3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 48
Текст из файла (страница 48)
22). Пусть хо — положение ча. соипы в момент !о, т. е. Х(!о) = хо, а р(х, !!хо) — условная плотность вероятности величины Х(1+ !о) при условии, что Х(!о) = хо, Мы постулируем, что вероятностный закон, «управляющий» переходами, стационарен во времени (поскольку р(х, !(хо) не зависит от начального момента 1,). Поскольку р(х,!!хо) — плотность вероятности, то р (х, ! ! х„) ) О, ) р (х, ! ! х,) г(х = 1. (1.1) 298 Гж 70. Бдорновсхоо движеное Далее, предположим, что Х(1+ (о) при малых 1 с большой вероятностью находится вблизи точки Х(1о) = хо.
Это достигается условием (нп р(х, т !хо) = 0 при х~хо. (1.2) г-»о Исходя из физических законов, Эйнштейн показал, что функция р(х, г)хо) должна удовлетворять уравнению в частных производных — =Р— др д'р дг дхг ' (1.3) которое называется уравнением диффузии; Р является коэффициентом диффузии.
Малые частицы совершают броуновское движение благодаря столкновениям с молекулами окружаюгцих их газа или жидкости. Величина Р находится из формулы Р = 2»сТ(Щ, где (хг — газовая постоянная, Т вЂ” температура, Аг — число Авогадро, ( — коэффициент трения. Выбирая соответствующий масштаб, можно получить Р = 1(2. Тогда непосредственной проверкой устанавливаем, что функция р(х, ! !х,) = — ехр ! — (х — хо)г(2(] 1 г 2ио (1.4) или р„(и + 1) — р» (и) = 2 ]р»о ! (и) — 2р, (и) + р», (и)].
(1.5) 1 Слева стоит дискретный аналог производной по времени, а справа — с коэффициентом 1(2 — дискретный аналог второй производ- ') Подробности можно найти в книге Е. Б. Дынкина и А. А. Юшкевича «Теоремы и задачи о процессах Маркова», «Наука», 1967. — Прим. перво. является решением уравнения (1.3), точнее единственным его решением, удовлетворяющим условиям (1.!) и (1.2). (Вопрос о единственности решения уравнения (1.3) должен быть сформулирован строго, а его анализ требует большой аккуратности и выходит за рамки данной книги.
Прилежный читатель может обратиться к книге Ито и Маккина, упомянутой в ссылках в конце главы.) Другим подходом к (1.3) является аппроксимация с помощью дискретного случайного блуждания' ). Рассмотрим симметричное случайное блуждание на целочисленной решетке (см. пример Б, гл. 2, 5 2). Пусть р»(и) — вероятность того, что частица при случайном блуждании в момент и оказывается на расстоянии й справа от исходной точки ( — оо < й < оо). Уравнение Колмогорова— Чэпмена (формула (3.2) гл. 2) принимает в этом случае вид 1 ! р» (и + 1) — — р» о ! (и) !- — р», (и), 4 2. Совместные вероятности 299 ной по пространственной переменной. Переходя соответствующим образом к пределу при одновременном стремлении времени между переходами и величины шага к нулю, можно получить (1.3) из (1.5). В частности, пусть интервал времени между переходами равен Л, а величина каждого шага равна т!.
Тогда аналог соотношения (1.6) имеет вид яч ("+ ) ) рл (и 1 (!с2) (рм»пч (нз) — 2рл (нз)+ р (нв)) . (1.6) Пусть теперь Л и т! стремятся к 0 так, что сохраняется соотношение Л = т!', и в то же самое время пусть п и я стремятся к оо так, чтобы йт(- х, а пЛ вЂ” й Тогда ряч(пб)- р(х, 1~0) и соотношение (1,6) формально переходит в (1.3) . Мы не будем пытаться проводить эту процедуру более строго. Это просто по существу, но требует довольно тонкого анализа.
При другом способе перехода к пределу используется центральная предельная теорема. Имеем р,(п)=р(Х, +Х,+ ... +Х„=я), где (Х ) — последовательность исходов бросания симметричной монеты (т.е. Х; = 1, если выпал герб, и Хе = — 1, если выпала решетка, причем вероятность каждого исхода равна 1/2). По центральной предельной теореме (см. гл. 1, $ 1) Ув л я 1!гп ~~~ рв(п) = )' ехр ( — из)2) с!и. и-» У 2п (1.7) Предельное соотношение (1.6) и равенство (1.7) в сущности эквивалентны и связаны друг с другом «принципом инвариантности для случайных процессов». Приведенные эвристические выводы могут быть сделаны строгими, но это выходит за пределы данной книги.
2, СОВМЕСТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ Переходная плотность (1.4) дает вероятностное распределение только для величины Х(1) — Х(0). Полное описание процесса броуновского движения дается следующим определением. Определение 2.1. Броуновское движение является случайным процессом (Х(1); 1)~0) со следующими свойствами: (а) любое приращение Х(1+ в) — Х(з) нормально распределено со средним значением 0 и дисперсией с1; с > 0 — фиксированный постоянный параметр; ЗОО Гл.
10. Броуновское Зиежснне (б) для любых двух непересекагощихся интервалов (Еп гг), (гз, Гз), )! < Гг < гз < Гм приращения Х(У,) — Х(гз) и Х(сг) — Х(Г,)— независимые случайные величины с распределениями, указанньсми в пункте (а); аналогичное свойство имеет место и для и непересе- кающихся интервалов, где п — произвольное положительное целое число. Таким образом, мы постулируем, что смещение Х(1+ з) — Х(з) не зависит от прошлого, или, другими словами, если известно Х(з) =- хе, то никакая дополнительная информация о поведении Х(т) при т < з не влияет на наше знание вероятностного закона, «управляющего» приращением Х(г+ з) — Х(з). Формально это означает, что при Г ) го ) г! )...
) Го Р (Х (г) < х ! Х (го) = х„Х (г!) = х„..., Х (г„) = х„) = =- Р (Х (Е) (~ х ~ Х ((в) = х„). (2.! ) Это говорит о марковском характере процесса. Подчеркнем, одна- ко, что предположение (б) о независимости приращений на самом деле более ограничительно, чем марковское свойство. В силу пункта (а) определения при с = ! имеем Р (Х (!) ( х ~ Х (Го) =- хо) = Р (Х (Г) — Х (зо) ( (х — хо) = з-з, ! аг ехр ] - 1с(а.
(2.2) ! 2л (! — го) в ~ 2 О го) ! Согласованность пункта ( б) определения с пунктом ( а ) сл е- дует из известных свойств нормального распределения, например если с! < гг < сз, то х (),) — Х (г,) = (Х (к,) — х (г,)] + (Х (г,) — Х ((,)]. Слагаемые справа являются независимыми случайными величи- нами со средними 0 и дисперсиями Гз — 6г и гг — сз соответственно. Следовательно, их сумма распределена нормально со средним 0 и дисперсией 6з — зз, как и должно быть. Используя (2.!) и (2.2), нетрудно найти совместную плотность величин Х(гз), Х(сг), ..., Х(! ) (О < Гз < !г «... („) при усло- вии, что Х(0) = О.
В самом деле, для этого нам необходимо лишь знать плотность вероятности того, что Х, =.Х((!) = хз, Х,— Х, .= = хг — хз и т. д. и, наконец, Մ— Х„! = х„— х„!. В силу пункта (б) определения сразу получаем следующее выражение для функ- ции плотности: )(хь ..., х„) = р(х!, Г!) р(хг — хь Г,— Г!) ...
р(х„— хн-.„Гн — Гн-!), (2.3) где р(х, г) = ехр ( — — !. ! ! хз! !' 2си (, 2! / 30! з З Соомеотоон воров~посто Имея формулу (2.3), можно в принципе найти любые интересуюгцие нас условные вероятности. Из марковского свойства следует, что если й < (з < (м зо условная плотность величины Х((ь) прн известных Х(11) и Х((з) совпадает с условной плотностью величины Х((з) при известной величине Х((з). Однако плотность величины Х((з) при известных Х(й) и Х((з) также представляет интерес.
Предположим для определенности„ что Х((~) = Х((о) = О и 11 —— О, (з = 1, а 6 = 1 (О < 1 < ! ). В силу (2.3) совместная плотность Х(1) н Х(1) равна зп!'7(Т вЂ” Г) 1 2 [ ! 1 — ( Отсюда следует, что условная плотность величяны Х(1) при условии Х(0) = Х(1) = О, которую мы обозначим через )~(х!Х(0) =- = Х(1) = 0), равна ! Г ! х' ехр ~ —— 1, — оо<х<оо, 1:,и,((,) ~ „(,,)', В частности, М,(Х(1)) = О, а М,(Хх(1)) = 1(! — 1), где М, означает математическое ожидание, взятое прн условии Х(0) = Х(1) =- = О. Такими же методами можно получить более общий интерполяцнонный результат.
Т е о р е и а 2.1. Условная плотность величины Х ((), 1~ < 1 < (м при условии, что Х((~) = А, а Х((х) = В, является нормальной со средним и дисперсией ('2 0 (( й) Это можно свести к разобранному случаю следующим образом. Рассматриваемая условная случайная величина Х((), т. е. д. с. в. Х(Г) при условии, что Х(1,) = А и Х((х) = В, имеет такую же плотность, как и случайная величина А + Х(1 — 1~) при условии, что Л(0) = О, Х((,— 1,) =  — А, которая в свою очередь имеет такую же плотность, как и случайная величина А+Х(1 — 1,)+ ' ( — А) при условии, что Х(0) = 0 н Х ((г — 11) = О. зе2 Гл. 10. Броуновское движение В 3.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ И ИХ МАКСИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ Броуновское движение — физический процесс, и это наводит на мысль, что возможные реализации Х(с) как графики изменения положения частицы (т. е. выборочные траектории), движения которой определяются непрерывными столкновениями с молекулами окружающей среды, являются непрерывными функциями времени.
Этот факт является верным, но его строгое доказательство требует довольно тонкого анализа, Выборочные траектории Х(с), хотя и непрерывны, но весьма причудливы, и у них ни в одной точке не существует производной. Этот факт является довольно глубоким. Исчерпывающее описание структуры выборочных траекторий процесса броуновского движения можно найти у П. Леви, а также у Ито и Маккина (см. ссылки в конце этой главы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
