3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Двумерный процесс Хи = («гя, )ти) является как раз таким процессом: начало координат является единстВенным поглощающим состоянием, и оно может быть достигнуто из любого другого. Это является следствием того факта, что гр(н) не имеет линейных компонент и р.< 1. Таким образом, все состояния, за 828 Гя. Хп Ветвящееся лрвиессы исключением начала координат, невозвратны.
Следовательно, есл (х„) = и„+ р„, Р(0 < (Х„) ( У для бесконечно многих и) = 0 для любого положительного У (см. теорему 7.1 гл. 2). Это означает, что Р ( ! Х„~ -+ 0) + Р ( ! Х „! — + оо) = 1. Из формулы (5.4) имеем М(Хл!Хв) = ХвМл. Но из теоремы 2.3 ! л «риложения следует, что — М сходится покомпонентно при ,л п — оо. Следовательно, в случае р (1 компоненты векторов М(Х„)Хв) остаются ограниченными при и-+ со, Отсюда следует, что событие )Х„)- оо происходит с вероятностью О. Следовательно, Р(1Х„) -+0) = 1, или, что то же, и„— 0 и )с„-+ 0 при п -э со с вероятностью 1.
Таким образом, если р (1, то лщ = л~" = 1. Рассмотрим теперь случай р > 1. Из формулы (5.3) при з = г = 0 имеем ф'„",(О, 0)=ф"'(ф~„п(0, 0), ф'„и(0, 0)), (=1, 2. (5.6) Пусть до~=фи~(0, 0)=Р(и„=У„=О~и,=1, )'в=О), д~и=ф~а(О, О)=Р(и„=-) „=О!и,=О, )',= ц. Тогда (5.6) можно переписать в виде чсй ф!)(чсн,~и)) (5.7) Поскольку фн!(8,1) является возрастающей функцией з и г' (причем если увеличиваются обе эти переменные одновременно, то— строго возрастающей) и поскольку с)1п = ф~о(0, 0) >О, 1 = 1, 2, то имеем, очевидно, сф> ф">(с)1п, с))Я!)>ф<о(0, 0)= с)1", с'= 1, 2. Тогда по индукции с)<п = фи> (дп1, Чсв) > фсв (дс!~ и с)(2~ ) = ЧЮ, 1 = 1, 2.
Следовательнг, с!'„с!, и= 1, 2, ..., при любом 1 = 1, 2 — монотон. но возрастающая последовательность, ограниченная сверху числом 1,и !пп с)~„"=я~с~(1, 1= 1, 2. Л-+ля р д. Ветвящиеся врвцессм с двумя тииами чаем(ц 329 Пусть в соотношении (5.7) и — > аа. Тогда яп) ф(п(я(1) я(в)) 1= 1, 2, Перепишем (5,8) в векторной форме ф„(! — н)= ! — М("'и+о()в )+! ! !), где т( ) т(в) (ч) 1! 12 т(л) т(в) 21 22 (5.9) и )н! < е, Из соотношения М[Х )Хо) = ХоМ" следует, что М(и) .= М .
Пусть норма вектора ч = (оь ов) определяется как сумма абсолютных значений его координат: !ч! = )о((+ )оя!. Докажем теперь, что для достаточно больших и ! М"н !) 2 ! и 1, и = (в, 1), (5. 10) при условии, что и )~ О. Действительно, в соответствии с теоремой 2.3 приложения 3 хоуо хоу' М м=р ~хо о о о н+о(Р )" ,у', х уо или, в векторных обозначениях, и = ф(<х), Докажем теперь, что и ~ 1 и что это — единственное решение уравнения (5.5) при ука- занных условиях. Раскладывая ф'„1)( , ) по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1), получаем выражение )(дф~,() (в, О д (т дф(1) (в, () +! д( )(+о()в!+!(!), (58) -1- Ы которое справедливо при (! — в! ( 1, /! — 1! ( 1 и достаточно ма- лых в н (, Символ о( ) означает, что (о()в! + )(!))<((!в! + !1!)-(.О при ! в ! + !1! — > О.
Очевидно, д(р(1) (в, 1) =м!и„!и,=), ),=о1= 1;, дф~,ч' (в, () = М ~)т„! и = 1, )с, =- О ! = т<,",', дф~~~ (в, () =м[и„!и,=о, у,= !]= <д), 5=1 1 дф(в)(в, () д -М!)~ !Со=о, Уо= 1|=т("). 330 Гя. га Ветвяеклеся процессы где р — максимальное собственное значение М, а хгв - (хн х"), у'-(у>н у~) — отвечающие ему единственные (с точностью до постоянного множителя) соответственно левый н правый собственные вектоРы, ноРмиРованные таким обРазом, что хо>Уо>+ хвор, '=!.
Обозначение о(р") является обобщением общепринятого. Йменно о(рл)/рл — вектор, каждый элемент которого стремится к 0 при и — л оо. Множитель о(р") не зависит от ц. Он равен разности меж> ду — М" и его предельным (при и- оо) значением. Перепишем л вышеприведенное выражение в виде Млц — рл (роз + ро!) хо + о (рл) ц ц — (Я !) Если ц )~0, то получим очевидную оценку ~ Мл 1>~ л~ о+, о~ ( о о)~ ц1+ о( л)~ ц~ Поскольку р > 1, то при достаточно большом и получим неравенство (5.10).
Комбинируя (5.9) и (5.!0), получаем 11 — цл(1 — «)1> 21ц1 при условии, что 1 > ц >~ О, )ц! достаточно мал, а и достаточно велико, скажем п)~ и,, Пусть ч = ! — ц. Тогда 1 1 — >рл (ч) 1> 2 11 — ч 1 (5.1 1) при всех 0 4ч <1, удовлетворяющих условшо 11 — ч'1< е, и и )~ по Используем (5.11) для того, чтобы доказать, что ц << 1. Предположим, что >т = 1, т. е. пн> = 1 для > = 1, 2.
Тогда величина с)~л=ф~н(0)>0 стремится к 1 при п- оо. Из (53) следует, что фл„(0) = срл(ф,(0)). Используя (5.11), где ч = фи(0), имеем ( 1 — орле е> (0) ~ = ~ 1 — фл (фп (0) ) > > 2 ~ 1 — срх (0) ~, (5 12) если 11 — ф, (0) ! < е, а этого можно добиться, выбрав й> достаточно большим. Однако соотношение (5.12) противоречит предположенн>о о том, что фпт>(0)-+1 при и — со.
Таким образом, равенство пр> = пц> = 1 невозможно. Предположим теперь, что пп> < 1 и пц> = !. Тогда ц'н = ф'Н (то'и 1) и ! = ц>м = ф"> (пн> 1). Таким образом, имеем фц>(1, 1) =1, >роя(цн>, 1) 1, д Д Ветвящиеся процессы с доул«я типами частиц 33! где и<'> < 1. Поскольку «р<'>(з,1) монотонна по з, «р<'>(з, 1) должна быть постоянной на отрезке и<'> < з ( 1: дф ' (в, !) О п<п < а <-- ! дв и, следовательно тп<т>= ' ) =О, дф<г> (в Г) дя т-«- что противоречит сделанному предположению о том, что М » О.
Аналогичным образом можно доказать, что случай и<'> = 1, и<'> < 1 невозможен. Таким образом, установлено, что и « 1. Про- верка того, что >т меньше любой другой положительной неподвиж- ной точки, производится следующим образом. Пусть вектор и' > О удовлетворяет уравнению ф(пя) = и*. В силу монотонности имеем и* = <р(п*) > <р,(0, 0). Итерируя, получаем и' )~ фл(0, 0) и, пере- ходя к пределу, находим, что и* )~ и. Ф Мы можем усилить результат теоремы 5.1 следующим образом.
Т е о р е м а 5.2. В предположениях теоремы 5.1 для любого вектора «! из единичного квадрата, отличного от 1, 1!гп ф„(«!) = т«. л-т Доказательство. Предположим сначала, что О <«)<«> < 1 '(<' = 1, 2). Если М вЂ” положительное целое число, то разложение Тейлора функции ф<п(«)) имеет вид ф<п (а) = Р (( Х„(=- 01 и, = 1, 1, = О(+ + ~ Р(Хл = х !(У, = 1, У~=-0)(«)П»"'(«)<'»"'+ 0(<л<~н + Х Р(х„=х)и,=1, У,=О)(д»" (д<т»*. >я<>н Последняя сумма ограничена величиной (<пах(«)<«> д<'»)нР((Хл(> М) < (гпах(«)<«> д<'») и которая при М- оо стремится к О, поскольку <пах(<)<«>,д<'» <1. Каждый коэффициент первой суммы стремится к нулю при и-л со, поскольку (Х„( стремится либо к О, либо к оо.
Этот факт базируется на том, что все конечные состояния, не совпадающие с (О, 0), невозвратны. Отсюда следует, что при фиксированном М и и- оо первая сумма стремится к О. Следовательно, 11«п «р<П(«() = 1)гп Р ((Хл(=О!ив= 1, Уо= 01 = Вгп фл«>(0) =-и<>, л.+ ы л Фы л.+ ы как и утверждается в теореме. Аналогично 1<в ф<т> («() — тт<2> л л-+ ы Гл. (д Вггэятцегл процессы Если одна иэ величин «)«О (« = 1,2) равна 1, но не обе одновременно, то «р«(«)) = («р««>(«)), «р«э!(«))) является положительным вектором, каждая компонента которого строго меньше !. Применяя предыдущие рассуждения к «р«(«)), получаем !! и! «р„(«р, (н) ) = я = 1ип «р„щ («1). ° Следствие 5.!. Единственна«л«и решениями уравнения (5.6) являются 1 и я.
а 6. ВетВящиеся прОцессы с несколькими типАми чАстиц Обобщение теории, развитой в предыдущем параграфе, пз случай большего количества типов повторяет дословно все, сделанное для случая лвух типов. Доказательства не содержат новых идей или приемов Мы приведем лишь сами результаты, Прилежный читатель должен провести полностью все доказательства. Мы рассмотрим ветвящийся процесс для р типов частиц. Различные типы могут отвечать реальным различным мутантным формам некоторого организма или могут соответствовать одному организму, где отдельный тип о«нечаст возрасту или другому подобному свойству.
То, что рассматривается лишь конечное число типов, можно интерпретировать, напри««ер, кзк установление конечного набо а возрастных классификаций. слу «ае излучения фотонов, поэникзющего в электроьном ливне космиче. ских лучей, тип можег соответствовать уровню энергии фотона. Типу 1 соответствует производящая функция (э« '' эр) ли р (г«' ''" р)э« ''' эр' '« '"' 'р 1э,!(1, ...,)эр!((1, «=1, ..., р, где р«п(гь ..., гр) — вероятность того, что один объект типа « породит г« объектов типа 1, гэ объектов типа 2, ..., гр объектов типа р. Введем вектор э = (эь ..., э„).
Пусть !««!(э) — производящая функция числа индивидуумов в и-м понолении при условии, что первоначально был лишь один индивидуум типа 1. Аналогично (5.3) имеем !э+«(э)-!а«(!эи'(э), !«л«(э), ..., !«Р!(э)) 1~П(э) эр и=о, 1, ..., «=1, ..., р. Пусть Е„=(Е„'1,..., Е~~) — вектор, представляющий размер популяции, состоя- щей из р типов э п.л«поколении.
Аналог соотяошения (Б 4) имеет вид М(г„+ )Ев) =ЕэМ'", э где М= ))ти )!«; « — матрица первых моментов: д!«~! (1, 1,..., 1] ти-М(л««Л~Хэ- — е«) ' '''", «, 1=!...„Р, ! а е« вЂ” вектор, у которого 1-я компонента равна 1, а остальные — О. Приведем теперь аналог теоремы 5.1 для р типов. Предположим, что тп ) О для всех «, 1. (Достаточно потребовать, побы и«,. > О для некоторого и «т В 7, Весели!петя процессы с непрерывным временем 333 и всех т, 1.) Пусть л"~ — вероятность вырождения, если первоначально пмеется лишь один объект типа 1 (т = 1, ..., р), т.
е. и ' = Р (Еп — — О для некоторого п ~ Ео = ет). гт) Вектор (п~ ", ..., п~т!) обозначим через и и введем вектор ! = (1, 1,..., 1). Теорема 61, Пусть то > О, 1,/= 1, ..., р, и пусть р — мпксимпльное собственное оно«ение матрицы М. Если р ( 1, то я 1. Если р > 1, то 0(~ и «1 и и удовлетворяет уравнению гн ()т! ( с) 1=1, ..., р. 5 7. ВЕТВЯШНЕСЯ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ Для ветвящихся процессов, изучавшихся в 5 1 — 8, время сушествования одного поколения было фиксировано.
Хотя некоторые явления, в особенности экспериментальные испытания, удовлетворяют этому условию, более естественным представляется процесс с непрерывным временем. Поэтому описание ветвящихся процессов с непрерывным временем представляет несомненный интерес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
