3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 57
Текст из файла (страница 57)
ГГусть М(1) — число объектов в момент 1; обозначим его вероятностное распределение через ря (1) = Р (Ае (() = й), й = О, 1, 2, .... Очевидно, рл(1) =- О прн всех 1)~ О, поскольку в наличии всегда будет по крайней мере один объект, Действительно, до первого «раздвоения» будет в точности один объект, а после него — по крайней мере 2 объекта. Таким образом, р, (!) =- Р (А' (1) =.! ) = Р (Т > 1) = 1 — Р (!), где — функция распределения величины Т.
Пусть 6(з, 1) — производящая функция величины М(1), т. е. ~(з, 1)=,~ря(!)з'=,",ряЯз' Получим интегральное уравнение относительно 0(з, 1). Вероятность ря(1) того, что в момент 1 имеется ровно й объектов, можно выразить следующим образом. Предположим, что первое ветвление происходит на интервале (т, т + с(т), 0 < т 4 1, вероятность чего равна Г(т)е(т, и за оставшееся время 1 — т оба новых независимо развивающихся объекта породят в сумме й потомков, Есте- а 1Л Ветвящиеся процессы, зависящие от возраста 353 ственно, что момент первого ветвления т может принимать любые значения из отрезка [О, !).
Таким образом, из формулы полной вероятности следует, что т я ря (г) = ) !(т) "т~~ рт(г — ) Ря- (г — т), о т-1 р, (!) = 1 — г" (!). я == 2, 3, ..., В силу определения 6(з, !) имеем 6(., !) [1-~(!)[ +~з ~ (Ы~,,рс(г-т)р,,(1-т)- я-з о с=1 = [1 — Г Я) з+,~~ма' ~ И(т).~~!рт(!- т) ря- (! — т). я-о о с-о Поскольку все входящие под знак суммирования величины неот- рицательны, знаки суммирования и интегрирования можно поме- нять местами. Тогда 6 (., !) = ~ М(т) '~аз' ~ рс (! - т) ря, (1 - т)+ [! - Г (!)[ .
о я-о с-о Двойная сумма в правой части является производящей функцией двукратной свертки последовательности (ря(! — т)), Таким образом, с 6(8, 1) = У [6(, Š— ))27(т) с(т+ [1 — Р(!)1 . (11.1) о К сожалению, в общем случае данное интегральное уравнение не решается. Решим его для частного случая, когда Т имеет экспоненциальное распределение с плотностью [(!) =Хе- т, !)О.
13 зак, озо Процесс, соответствующий данному частному случаю, является процессом чистого рождения Юла. Действительно, если вначале имеется п объектов, то время до первого ветвления является случайной величиной Е = гп!п (Хь Хм ..., Х„), где Х; независимы и имеют плотность (!!.2). Распределение величины Е является экспоненциальным с параметром пХ. Следовательно, вероятность того, что ветвление произойдет на интервале длины й, равна пйй + о(й). Когда это случается, популяция увеличивается до размера и+.1 Гя.
6. Ветвящиеся прояессы и временной интервал до следуюшего ветвления будет распределен экспоненциально с параметром (п + 1)Л и т. д, Анализ этого примера с точки зрения процессов чистого рождения был дан в гл. 7, ~ 1. Другой метод, излагаемый нивке, имеет самостоятельный интерес. Если ! — г'(!) = е — ", то уравнение (1!.1) примет вид 6(з, т)етл= Л ) (6(з, У вЂ” т)!тех" ис(т+ з е Произведем замену переменных и = с — т и получим 6(з, ()е"-Л)г (6(з, и))ее'"с(и+а. о Продифференцируем полученное равенство по й елтО (з с) + Лехсб (з () = т [О (з !)]т ехт Вт где Чтобы решить это дифференциальное уравнение, можно разделить переменные: дп (в, С) О (в, с) [В (е, )) — )! Тогда решение имеет вид =С (з) е, или 6(з, !)= ) — С (в) е~~ (1 1.4) где С(з) не зависит от й но, быть может, зависит от з.
Чтобы найти С(з), положим в (! 1,4) с = О. Поскольку ( О, если /гФ1, р (б)=) ' й з= — 6(з ())= 1 С() мы имеем Разделив обе части на ех', получим дифференциальное уравнение Бернулли Ое( !) ) (6( е))г ЛО( (11.3) З 11. Ветвящиеся яроцессьь зависящие от возраста Зоо Таким образом, решение уравнения (11.3), а также уравнения (11.1) в случае экспоненциального времени жизни равно 1) -м (1 1.5) Чтобы найти точный вид ря(1), разложим (11.5) в ряд по степеням з: 6(з 1) =е-мз ~ (! — в-м)" з' я-о Очевидно, что ря(1)=е-"(1 — е и) ~, й=!, 2, Хотя мы не можем в общем случае решить интегральное уравнение (11.1), можно получить из него уравнение относительно среднего т(1) = М(У(1)).
Вспомним, что дп (з, 1) = У й1зз (1) = ш (1). дз з-1 Дифференцируя (1!.1) по з, получаем =2 [ 6(з, 1 — т) ' ~(т)с(т+! — Р(1). е Положим теперь з = 1 и учтем, что 6(1* 1 — т) = Х ря(1 — т) =1; з ! тогда пз(1) =2 ~ т(1 — т))(т) Нт+ 1 — Е(1), о Это интегральное уравнение является примером так называемого уравнения восстановления, Его характерной особенностью является наличие неизвестной функции под знаком интеграла в виде свертки. Существует множество методов, которые описывают асимптотические свойства решения т(1) уравнения восстановления.
Очевидным обобщением описанной модели является допущение о том, что объект по истечении его времени жизни порождает ровно г новых объектов того же типа, где г — фиксированное целое число, г>~ 2. Легко видеть, что интегральное уравнение (11,1) заменяется тогда следующим: 6(з, 1)=) [6(, ! — т)Г1(т)пт+[1 — Г(1)[з. О 12» Гл. 1!. Вегетчпеся процессы 356 и=2, 3, ..., р (1) = [! — Р (1)1 + + ~ с(тПт) ~ с) К Р, (1 — т)(з„ь (1 — т) ... о г-э е,чэзе...
+э!=~ Тогда производящая функция равна 6 (з, 1) = [ ! — г" (1)] з + с + ~~~„ з' ~ г(Ч (т) ~а Чг ~~ ре,(1 — т) . Ре,(1 е-о о г-о л е ... «-э!=э =[! — Г(1))з+ [ гЖ(т),.~)г)~з',~1 р, (1 — т) Р,,(1 — т) ') р (1 - т). о г-о е-о 1 Но сумма Х з' Х (зэ (1- ) р„(1- ) е э еч...чанг э е! 1 "г ') Отличие от первоначально рэссмотрснпого случая бннэрного деления в вырэженив для р~(!! проистекает от того, что если в момент 1 размер популяции рэвен (, то это ознэ~эет, что либо до моментэ 1 не произошло нп одного ветвления (вероятность чего равна 1 — Г(1)), либо ветвление произошло до момснтэ 1 и к моменту 1 рэзмер популяции вновь стал рэвным ! (вероятность этого со.
бытия вырэжэетсв вторым слагаемым), — Прим. нерее. Дальнейшее обобщение этой модели состоит в допущении того, что любой объект по истечении своего времени жизни может породить случайное число новых объектов того же типа, например можно предположить, что объект порождает 1 новых объектов с вероятностью г(г, 1 = О, 1, 2,.... Пусть й (з) = ~ тгз~ г-о — соответствующая производящая функция.
При этол! интегральное уравнение можно получить следующим образом. Предположим, что первое ветвление произошло в интервале (т, т + бгт), О е-.т (1, и при этом образовалось 1 новых объектов. Это событие имеет вероятность суг) (т)тут. Тогда в течение оставшегося времени 1 — т каждый из 1 объектов может породить любое число новых объектов, но так, чтобы их суммарное число в момент 1 равнялось й. В силу формулы полной вероятности имеем р (1) = ) 1т1 (т) ~) П! ~~ р, (1 — т) „ (1 — т) " , „ (1 — т), о г-о е,+е,е ... +э,-э Задачи 357 является производящей функцией (-кратной свертки последовательности (рл(( — т)) (читатель должен это проверить).
Таким образом, эта сумма равна (-й степени производящей функции Х з'рл(( — т)=6(з, (-т), л-о т. е. величине [6(з, ( — т)]г, и поэтому 6 (з, 1) = (! — Р (()) з + ) агт! (т) «з г) г ! 6 (3, ( — г))'. о г-о Но сумма под интегралом равна производящей функции й( ) в точке 6(з, 1 — т), и окончательно интегральное уравнение принимает вид 6 (3, () = ~ й ( 6 (з, ( — т) ) ~ (т) с(т + ([ — Р (()) 3. о задачи 1. Пусть Մ— ветвящийся процесс, Хо = 1. Для произвольного, но фиксиро. ванного положительного пелого й определим последовательность Уг = Хгл, г О, 1, 2..... Показать, чго последовательность (У„ г = О, 1, 2, ...) образует ветвящийся процесс, Кроме того, доназать, что если гр(з) — производящая функции числа прямых потомков одного индивидуума для процесса (Х„), а ф,(х) — ее и-я итера. ция, то фл(з) — производящая функция числа прямых потомков одного индивидуума для процесса (У,).
2. Пусть [(з) = 1 — р(1 — з]а, где р и () — постоянные, О < р < 1, О < р < 1. Доказать, что [(з) — производящая функция и ее итерации имеют внд [п(5)=1 — р '' (1 — 5), и 1, 2...,. 3. Предположим, что [(з) — производящая функция, а й(з) — функция, такая, что д (з) й [[ (Ь (з) Н вЂ” производящая функция. Проверить, что яи (5) = Ь [!и (И (3) Ц вЂ” производящая функция, где [ч и л — функциональные итерации функций ! и я соответственно. 4. В качестве илл|острации к задаче 3 возьмем [(з) =, т)1, гл — (лг — !) з ' и Ь(з] = зл, Л ) Π— целое число.
358 Гл. П. Ветвящцсся процессьг доказать, что д(з) = й-Ч(Ь(з)) — производящая функция н что и-я итерация функции д равна з йв (5) = (тл — (лгч — 1) за)п б. Показать, что М ~ ~ Х„= тД1 — лг), если т = М(Хь) < 1, Ха = 1, а г. л (Х„) — ветвящийся процесс 6. В момент О в культуре клеток крови имеется один эрнтроцнт. Через минуту эрптроцит погибает и заменяется одной нз следующих комбинаций с соответствующей вероятностью (показана справа): 2 эрнтроцята 1 эрнтроцит, 1 лейкоцит Чз, 2 лейкоцита Ч Каждый эритропит живет одну »~кнуту и «порождает потомство» указанным образом.
Каждый лейкоциг живет одну минуту и нагибает, не оставляя никакого потомства. Предположим, что клетки развиваются независимо. (а) Чему равна вероятность того, что к моменту л+ 172 не появилось нн одного лейкоцита? (б) с!ему равна вероятность того, что культура клеток крови погибает? за+! ! Ответ: (а) (Чэ); (б) Чз. 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
