достигнута точка ОУ Ответ: ЬДа+1). 35. Пусть а и Ь вЂ” положительные целые числа, а > Ь.
Доказать следующие равенства: (1) — + Ь а+Ь ь-! + (2Ь+ 1) Х ! ! 2Ь+! У а (а — 1) ... (а — Ь+ 1) Ь (Ь вЂ” 1) ... (Ь вЂ” Ф) Ь Ь ) (а+Ь)(а-1-Ь вЂ” 1) ... (а+Ь вЂ” 2!т) а+! ' и=! Ь Х а (а — 1) ... (а — г + 1) Ь (Ь вЂ” 1) ... (Ь вЂ” г -1- 1) ( 2г 1 а — Ь Ь (а + Ь) (а + Ь вЂ” 1) ...
(а Ч- Ь вЂ” 2г + !) 1 г ) а + Ь вЂ” 2г а + 1 ' г-! Задачи Указание: (1) Рассмотреть ситуацию задачи 34. Выразить событие, заключавшееся в достижении начала координат, через лгомент первого достижения начала координат. (2) Это равенство получается при рассмотрении последнего момента, в который количества вынутых белых и черных шаров равны. Должны быть использованы результаты задачи о баллотировке, задача 34 и вывод формулы (6.12) в гл.
4. 36. При условиях задачи 34 доказать, что вероятность достижения начала координат равна (Ь)( — )" (-+) (а+ 1) (а+ 2)... (а+ и) ' если случайное блуждание начинается в точке л. Здесь а — положительное целое число, и < Ь. Указание: Найти рекуррентную формулу для Р„(а,Ь). Затем использовать индукцию по а совместно с результатом задачи 34, т. е. равенством р1(а, Ь) = Ьг'(а + 1). 37. Пусть Р„(х) — эмпирическая функция распределения, соответствующая и наблюдениям из равномерного распределения на [0,1). Найти вероятность Р„(а,у)-Р(Р„(х)<а+ух при всех О~к~~1), где (л — 1) /и < а < 1, у > О, у + а > 1. Ответ: 1 — [(1 — а) АУ[В 33.
Пусть а < (а — 1]/л, а все остальные условия — те же, что и в задаче 37. Доказать, что Ри (а. У) / Ри-л ( — а, — у!) л(и г(й а л л-1 'а-1 О -а)/т Указание: Наложить условие на максимальное значение реализации случай. ной величины и использовать формулу полной вероятности. 39. Пусть Показать, что Р. (а у) -1 — Х Оа (а. у л). г э где целое число Ь определяется соотношением А/и < 1 — а < (Гг + 1)/а. Указаиие: Расслютрим вспомогательное событие, заключаюшееся в том, что рч(х) а+ ух при некотором х.
Оно происходит тогда и только тогда, когда lл — г а! л — г Ри ! — — — ) ~ — при некотором г=1, 2, .... Ь. лу у) и Гл 9 Порядков»ге статистики и нуиссоноеские прочессы Введем событие Аь заключаюшееся в том, что минимальный индекс г, для которого выполняется неравенство а равен ! (г = О, 1, ..., А). Найти ~Ч' Р (А!). г' о Другим методом решения является использование результата задачи 37 н проведение индукции по и. ЗАМЕЧАНИЯ В этой главе мы придерживаемся точки зрения Репьи [!] па порядковые статистики и пуассоновские процессы.
Комбинаторные методы, примененные во второй половине главы, в основном базируются на работе Такача, которая пока еще не вышла в виде книги'). Подробное обсуждение порядковых статистик с точки зрения классической статистики можно найти в книге Уилкса [2]. См. также приводимые там ссылки. ЛИТЕРАТУРА 1. К си у! А., ЪНангзсйе!пнснйензгеснпппа, пц1 ешегп Аннана йЬег !п!огпгаИопз!Ьеог!е, (зеп1зснег Нег!аа бег 1Н!ззепзснанеп, Вегпп, 1962.
2. У ил кс С., Математическая статистика, «Наука», М„!967. ') Монография Л. Такача «Комбинаторные методы в теории случайных процессов» вышла в оригинале практически одновременно с книгой Карлика; русский ее перевод вышел в 1971 г. (нзд-во «Мир»), — Прим. ред. Глава 10 БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ й !. ПРЕДВАРИ1ЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Математический анализ некоторых специальных классов случайных процессов развит весьма детально. Наиболее известен 'процесс броуновского движения, который исторически был первым среди досконально исследованных процессов. Мы лишь слегка коснемся некоторых из наиболее интересных его особенностей и надеемся вызвать у читателя интерес к элегантной н совершенной теории этого процесса.
Броуновское движение как физическое явление было открыто английским ботаником Броуном в 1827 году. Математическое описание этого явления было выведено из законов физики Эйнштейном в !905 году. С тех пор в этой области отмечен значительный прогресс. Физическая теория была далее усовершенствована Смолуховскиоь Фоккером, Планком, Бюргером, Ферсом, Орнштейном, Уленбеком, Чандрасекаром, Крамерсом и другими, Математическая теория развивалась медленнее, потому что точное математическое описание модели связано с рядом трудностей, тогда как некоторые из вопросов, на которые физики получили ответы из данной модели, были весьма простыми и интуитивно ясными.
Многие из ответов были получены эвристическим путем Башелье в его книге (1912 г.), тогда как первое математически четкое построение теории было дано Винером в его диссертации (!918 г.) и более поздних работах (см. ссылки в конце данной главы). В терминах нашей общей классификации случайных процессов процесс броуновского движения является примером марковского процесса с непрерывным временем и непрерывным пространством состояний. Мы обсудим только одномерный случай. Пусть Х(!) — положение частицы (как функция времени) в броуновском движении (см. стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
