3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(хе((1, 0 в противном случае. (1.!2) Формулы (!.7) и (1.8) совместно с (1.9) и (1.10) также показывают. что множества величин Х"„..., Х"„, и Х" и ..., Х„' (условно) независимы при условии, что Х' = с . Более того, два множества случайных величин Х;, ..., Х", и Х' и ..., Х„' (1<)е) условно независимы при известных значениях остальных величин Хе о ..., Х', Пользуясь этим, можно получить совместную плотность для любого числа последовательных порядковых статистик.
Так, совместная плотность величин Х"„..., Хр Х'+и ..., Х„" (!<и) при усло- Ю д Порядковые статистики 261 В частности, (1.12) при 1+ 1 = й дает маргинальную (частную) плотность величины Х' и! я-я Г(хя) = х (, („), хк (! — х„), 0(х (1, (1.13) 0 в противном случае, которая является плотностью бета-распределения. Порядковые статистики Х;, Х', ..., Х„' делят интервал (О, 1) на п + 1 непересекающихся интервалов, имеющих длины Очевидно, Уь Ум ..., У, У„+т не являются независимыми слуя+~ чайными величинами, поскольку ~ У, = 1. Записывая преобрат ! зование переменных (х'„..., х"„) в (ип ..., ио) и,=х,', и = — х'+ х', т ! в' (1.14) — х'„, + х„ и = а и вычисляя якобиан зтого преобразования, который в данном случае равен тождественно 1, можно найти совместную плотность д(ит, ..., и„) случайных величин (Уь ..., У„).
Именно п1, и, > 0 (Е = 1, ..., и), х.е ит ( 1, 0 в противном случае. Таким образом, можно сказать, что случайные величины (Ут, ..., У„) распределены равномерно в области я ит>0, 1= 1, ..., п, ~2~ ит(~1. 1 268 Гл. 9 Порядковые статистики и пуассоиовские прояессы Это также определяет распределение случайных величин ((,11, ..., (/„, (/„„1) в области ля-1 и!)О, 1=1, ..., и, и+1, ~2~и! — — 1.
1 1 Покажем теперь, что совместное распределение величин ((/1, ..., (/,.г1) совпадает с распределением величин где 5 = У! + .. + У + У +ь а Уь 1= 1... и, и+ 1,— независимые экспоненциально распределенные случайные величины (с параметром й). Этот результат может быть доказан с помощью вве.
дения пуассоновского процесса и анализа задачи в новых терминах. Для разнообразия дадим прямое доказательство. Для этого ЗаПИШЕМ СОВМЕСтНуЮ ПЛОтНОСтЬ ВЕЛИЧИН (У1, ..., Ул+,) л--1 тлыехр( — Х2~ уе, у!ЪО, 1=1, ..., п+1, / (У! ° ° ° Ул+1) = 1-1 О в противном случае и сделаем преобразование У! ' '' + Ул-т! Уг ог= У! + ' ' ' + Ул+1 ."л У1+ ...
+У ел+! =. У1+ ° ° ° Улв1 Обратное преобразование имеет вид У! = о!" в ь У2 о2ол+1 Ул = плов+1~ Ул+! = оп+!11 — (о! + ° ° + ол)1. й 1 Порядковые статистики 269 Отсюда можно найти якобиан о+! 0 0 ... 0 0 ел+, 0 ... 0 0 0 о+!... 0 0 ... ол+, олв-! ел+! оя ол ол+! Ол+! 0 0 ... 0 ел+, 0 ... 0 0 ое,... 0 о, — ол л+!' Ол+! ол 0 0 0 ... 0 1 Следовательно, совместная плотность величин У,/5, Ут/5, ..., Г„/5, 5 равна /(он ° ° ол~ ол+!) л+! Лл ехр(-Лоле!)ел+!, о!)О, с=1, ..., и+1, ~ о!=1, ! ! 0 в противном случае. Лл+ ! Г „, ехр(- Лов+,)ол+„ол,)0, :(ол+!)= 0 в противном случае л /( ) л1, о!~)0, с 1, ..., и, ~о!~(1, (1 1б) 0 в противном случае. Поскольку (1.1б) согласуется с (1.15) и поскольку — + — +...+ — + =1 1', Уа ел ел+! З ''' 8 а Отсюда следует, что 5 и случайный вектор (У!/5, ..., У„/5) не- зависимы и имеют следующие маргинальные плотности: 270 Гя.
д Порядковеяе стотистики и одоссововские ирояессы утверждение о равенстве распределений величин ((гь ..., (7«,г) (У,!В, ., У„„!В) доказано. 5 2. ЗАДАЧА О БАЛЛОТИРОВКЕ Теперь мы хотим показать некоторые применения пуассоновскпх процессов и соответствующих порядковых статистик к анализу различных случайных величин, связанных с эмпирическими функциями распределения.
Для этого мы сначала получим некоторые результаты, известные под названием задачи о баллотировке, которые представляют значительный интерес и ценность сами по себе. Задача о баллотировке может быть сформулирована следующим образом. При баллотировке (выборах) и общем количестве избирателей с кандидаты А и В получают а и Ь голосов соответственно, а+ Ь = с. В течение подсчета голосов лидерство кандидатов может все время меняться. Задача о баллотировке (в ее простейшем варианте) состоит в следующем: предполагая, что а > Ь, найти вероятность того, что кандидат А при подсчете голосов будет всегда впереди (хотя бы на один голос). Непосредственное решение задачи о баллотировке следующее.
Рассмотрим фиксированное размещение а символов А и Ь символов В на окружности. Для данного размещения определим число начальных позиций, при отсчете от которых, скажем по часовой стрелке, символы А всегда будут лидировать в счете.
Чтобы найти эти позиции, исключим последовательно все соседние пары АВ, проходя для этого окружность, возможно, несколько раз. В результате останется а — Ь символов А. Легко понять, что оставшиеся места и являются теми исходными позициями, при отсчете от которых символы А всегда лидируют, Отсюда следует, что вероятность того, что А всегда лидирует (возможное наблюдение является описанным размещением илн одной из его циклических перестановок), равна (а — Ь)/(а + Ь). Эта вероятность не зависит от выбора исходной последовательности.
Отсюда вероятность того, что кандидат А всегда лидирует при подсчете голосов, равна (а — Ь)/(а + Ь). Проведенный анализ весьма элегантен. Однако, поскольку мы имеем в виду другие обобщения, сформулируем теперь задачу о баллотировке в терминах более общей «урновой схемы» и проанализируем ее структуру. В урне а карт, на которых написан нуль, и Ь карт, на которых написана двойка, а+ Ь = с, а)~Ь. Карты вынимаются из урны одна за другой случайным образом без возвращения до тех пор, б 2, Задача о баллотировке '27! пока не будет вынута последняя карта. Пусть тч — случайная величина, равная числу, написанному на 1-й карте, 1= 1, ..., с. Тогда задача о баллотировке будет решена, если найти Р(т~+та+ ...
+ч,<г, г= 1, 2, ..., с). (2.1) Это утверждение следует из того факта, что если среди первых г чисел имеется и нулей и р двоек (св + р = т), то условие т, + ... + т„ < г означает, что а ° 0 + р 2 < а + р, или б < а. Очевидно, (2.1) является вероятностью того, что это неравенство ()1 < я) выполняется для г = 1, 2, ..., с. Чтобы найти вероятность (2.1), заметим сначала, что (ть тт, ..., т,) является набором из а нулей и Ь двоек и все из с!/(а!Ы) возможных перестановок равновероятны. Это означает, что для любого г (т = 1, ..., с) и любого множества й, ..., 1, различных чисел из набора (1, ..., с) совместное распределение (ч;, тс,, ..., т, ) совпадает с распределением (ть т,, ..., т„).
Говорят, что случайные величины ть ..., т„, обладающие таким свойством, перестановочны. (Независимые одинаково распределенные случайные величины являются перестановочными.) Тогда, поскольку т,+та+ ... +т,=а О+Ь 2=2Ь, (2.2) имеем с си~ М(тт) =М(ч~+та+ ° +те)= 2Ь. ч ! Поскольку д.с. в, ты,, ..., та перестановочны, все т~ имеют одно и то же маргинальное распределение и, следовательно, сМ(тт)=2Ь, или М(ч~)=2Ь/(а+Ь), 1 1, 2, ..., с. (2.3) Используя этот факт, докажем теперь по индукции относительно с, что Р(ч, + ...
+т,<г, 7= 1, ..., с!т~+т,+ ... +ч, =2Ь) = = 1 — 2Ь/с = (а — Ь)/(а+ Ь). (2.4) Покажем сначала, что (2.4) справедливо для с = 1. Но из того, что с = 1, следует, что а = 1, Ь = О, поскольку неравенство а ) Ь ~~ 0 предполагалось в постановке задачи. Тогда, очевидно, Р (т, < 1) = Р (т~ = О) = 1. Утверждение (2.4) тривиально для 2Ь = с, поскольку в этом случае тс +... + чс = 2Ь = с.
Предположим теперь, что (2.4) выполнено для всех с <и — 1 и 0 <2Ь < с. Мы хотим доказать, что (2.4) справедливо также для с=п и О<2Ь<п, 272 Гд 9. Порядковые статистики и арассоновские ароиессы Пусзь Ь' — целое число, такое, что 0 = Ь' < Ь. Тогда Р (т, + ... + т, < г, г = 1, ..., с ~ т, + ... + теь = 2Ь ) = = Р(т, + ... +тт<г, г=1, ..., 2Ь )т, + ... +т,ь=2Ь'), (2.5) так как неравенство т~ + ... +т, < г всегда выполнено при г = = 2Ь + 1, ..., с в силу условия (2.2).
Но правая часть (2.5) является выражением того же типа, что и левая часть (2.4) при условии вида (2.2). Действительно, в (2.4) заменены лишь с на 2Ь и 2Ь на 2Ь'. Используя гипотезу индукции, где с и Ь заменены соответственно на 2Ь и Ь; получаем Р(ч1+ ... +т„<г, г= 1, ..., 2Ь !т, + ... +теь=2Ь ) = = 1 — 2Ь'/2Ь.
(2.6) Чтобы завершить доказательство, запишем Р(т,+ ... +т„<г, г=!, ..., п)= ь =.:„'Р(т,+ ... +ч„<г, г=-!, ..., п(т,+ ... +ты —— 2Ь')Х ь -о ь Х Р(т, + ... +тм=2Ь') = Д~ (1 — 2Ь'/2Ь) Р(т, + ... +ы,~ = 2Ь') (2,7) в силу (2.6). Но ~ 2Ь Р(т1+ ° ° ° +таь= 2Ь )=М(т~ + ° ° ° +теь)=2Ь ' 2Ь/п в силу (2.1). Следовательно, из (2.7) вытекает, что Р(т,+ ... +т,<г, г=!, ..., п)= ь ь =,«„Р(т1+ +тть=2Ь') ' ~~2Ь'Р(т~+ . +таь=2Ь)= 2Ь леа ь'-о ь =о =1 — — 2Ь вЂ” =1 — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
