3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Используя свойство непрерывности траекторий, покажем, как вычислить различные интересные вероятностные характеристики броуновского движения. Первый пример иллюстрирует использование так называемого принципа отражения. Имея в виду непрерывность Х(1), рассмотрим множество траекторий Х(г), 0 <~ <Т, Х(0) = О, обладающих тем свойством, что Х(Т) > а (а > 0).
Поскольку Х(с) непрерывна и Х(0) = О, существует момент т (который сам является случайной величиной, зависящей от рассматриваемой выборочной траектории), в который Х(г) впервые достигает значения и. При 1 > т построим отражение Х(г) относительно прямой х = а н обозначим Х(1) для т <ти Х (с) = а — (Х (() — а) для 1 > т (рис. !). Заметим, что Х(Т) < а, поскольку Х(Т) > а. Так как вероятностный закон развития процесса прн с' > т при условии, что Х(т) = а, симметричен по отношению к значениям х> а и х < а н не зависит от предыстории процесса до момента т, операция отражения ставит в соответствие каждой выборочной траектории с Х(Т) > а две равновероятные выборочные траектории Х(Г) и Х(1), такие, что гпах Х (и) > а и гпах Х (и) > а.
о<и~т о<и<т Обратно, в силу самой природы этого соответствия каждая траектория Х(с), для которой тахХ(и) ) а, является одной из двух оаи<т равновероятных выборочных траекторий, одна из которых такова, что Х(Т) > а, если Х(Т) ~ а. Но Р(Х(Т) = а) = О. Таким образом, зоз а 3, 'ССеорервсвноств траеитоСтий можно заключить, что если Х(0) = О, то Р( шах Х (и) ~ )а) = 2Р (Х (Т) > а) — ) ехр ~ — — ~ с(х. (3.1) о<иаг )т2пТ т 2Т С Приведенное выше рассуждение нельзя считать исчерпывающим, хотя этот метод и типичен для многих задач анализа случайных процессов с непрерывными траекториями. (Такие процессы называются диффузионными.) Строгое обоснование включало Рис. к бы использование строго марковского свойства для марковского времени (см, гл.
8, 5 4), соответствующего первому прохождению уровня а. С помощью этого же «принципа отражения» можно теперь решить следующую задачу: найти А(х, у)=Р(Х(1)>у, ппп Х(и)>О~Х(0)=х) (3.2) о<и(с для х > 0 и у > О. Чтобы найти (3.2), запишем очевидное соотношение Р (Х (с) > У ~ Х (0) = х) = =А(х, у)+Р(Х(т)>у, ппп Х(и)<0!Х(0)с-х) (З.З) О<и<С и применим принцип отражения к последнему члену. Рис.
2 поясняет рассуждение. Можно заключить, что Р(Х (с) > у, ппп Х (и) < 0)Х (0) = х) = О~и<С = Р (Х (т) < — у, ппп Х (и) < 0 ~ Х (0) = х) = 'О~и<С = Р (Х (Г) < — у ~ Х (0) = х). (3. 4) З04 Гл. И Броуновское движение Обосновать (3.4) можно следующим образом.
Рассмотрим траекторию, начинающуюся в точке х > О, удовлетворяющую условию Х(1) > у и достигающую значения 0 в некоторый промсжуточ. ный момент т. Отражая такую траекторию относительно нуля после момента т, получаем траекторию, начинающуюся из х и достигающую значения, меньшего, чем — у, в момент (. Отсюда получается первое равенство в соотношении (3.4).
Второе равенство Рис. 2. очевидно, поскольку условие пнп Х(м) -. 0 излипше при вьшоло<и<1 ненни неравенства Х(г) < — у (у > О) '). Подставляя (3.4) в (3.3), получаем и Г Г (х — и)'1 ! г Г (х ирч А (х, д) =- —, )" ехр ~— 1)с(и — = ) ехр~— ~ с(н. )' 2пс ~ 2) ~ )'2пс ~ 2) С помощью соотношения (3.4) можно определить распределение момента первого достижения уровня а > О при условии, что ') Т.
е. (Х (~) < — у (у>0)) с ( ппп К (и) =. О) и. следовательно, Р(Х ()) < 0<и<с < — у (у>0), 1пш Х (и) <О) = Р(Х (С) < — у (у>0)), — Прим. нерво, о=и<с 5 3. Непрерисвавсто траектория 305 Х(0) =- О. Пусть Т, — момент первого достижения траекторией Х(Г) значения а, где Х(0) = О. Тогда, очевидно, Р (Т, ~( г) = Р ( гп ах Х (и) ) а ! Х (0) = Ог1.
о<и<с (3.5) Но в соответствии с (3.!) Р ( гпах Х (и) ) )а ! Х (0) = 0) =- 2Р (Х (г) > а) = о и<с )'2пс 1 2 и поэтому Р(Т ~(Г)= 1~ — ~ ехр~ — —,— ~сГх. а Р(Т,(Г) =ф' — „( ехр~ — ф~с(у. (3.6) аЬ и Функция плотности случайной величины Т. получается дифферен- цированием (3.6) по й Таким ооразом, )т (т~Х(0)=0)с(с= г ьехр~ — — 1сГг. ~~- „1 (3.7) В силу симметрии и пространственной однородности процесса броуновского движения мы заключаем, что (в силу (3.8) Другой способ получения результата (3.8) состоит в следуюгцем.
Если Х(со) = а, то вероятность Р(а) того, что Х(г) имеет хотя бы один нуль между со и гь равна т,-и Р(а) = —, ) ехр~ — — 1и " с(и. ~ц! г Г ае1 3 Р 2п 2и~ (3.9) Делая замену переменной х = у у Г, получаем Р( гп(п Х (и) ~ (0 ~ Х (0) = а) = о<и<с Р( пзах Х(и))О~Х(0)= — а) = (в силу о<и<и Р( иах Х(и)= а <Х(0) = — О) =- Р(Т,(г) = о<иа Г от 1 и '"' ехр ~ — — ~ оси, а > О. )' 2п ° ~ 2и~ о симметрии) однородности) (в силу (3.7)) Гл.
/О. Броуновское движение 306 С помощью этой формулы можно найти вероятность сс того, что если К(0) = О, то Х(1) обращается в нуль хотя бы один раз на интервале (Ге, Гг) В действительности мы налагаем условие на возможные значения Х(1е). Так, если Х(1,) = а, то вероятность того, что Х(1) обращается в нуль на интервале (/е, /г) хотя бы раз, равна Р(а).
В силу формулы полной вероятности') а = )/ Р (а) Р () Х (со) ) =- а)Х (О) = О) с/а = е = ~l — „~ Р(а)ехр~ — — ~с/а. (3.10) о Подставляя в (3.10) выражение (3.9) и меняя затем порядок ин- тегрирования, получим гй-Ь е то О-ь l о ~о (3.11) Внутренний интеграл может быть взят, и после упрощения получаем г,-г. у/е ( Ии а=— — (.+.) У-. После замены переменных и = (еот получим выражение г (г~-гв/г 2 Г Ыо 2 Ге а = — ) — = — агс(а' е/ и ) 1+о' и о /е иа 2 Ге — = соз —, или а = — агс соз 1/— 2 Л 1/ В результате получаем следующую теорему.
') В первом интеграле сомножитель Р()Х(/е)1=а1Х(0) =0) является услов. ной плотностью вероятности величины Х(/е), в не условной вероятностью, т, е. вдесь Р(~ Х(/о)~ = а)Х(0) = О) = р(иго ! О)+ р( — а,/о)0) = 2р(а,/в ~ 0), а > О.— Прим, перев. которое можно записать с помощью стандартных тригонометри- ческих соотношений в виде Задачи зот Теорема 3.1. Вероятность того, что Х(!) имеет по крайней мере один нуль в интервале ((з, й) при условии, что Х(0) = О, рпвна 2 го а = — агссоз 1у — . я Проведенные вычисления и обсуждения являются лишь введением в сложную структуру процесса броуновского движения. Существует множество фундаментальных связей между процессами броуновского движения и различными типами случайных процессов, возникающих в физике, биологии и экономике.
Мы отсылаем читателя к специальным книгам, посвященным этой теме. ЗАДДЧИ Следующие задачи имеют дело с броуновским движением, опредеченным на стр. 299, с = ! (т. е, ат(Х(!)) = ! и Х(0) = 0). Они дополняют предыдущий текст и раскрывают другие интересные свойства обычного процесса броуновского движения.
1. Доказать, что Р( шах Х (и) <$, х(Х (!) <х+дх)- 0<а<! = ~ ехр( — — ) — ехр( — ) ) дх дляй>х,$>0. Указание: Использовать принцип отражения или продифференцировать соот. ветствуюшим образом переписанную формулу для А(х,у) (см. формулу (33)). 2. Определить совместную плотность для М (1) =' шах Х (а) и Х (1), в<а<с Ответ: ехр~- ), 0<в, х ~<4! — г 2 (2$ — х) / (2$ — х)' 1) 2пг ~ 21 ! о, $ < х. 3. Доказать, что Р (М(1) > $)Х(1) = М(!)) ехр( — йз)21).
Указание: Пусть У(1) М(Г) — Х(Г). Найти условное распределение для М(Г) при условии, что У(Г) О. 4. Пусть Те — максимальный нуль функции Х(т), не превышаюшвй й Дока- зать формулу Р (Те <го) — агсз!п )т сей 2 Указание: Использовать теорему 3.!. 5. пусть т1 — минимальный нуль функции х(т), превышающий г, показать, что 2 (а) Р (Т, < 10= — агссоз)т К, 2 (б) Р (То <го, Т1> й) — агсмп )т1з/й. Гл. 10.
Браун~ некое дпнжс~те 808 6. Доказать, что ! Х(Г)! — марковский процесс с непрерывныь~ временем. (Использовать симметрию Х«) относительно из~зла координат.) 7. Доказать, что У(Г) = М(Г) — Х(Г) — марковский процесс с непрерывным временем. Указание: Учесть, что для !' < ! У «) = гпах ( шах (Х (и) — Х «') ), У «')) — (Х «) — Х «') ). г'< и <г 8. Показать, что случайные процессы У«) = М«) — Х(Г) п [Л'(Г)! эквпва.
лентны. (Говорят, что два процесса эквивалентны, если у них совпадают все конечномерные распределения.) Указание: Поскольку ! Х(Г)! и У«) — марковские пргпгсссьп достаго шо до. казать, что плоюгостп функций распределения Р(У(г)<Р)У«э)=уэ,г.<1) Р()х(П)<Р[ !х«,))=ус, 1.<!) с п1падаюг. Для вычисления первого члена использовать задачу 2 н представление У«), дшшое в задаче 7.
9. Доказать, что вероятность того, что У«) обратится хотя бы один раз в 0 иа интервале (Ге, Г~), равна (2/и) агссоз ) Гэ[тг . 10. Пусть Т! [То) — минимальный (максимальный) нуль фупкпии У(т) = = М(т) — Х(т), пренышаюшнй (ие превышавший) 1. Покачать, что Тч и Т, обладают теми же распределениями, что и величины Тэ и Тг соответственно, определенные и задачах 4 и 5. !1. Доказать, что 2 . l и — Г Р (Х (т)ФО, 0<1 <т<и< ! [Х (0) =Х (1) =0) = — агссоэ 1~' и 7 и(1 — !) Указание. Вычислить ! 2 ~ ~Р[Х«)=а, Т(а)=т — г, Х(! — т)=0[Х(0)=0)М а-о т=и Х [Р (Х (!) 0! Х (0) = О)) г)а сгт, где Т[а) — время первого достижения броуновским процессолг уровня О, есш| Х(0) = а (сп.
формулу (3.7)). Тогда равенство — ~ — агссоэ 177с и )"! — (и — 1)[и(! — Г) )Т! -1 / 217 ! — [ — ) ит )ге ! и и)~ (1 — и) (и — 1) доказывает искомый результэт. 12. Пусть Т(Л) — время первого прохождения уровня Л > О, если Х(0) = О. Доказать, что распределение величины Т[Л~ ж Лэ) совпадает с распределением суммы 7'(Л,) и Т(Лз), где Т(Л~) и Т(Лт) рассмагрпваютсн как независимые слу. чаипыс величины, Ль Лэ > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
