3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 45
Текст из файла (страница 45)
число таких функций равно ( ). Чтобы сосчитать те из них, графики которых не имеют общих точек (кроме граничных) с прямой, имеющей наклон 45', достаточно в силу симметрии сосчитать те ступенчатые функции, графики которых проходят ниже указанной прямой, и удвоить это число. Однако график любой ступенчатой функции, лежащий ниже прямой с наклоном 45', проходит на первом шаге через точку (1, О) и затем идет к точке (и, и), ! 2и — 11 Очевидно, существует( а 1ступенчатых функций, графики которых ведут из точки (1, О) в точку (и, п). Мы хотим сосчитать лишь те из них, которые лежат ниже прямой с наклоном 45'. Чтобы найти это число, мы сосчитаем число ступенчатых функций, графики которых ведут из точки (1, О) в точку (и, и) н имеют по крайней мере одну общую точку с прямой ! 2и — 11 с наклоном 45', а затем вычтем это число из ~ ).
Покажем сначала, что любая ступенчатая функция, график которой ведет из (1,О) в (п,п), имеет хотя бы одну общую точку с прямой с наклоном 45' и заканчивается вертикальным скачком (рис. 5), соответствует ступенчатой функции, график которой ведет из (1, О) в (и, п), пересекает прямую с наклоном 45' и заканчивается горизонтальным скачком.
Чтобы показать это, возьмем ступенчатую функцию, график которой соприкасается с прямой с наклоном 45' и заканчивается вертикальным скачком; пусть (й, я) — точка их последнего соприкосновения перед достижением (п, п). Отразим часть графика между точками (я, А) и (и, и) симметрично относительно указанной прямой (см. пунктИрную линию на рис. 5). Очевидно, такой процесс устанавливает взаимно однозначное соответствие между двумя видами графиков ступенчатых функций — касающихся прямой с наклоном 45' и заканчивающихся вертикальным скачком и оканчивающихся горизонтальным 232 Гя. д Порядковые статистики и пдассоновские процессы Это также вероятность, задаваемая формулами (3.7) и (3.9). Результат (3.10) также могкет быть выведен с помощью непосредственного приложения теоремы о баллотировке.
Наконец, результат (3.10) можно получить из результатов, касающихся бросания монеты и полученных в гл. 4. Соответствующим примером была первая из цепей Маркова, рассматривавшаяся в гл. 4, 5 4. В нашей формулировке искомая вероятность является в точности вероятностью того, что первый переход из состояния 1 в состояние 0 произойдет при (2п — 1)-м испытании при условии, что общее число выпадений герба равно общему числу выпадений решетки за 2п испытаний.
Безусловная вероятность того, что первый переход из состояния ! в состояние 0 произойдет при (2п — !)-м испытании, вычислена в гл. 4, 5 б. Было показано, что она равна , 2 1 — 2п С 2п ! 2п — ! (, и )' Следовательно, условная вероятность такого первого перехода 1 еп 1 равна в точности — )во = как и должно быть. Ряп В 4. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Следующая лемма представляет интерес сама по себе и будет использована при нахождении предельного распределения для эмпирических функций распределения. Л ем м а 4.1.
Пусть х = (х„..., х„) — вектор в и-мерном евклидовом пространстве. Предположим, что х, +ха Р ... +х„=О ! и что ~~" хи~О для ! (1()(п. д-! -! Пусть хд+ = хд, и пусть х(й) =(хд, хд+ь ..., х„,, х„д,) циклическая перестановка компонент век!ори х, й = 1, 2... и Тогда для любого т = О, 1, ..., п — 1 существует ровно один из векторов х(й), й = 1, ..., и, такой, что среди частичных сумм его компонент (взятых по порядку, начиная с первой) в точности т сумм положительны.
Доказательство. Пусть зд = х!+ ха+ ... + хд, я = 1, , и, и зв = О, зд+ — — зд, й = О, 1, ..., и, Тогда все зд, й = 1,2, ., и, различны, поскольку если з! =в! для 1(!<1(п, то х! +... + х, = х! +... + х; + хсм + ... +хь т. е. хеы + ... + х; = О, что противоречит сделанным предположениям. Оче- 283 4 е, Некогорые предельные распределения видно, частичные суммы взятых по порядку (начиная с первой) компонент вектора х(й) равны З» З» 1 З»+1 З» 1ь ' ' 'ь Зп З» 1~ Зп.»1 З» !ь ' ' ' З».нп — ! Я» — ! (4.1) Эта последовательность статистически эквивалентна следующей: 2„ — з» 1, з»„! — 2» 1, ..., з„ вЂ” з» 1, з! — 8» 1, ..., 8» , — з» ,.
(4.2) Пусть теперь 1' 2' '''' Зп — единственная перестановка зь эм ..., з„, для которой з"! > з', ) ... > з*„. Такая перестановка действительно существует (и единственна), поскольку все з» (Й = 1, ..., и) различны. Число положительных членов в последовательности (4.2) (илн, что то же, в последовательности (4.1)) совпадает с числом положительных членов в последовательности (4.3) 1 З»-1' 2 З»-1' ' ' '' Зп З»-1' поскольку это попросту перестановка (4.2).
Далее, для любого г = О, 1, ..., и — 1 будет существовать ровно одно число й (1 ( (й (и), такое, что в точности г членов в (4.3) (а следовательно, и в (4.1)) будут положительны. Чтобы показать это, достаточно выбрать й так, чтобы Я» 1=8,+1 Тогда з! — 2» !)О, з' — з„,)0, ..., з,' — з», >О, а з,', — з»,=0, Эта лемма имеет геометрическую интерпретацию. Отвлечемся от предположения з„= О. Отметим точки (О, 0), (1, з,), ..., (и, зп) на плоскости в декартовой системе координат. Соединим соседние точки отрезками прямых, как показано на рис.
6. Получившаяся ломаная называется суммарным полигоном вектора х = (х, ..., х„). Точно таким же образом можно получить суммарные полигоны векторов х(й), компоненты которых являются циклическими перестановками компонент вектора х. Отрезок прямой, соединяющий точки (О, 0) и (и, з„), называется хордой суммарного полигона. Рассмотрим точку пересечения Р этой хорды с вертикальной прямой, проходящей через точку (й,з»).. Из элементарных геометрических соображений ясно, что ордината Р равна (й/п)з„. Следовательно, расстояние по вертикали от точки (й,з») до хорды полигона равно з» вЂ” (й)п)я„. ез4 Гв, 9.
Порядковые статистики и пуассоновские прояессм Далее, вектор с компонентами (Х1 — яп(П, Хт — Бп)П, ..., Хв — яп/и), очевидно, удовлетворяет условиям леммы, включая и требование того, чтобы п-я частичная сумма была равна нулю. Лемма утверждает, что среди суммарных полигонов, соответствующих и циклическим перестановкам вектора х, для любого г = О, 1, ..., п — ! существует ровно один, у которого в точности г вершин находятся (п, в„) 14 вт) Рис. 6. (4.5) выше хорды. В частности, для случая т = О нужно взять циклическую перестановку, начинающуюся с номера 1+ йе, где йс — ин.
деке, при котором достигается тпах (в„— (й7п) з„). Случай г = и — 1 соответствует номеру 1+ Йь где Й~ — индекс, при котором достигается ппп(зе — (й/и) з„), и т. д. В заключение главы укажем на применение леммы 4.1 к анализу некоторых д.с.в., связанных с эмпирическими функциями распределения. Пусть, как обычно, г„(х) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема и из равномерного распределения на [О, !). Введем две случайные величины (т'„и !',, Положим У„=(общая длина всех интервалов на оси х, на которых г"„(х)~х) (4.4) (рис. 7). Для реализации, показанной на рисунке, У„равна сум. ме длин всех отрезков, отмеченных жирной линией.
Определим 'ттп = 1п1 (х ~ Рп(х) — х =- п1ах [т'„(х) — х]). ем к 4 ~ 285 З 4. ттекоторые предельные распределение Величина гпах [Р„[х) — х1 = 1л,+, обычно называемая односто- 0(к~! ранней статистикой Колмогорова — Смирнова, является важной характеристикой наблюдения, используемой в статистических тестах при решении, принадлежит ли исследуемая выборка заданному равномерному распределению. Наша цель в данном параграфе — определить закон распреде. ления величин У и 1' .
Замечательным результатом является то, Р,1,! Рис. 7. что при любом и любая из этих величин распределена равномерно на отрезке [О, !1. Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим пуассоновский процесс Х[1), О (1(1, с параметром 1. Далее, разделим интервал [О, 1) на г + ! частей: (О, +), ( —,',, —,', ), ..., ( — ',, 1), где г+ 1 — простое число, большее и. (Причина этому будет ясна из дальнейшего.) Приращения Х ( ', ), Х ( — ', ) — Х ( ', ), ..., Х [11 — Х ( — ') — независимые и одинаково распределенные по закону Пуассона случайные величины. Обозначим эти приращения через ять 1Рм 286 Гл. Д Порядковые статистики и пуассояовскпе процессы !Ггы соответственно и определим случайные величины У,=97 — —, 1=1, ..., г+1, о г+1 которые, очевидно, независимы и одинаково распределены.
Образуем последовательность частичных сумм 5ь =. )г1+ ... + Уго й =- 1, 2, ..., г + 1, и заметим, что Р(5,=0)=0, 1=1, 2, ..., г. (4.6) В самом деле, из равенства 5; = 0 следует, что (г+ 1) Х ( ,г+1 =т'. Но этого не может быть в силу предположения о том, что г + 1 больше л, ! и не делится ни на п, ни на й поскольку г+ 1— простое число '). Следовательно, равенство (4.6) доказано. Аналогично можно показать, что Р(5; — 5е = 0) = 0 для лю- бых 1 ) 1. Это означает, что с вероятностью 1 никакая из частич- ных сумм 51 — 5; (О <1< !'< г+ 1, 5о = 0) не равна нулю. Пусть й(„— число положительных членов в последовательности 5ь 5,,...,5„, 7.„— наименьший индекс 1, для которого 51 = гпах(0, 5,, 5„), Для последовательности хе = 5; — 5; ь ! = 1, ..., г, выпол- нены гипотезы леммы 4.1, если 51 — 5е Ф 0 (1> 1) и 5,+1 ФО.
Но указанные события имеют вероятность 1. В соответствии с леммой Р (7., = т ~ 5,ь, = 0) = Р (М, = т 15, ь~ = 0) = — (т = О, 1, ..., г). 1 (4.7) Если Х(1) = п, то Х(1)(п распределена по закону В„(!), 0 < ! <1, (Это следует из результатов в !.) Следовательно, можно опреде- лить величины (г'„, !г„для —, 0<! <1, при условии, что Х !О Х(!) = п. Утверждается, что и„-, „', 1< — „,, 1(г„— „', < „,, где постоянные А и В зависят от п, но не от г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
