3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Поскольку А(5) может изменяться от 0 до со, то 1(х+у)=1(х)+7(у) для любых х, у)0. (1,12) Кроме того, в силу определения 1(х) )~ 0 и, очевидно, !(0) = О. Единственным решением (1.12), обладающим указанными свой- 9" Л Много.иернае однородные пувссоновские процесса збз ствами, является линейная функция [(х) = Лх с некоторой постоянной Л (см. стр. 205) ').
Равенство (!.[!) доказано. Из замечания после формулы (!.5) следует, что Л вЂ” действительный параметр. Подставляя в (!.]О) равенство (!.!!), получаем о (З) = ЕЛ" 1З1 1'- Н или, что то же самое, й(з) е х,ч<ззччч [лА<5)! а <и Очевидно, это доказывает равенство (!.!), утверждающее, что вероятностное распределение величины Х(5) является пуассоновским. Доказательство теоремы !.! завершено, а Исследуем дальнейшие свойства распределения случайного процесса, характеризуемого постулатами (!) — (4). Удобно говорить, что событие (Х(5) = )г) состоит в том, что «в области 5 сушествуют в точности й точек». Покажем теперь, что если процесс Х(5) удовлетворяет постулатам (!) — (4), т.
е. является пуассоновским процессом на плоскости или в пространстве, то при условии, что в области 5 положительной площади существует в точности одна точка (т. е. Х(5) = [, А(5) ) О), местоположение этой точки является случайным с равномерным распределением в 5. В самом деле, пусть 5 = 5, () 5,, где 5~ и 5з не пересекаются. Тогда в силу постулата (3) Р(Х(5) = [[Х(5) = !) = "«'5'=' "'5'=" = 1 Р(Х(5)= В Р (Х <5 1 = 1, Х <5г) =-О! Р<Х <5,) =!) Р<Х(5з) =0] Р[Х(5)=1) Р[Х(5)=1) ехр [ — ЛА <5,)] ЛА (5,) ехр [ — ЛА <5з)] ехр [ — ЛА (5)] ЛА (5) Поскольку 5, и 5. не пересекаются и 5с [] 5з — — 5, то А(5) = = А(51) + А(5з) и ехр( — ЛА(5с)]ехр[ — ЛА(5з)] = ехр( — ЛА(5)].
Таким образом, имеем Р(Х (5~) = ! ! Х (5) = !) = ') Цитированное здесь доказательство опирается на факт монотонности[(х). Указанное свойство, очевидно, выполняется: если х,у ) О, то можно выбрать 5ь 5, так, что х = А (5,), у = А(5з); отсюда Х (5 ) ( Х (5, 0 5т)1 [ (х) = М <Х (51) ) < М (Х (5, 0 5 ) ) = [ (х + у), что и требовалось доказать. — Прим. дед. 370 Гл, 72. Состаеньге случайные лропессы а это и выражает тот факт, что местоположение точки в 5 имеет равномерное распределение.
Этот результат можно обобгцить следующим образом. Те о р е м а 1.2. Если Х(5) удовлетворяет постулатам (1)— (4), то при условии Х(5) = й, где А(5) ) О, местоположения этих й точек явля!отея независимыми случайными величинами, равномерно распределенными в 5. За меч ание. Утверждение о том, что й точек в 5 независи- мы и равномерно распределены, будет означать, что для любых и л непересекающихся областей 5ь 5„..., 5„, Д 5! = 5, и любых ! целых чисел йь йь ..., йл, ~ й, = й, выполняется условие ! ! Р(й, точек лежит в 5,; йг точек лежит в 5г! .
! /г„точек ле- А (о ) нл ЖНТ В 5л[Х(5)=й)= г,,! ! ), ~ 1(с) ~ ~ А(с) ~ ... [ ~(с) Дока за тел ьство. Пусть 5 = 5! [) 5 () ([ 5„ где 5!, 5м ..., 5„— непересекающиеся области; тогда для любых неотрицательных целых чисел lгь lгг,, й, )г! + йг+ + й =й, Р(Х(5 ) = йб Х(5 ) = й! ...; Х(5л) = йл [Х(5) = Ц= Р (Х (5,) = йг! Х (Яе) = йн ° ° ., Х (Ял) = йл) Р (Х (Я) = Ц Р(Х(5,) = гг,) Р (Х(ое) = йй ... Р(Х(5л) = йл) Р (Х (о) й) е — [ЛА (5~)[ 'е ' — [Ле1 (о,)) '...е "— [ЛА (Вл)1 -лл(я ) ! Н1 ! цэ,! ! Че -ЛА (Зл) ! Ел М! М! ~л! ЛА (Я [ЛА (5)[Н Л! М (А(Л,)1'з ~А(Л,)1ч ~А(зл)1". поскольку А (5!) + А (5г) +...
+ А (5„) = А (5). ° й 2. пРименение мнОГОмеРных пуАссоновских НРОНессОВ В АСТРОНОМИИ Рассмотрим звезды, распределенные в пространстве в соответствии с трехмерным пуассоновским процессом Х(5), описанным в В !. Пусть х н у — трехмерные векторы. Предположим, что интенсивность света, создаваемая в точке х звездой, находящейся .а х Применение н астрономии в точке у, равна 1(х, у, я). Здесь и — действительный случайный параметр, зависящий от яркости звезды, находящейся в точке у. Предположим, что параметры се, соответствующие различным ввез. дам, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с общей плотностью распределения и( ).
Предположим также, что общая интенсивность света, создаваемая в точке х световыми сигналами от различных звезд, является суммой составляющих интенсивностей. Пусть У(х,5) — общая интенсивность света, создаваемая в точке х всеми звездами, локализованными в области 5, т. е. У(х, 5) = ~ 1(х, у„а,). х е в Заметим, что данная сумма содержит случайное (но конечное с вероятностью 1) число членов. Мы желаем найти распределение величины У(х, 5). Задача будет решена, если будет найдено преобразование Лапласа д(г; х, 5) этого распределения, т.
е. д(г; Х, 5)=М(Е 'ГЫ З')= ~Е хтйф; Х, 5)Е(В, )тЕг)0, о где 6(",х,5) — плотность распределения величины У(х,5). Конечно, в принципе, зная преобразование Лапласа, можно найти стандартным образом моменты величины У(х,5), и вообще по формуле обращения можно определить функцию й через д. Вычисления по этой формуле в рассматриваемом случае довольно громоздкие, и поэтому мы не будем здесь их проводить. По формуле полной вероятности имеем д(г. х 5) М(е-хг!х, з!) ~~ М[е-х!'!х, з)[Х(5) Ц Р(Х(5) й) е-о Но из теоремы 1.2 известно, что при условии Х(5) = й эти й точек распределены равномерно как )е независимых случайных величин в области 5. Следовательно, М [е-хг!х з!1 Х(5) = й) = (М[е-хг !х з![Х(5) = 11)н. Чтобы найти М[е ггх з'[Х(5) = 1], заметим, что У(х, 5) = = 1(х,у, «е) при условии Х(5) = 1, где у — местоположение единственной звезды в 5, а и — соответствующий случайный параметр, отражающий ее яркость. Далее, поскольку положение этой звезды распределено в 5 равномерно, имеем м!-"' "~хд! ч- — 1[ 1 -'~" '"х! )х 1хт ! м А(а) 372 Гл.
ПЬ Составные слцнайные процессы где интеграл по переменной у понимается как тройной интеграл по области 5. С помощью выведенных выше соотношений очевидным образом получаем д(г; х, 5)= Г )и — ) е — Мм е а%(а) с(а Иу ехр[ — АА (5)] --- -( [[[- "' "( )= - *е)~. ~< ' -"' '"е(>л — ~) 'т) так как ( с(у=-А(5). Мы определили д(г; х,5) через [(х, у, я), 7г(я) и 5, которые можно считать известными или получаемыми на основе других данных. й 3.
ИММИГРАЦИЯ И РОСТ ПОПУЛЯЦИИ Модель, изучаемая в данном параграфе, описывает однотипную популяцию, развивающуюся из исходной популяции, а процесс роста атой популяции соответствует марковскому ветвящемуся процессу. Кроме того, в дополнение к самопроизвольному росту популяции имеется приток иммигрантов того же типа, которые в дальнейшем развиваются, как и остальные члены популяции, Процесс поступления иммигрантов в общем случае является случайным.
Для определенности опишем процесс, являющийся моделью роста популяций бактерий. Рассмотрим колонию бактерий, состоящую из пе индивидуумов. Предположим, что каждая бактерия независимо от остальных порождает поколение потомков, которые в свою очередь производят следующее поколение потомков и т. д. Рост популяции, развивающейся из одной бактерии, описывается марковским ветвящимся процессом с непрерывным временем. Пусть г(з, ~) — вероятностная производящая функция размера в момент Т популяции, развившейся из одной бактерии. Очевидно, размер популяции, развившейся из колонии, имевшей в момент О размер па, является случайной величиной с производящей функцией [г" (з, 1)]"'.
Предположим далее, что иммиграция новых бактерий происходит в моменты гь ] = 1, 2, ..., Ас. Каждый иммигрант порождает потомство таким же образом, как и исходные пе бактерий, независимо от них и от других бактерий. Размер в момент 1 популяции, порож- 373 В д Иммиграция и рост поим!аной денной иммигрантом, прибывшим в момент 1!, имеет производящую функцию Р(з,1 — 1,).
Общий размер популяции в момент 7 имеет производяшую функцию [Л'(з, 1)]тм П Л'(з. 1 — 1~), ! ! поскольку каждая бактерия развивается независимо от других. Предположим теперь, что иммиграция происходит не в фиксированные моменты (ь а в моменты, образующие пуассоновский поток с параметром г. Наша задача — выразить производяшую функцию обшего размера популяции через Р(з,1) и г. Моменты иммиграции 1; являются случайными величинами, и их число Лт(1) за отрезок времени [О, 4] — также случайная величина с пуассоновским распределением, имеюгцим параметр тй Пусть У,(1, 1,) — размер популяции к моменту 1, развившейся из одного иммигРанта, постУпившего в колонию в момент (ь 1' = = 1, 2, ..., Л!(1); тогда л <т! у (1) =- Х у7 (1 17) ! ! есть число всех бактерий в момент 1, «предками» которых были иммигранты, поступившие за отрезок времени [0,1].
Производящая функция величины У(1) может быть получена стандартным образом с помощью наложения условия на Лт(7) и формулы полной вероятности: М [з ] — ~ М [з ~ Л!' (1) = тс] Р (Лт (1) = тс) о-о (3.1) Из результатов $ 2 гл. 7 известно, что совместное распределение на [О, 1] моментов поступления 1т, 1 = 1, 2, ..., Лг(1), при известном их числе Л!(1) = й совпадает с распределением порядковых статистик й независимых равномерно распределенных на [О, 1] случайных величин.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
