3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

3ОО Задачи 13. Найти условную вероятность того, что Х(Г) не обращается в нуль на иожсрвале (Го,тз) при условии, что Х(Г) не обращается в нуль на интервале (!от~), 0 <Го(0 ( !о. Огааг: агсмп ]г !о!!о агсз!п ]' !о)!1 14. Показать, что вероятность того, что Х(Г) не обращается в 0 ва интервале (О, гз] при условии, что Х(Г] не обращается в 0 на ингервале (О, !о), 0 < Г~ < !о, равна Гг!о(го.

Указание: Найтг~ Р (Х (Г) ьи 0 0 < !о (» ! (» !о ! Х (!) Ф 0 0 < !о » (т » (то] а затем положить Го-ьО. 1б. Покззать, что вероятность события ] Х(1~) — Х(!о]! ) $ прн условии, что Х(!) принимает какое-то экстремальное значение (Х(Г) имеет два экстремальных значения) на интервале (1„!о) либо в точке !о, либо в Гь равна ехр( — Взг2(г~ — то)), Го ) О. Указание: Доказать следующие утверждения. (1) Событие, упомянутое в задаче, может произойти лишь при осуществлении одной нз четырех возможностей; (А) Х(!о) является минимумом, (В] Х(то) является максимумом, (С) Х(т~) является минимумом, (О] Х(Г~) является максимумом.

(2) Условная вероятность осуществления какого-либо одного нз событий (А), (В), (С), (О) прн условии, что илоеет место любое другое нз этих событий, ранна нулю. (3) Р (]Х (!о) — Х (Го) (>К] (А) или (В). или (С), иля (О) имеют лшсто) = Р(]Х(!1) — Х(г,))>в(п]Р(а](А) или (В). или (С), илн (О) а=(ль !В), (сь !Вн имеют место) = ехр( — во)2(!о — !о)) (использовать задачу 3 н принцип отражения). 10. Д .

ть, что Р(Х(т) ФО, тон(0, !)]Х(0)=а, Х(!)=Ь, ай>0)=! — е Указание; Использовать функцию А(х, у), 17. Проверить, что М(Х(Г)Х(з)! Х(0) = 0) = шш (1, з). 18. Доказать, что следующие пары случайных величин илгелот одни н те же распределения прн всех т > 0: (а) Х (сЧ)/с, с>0 и Х (!), (б) ГХ (!)Г) и Х (Г).

19. Доказать ревене~во ! Р(й! (1)»(х ! Х (1) » (О] = — ! Р(М (и)»(х] Х (и) О) = о(и. 1 г ч ги (! — и) о Указание: Рассмотреть последний момент времени (меньший !), когда Х(!) обращается в О, прн условии, что Х(1) ( О. Использовать также тот факт, ч~о условие Х(1) ( 0 эквивалентно условшо — оо < Х(1) < оо в силу принципа отражения. Гж /О. Броуновское движение 310 20. Доказать, что Р (Х(Ц < х ! Х(и) ) О, 0 < и < Ц = 1 — ехр( — х'/2). Указание Использовать пространственную однородность броуновского дви жения. Тогда Р (Х (Ц «( х [ Х (и) ) )О, 0 «(и («Ц = Р (Х (Ц «(х [ Х (и) («Х ( Ц, О «( и «( Ц = ! — ехр ( — х'/2) (см. задачу 3).

21. Доказать, что для и, 6 > 0 Р (Х (и) < аи + [1, 0 «( и ( ! ! Х (0) = Х (1) = 0) = 1 — е Р 13 +Ю. Указание: Использовать теорему 2.1 для доказательства равенства Р (Х (и) < аи + О. О «(и ( 1 [ Х (0) = Х (Ц = 0) = = Р[Х(и) <О, 0(и~![Х(0) = — 3, Х(Ц- — 3 — а) а затем использовать задачу 16. 22.

Рассмотрим селгейство случайных величин 0Г(1) е /. Показать, что к(0-1/3 (йг(1), 1 > 0) является мартингалом, т, е. М (йг (1) ! !У (1,), !У (1,), ..., !Р (га)) = йг (1,), где 1 > 1~ > 1з >... > 1к > О. 23. Пусть О=ге <1л!<1з « ... 1„"=1 — последовательность точек разбиения единичного отрезка, таких, что и!ах [1" — 1", !11 — ьО при л-эло. 0<!<к Пусть л-! (/„= ~ЧР~ [Х [газ,) — Х[1лг))~, л= 1, 2, .

с-о (а) Доказать, что М((/ ) = 1 для всех л. (б) Доказать, что Дгп М((/~) = 1. 24. Доказать, что плотность р(1, х, у) = ехр [ — (х — у)'/2Ц 1 )'2пг удовлетворяет уравнению теплопроводностн др ! дзр д1 2 дхз ' 25. Какова вероятность того, что частица, находившаяся сначала в 0 и совершающая броуновское движение, достигает уровня Ь прежде, чем уровня — е (Ь>О, с>О)у Указание; Пусть и(х) ( — с < х < Ь) — вероятность того, что броуновская частица достигает из точки к уровня Ь прежде, чем — с. Доказать, что и(х) удовлетворяет уравнению ь и (х) = = — [ ехр [- (х — у)з/21[ и (у) с/у+ о (1"), 1-ь 0„ )/2н1 1 311 Литература при любом г > О. Затем доказать, полагая г -» О, что и(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению ип(х) = 0 и граничному условию и (- с) - О, и (Ь) Ответ; и (х) = (х + с)/(Ь + с).

Двумерным процессом броуновского движения Х(Г) =(Х1(Г), Хт(Г)) является процесс с независимыми прираиГенияии (см. гл. 1), такой, что Х~(0) = Хз(0) = 0 и совместная плотность Х(!) равна 1(х,, хз) = — ехр~ — ~ =ехр~- — ) ехр~ — )'. 2яс 21 ) 2п! 21 у»2тст 2! 28. Пусть Х(!) — двумерный процесс броувовского движения.

Пусть й(Г) 7 Хз!(Г)+Хзз(!). Доказать, что й(Г) — марковский процесс с непрерывным временем, простран- ство состояний которого есть (О, оа). ЗАМЕЧАНИЯ Содержание этой главы полностью основывается на классической работе Леви [11, в особенности на ее гл. 6.

Мы рекомендуем также блестящую монографию Каца [21, где можно найти приложения броуновского движения к статистической механике и математическому анализу. Выдающейся работой по диффузионным процессам, которая завершает и глубоко обобщает работу Леви, является книга Ито и Маккина [3!. ЛИТЕРАТУРА 1.

1.ее у Р., Ргосеззнз з1осйаМ!Чцез е! гпопчегпеп1 Вготчп(ап, бан!й(ег-Н11(агз, Рапз, 1948. 2. К а ц М., Вероятность и смежные вопросы в физике, М,, «Мир», 1965. 3. Ито К., Макк ни Г., Диффузионные процессы и их траектории, М., «Мир», ! 968. Глава 1! ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОЦЕССЫ й 1. ВЕТВЯЩИЕСЯ ПРОПЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Ветвящиеся процессы были введены в качестве примеров цепей Маркова в гл. 2, 5 2.

Существуют многочисленные примеры марковских ветвящихся процессов, которые возникают естественным образом в различных научных дисциплинах. Перечислим некоторые из наиболее интересных процессов. (а) Электронные умножители Электронный умножитель является устройством, усиливающим слабый поток электронов.

На пути электронов, испускаемых источником, устанавливается ряд пластин. Каждый электрон, ударяясь о первую пластину, порождает случайное число новых электронов, которые в свою очередь ударя|отса о следующую пластину и в свою очередь порождают электроны и т.д. Пусть Хч — число исходных электронов, Х,— число электронов, испущенных первой пластиной благодаря соударению с Хо исходными электронами. Вообще пусть Մ— число электронов, эмиттированных п-й пластиной благодаря столкновению с электронами, испущенными (и — 1)-й пластиной. Последовательность случайных величин Хы Х,, Хм ..., Х„образует ветвящийся процесс.

(б) Нейтронная Пенная реакция, При случайном столкновении с нейтроном ядро расщепляется. В результате деления испускается случайное число новых нейтронов. Каждый из этих вторичных нейтронов может бомбардировать другие ядра, производя случайное число новых нейтронов, и т. д, В этом случае первоначальное число нейтронов равно Хо = 1. Первое поколение нейтронов включает все произведенные при делении, вызванном исходным нейтроном. размер первого поколения является случайной величиной Х,.

В общем случае размер и-го поколения Х„ складывается нз случайного количества нейтронов, произведенных прн бомбардировках ядер Х„, нейтронами (и — 1)-го поколения. (в) Выживание фамилии. Фамилию наследуют только сыновья. Предположим, что каждый индивидуум с вероятностью рх имеет й потомков мужского пола. Далее, каждый индивидуум порождает 1-е, 2-е, ..., п-е, ... поколения потомков. Можно исследовать распределение такой случайной величины, как число потомков З Д Соотношеная для нроизаодящей ФЧ Ноечнн В и-м поколении, или определить вероятность того, что фамилия исчезнет. Такие вопросы будут изучаться в данной главе при об-' щем анализе ветвящихся процессов. (г) Выживание мугантных генов. Каждый отдельный ген имеет возможность породить й «потомков», й = 1, 2, ..., которые являются генами того же типа.

Однако любой отдельный ген также может трансформироваться в другой тнп, называемый мутантным геном, который может стать первым в последовательности поколений мутантных генов. Представляет интерес вероятность выживания мутантных генов в популяции исходных генов, Все приведенные выше примеры имеют следующую структуру. Пусть Хо — размер исходной популяции. Каждый индивидуум независимо ог других порождает й новых индивидуумов с вероятностью рм где ря'-О, я=О, 1, 2, ..., ~~ ря=-1. я-о (1.!) й 2.

СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ, ОПИСЫВА!ОШЕЙ ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС Получим некоторые соотношения для производящих функций распределений величин Х„. Предположим, что исходная популяция состоит нз одного индивидуума, т, е, Хе = 1. Очевидно, для любого п = О, 1, 2, ... можно записать где $, (г ~ 1) — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением й = О, 1, 2, ..., я'„ р„ = 1, Общее количество всех прямых потомков индивидуумов исходной популяции образует первое поколение, размер которого мы обозначим через Хь Каждый индивидуум первого поколения вновь независимым образом порождает потомство в соответствии с распределением (1.1). Общее количество всех потомков образует второе поколение размера Хз.

Вообще п-е поколение складывается из потомков (и — 1)-го поколения, каждый из членов которого независимо порождает й потомков с вероятностью рго й = О, 1, 2, Размер популяции и-го поколения обозначается через Х . Величины Х„образуют последовательность целочисленных случайных величин, связанных в цепь Маркова. рл.

Характеристики

Список файлов книги