3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 64
Текст из файла (страница 64)
ДИСКРЕТНАЯ ВОЗРАСТНАЯ МОДЕЛЬ Рассмотрим теперь строгий подход к задаче, изучавшейся в пре. дыдущем параграфе, в случае дискретного времени. Пусть 1 = = О, 1,2, ..., и пусть п'„П вЂ” число индивидуумов возраста х в момент 1; Є— доля индивидуумов возраста х, доживающих до возраста х+1; Є— число индивидуумов, рождающихся от каждого родителя возраста х в следующий момент времени. Предполагается, что Р„и Р„не зависят от 1 и Р, ) О, х = О, ... ..., Гп — 1, Рк ) О, х = О, 1,2..., пс.
ПРедположпм, что возРаст любого индивидуума ограничен числом т, т. е. положим Р = О; тогда переходные соотношения для возрастной структуры между моментами 1 = О и 1 = 1 имеют вид п19 '~ пгнР к-о пн' = Р п1о), о о п1п =- Р,п',", п19 Р п1о) т ы-1 т-1 Запишем этн соотношения в матричном виде П1Н = МП1о1, (8.1) Задачи где и!е>=гп!е>, п!е> .. п!е>> и!'>=(по>, п!н..., пн>1 и матрица М записывается в виде Ре Р! Рз Ре О О Р, Р 0 0 (8.2) О О О...Р.,О и величина 1и Ле соответствует критическому значению у,, введен- ному при эвристическом рассмотрении варианта с непрерывным временем. Популяция растет экспоненциально, если Ло > 1, и вы- мирает экспоненциально быстро, если Ло ( 1, ЗАДАЧИ 1, Предположнм, что некоторый объект имеет целочисленные размеры н что за время й объект с вероятностью й + о(й) вырастает на одну единицу незавнснмо от предысторнн роста н от текущего размера, Прн условии, что объект первоначально нмеет размер 1, найти вероятности того, что за время ! он вырастет до раз>>ера л.
Указание: Рост объекта образует процесс Юла! см. $1 гл. 7. ! л-! Ответ: в г(1 — в !) 2. А> бактерий распределены равномерно н независимо на слайде микро. скопа площади Л. Для наблюдения произвольным образом выбирается область площади а. Найти вероятность того, что на этой плошади имеются й бактерий. М является матрицей с неотрицательными элементами. Свойства таких матриц даны в 3 2 приложения. Поскольку Ра и Р„не зависят от времени, точно такие же переходные соотношения справедливы для любых двух последовательных моментов времени.
Таким образом, применяя последовательно формулу (8.1), получим и!'> = М'и, и!'> = (п!'> п!'> ..., п!и) 1 = 1, 2, 3, ...„ (8.3) где мы обозначили п„=п!", х= 1, 2, ..., и. При достаточно больших 1 все элементы матрицы М' строго положительны. Кроме того, существует собственное значение Ле)0, которое по абсолютной величине строго 'превосходит другие собственные значения (теорема 2.2 приложения), Для любого вектора и вектор М'и асимптотически равен Лег, где г пропорционален правому собственному вектору матрицы М, отвечающему собственному значению Ле.
Асимптотически при 1 - оо соотношение (8.3) принимает вид ибч = М'и — Лег = (ехр (11п Ле)) г Гл. !2. Состпвньге случайные процессы 396 Ответ: 3. Показать, что при )У-» со и а -» О так, что ~ — 1 й! -> с (0<с<со), (А! р (й) -+ е И ' »4. Предположим, что между бактериями происходит реакция, если две илн более бактерий отстоят друг от друга меньше, чем на рассговние г.
Найти функ. ! цню распределенив числа реакций в области А при г-»-0, 1У- оо и — пг'йге -» А »Х, 0<А<со, Ответ: р (!) =а Л ' 6. Рассмо~рим двумерное пуассоновское распределение (с интенсивностью т) частиц на плоскости. Найти функцию распределения Ро(х) расстояния между произвольной частицей и ее ближайшим соседом. Найти среднее расстояние. Ответ: Р (х) ! — ехр (- чпх'); М (О)- ! О 2 ггч 6.
Решить задачу 6 в трехмерном случае. Ответ: Р (х) 1-ехр(-ч — пх'1; М(О) тз 3 / (36тл) ' 7. Предположим, что прибор подвержен влиянию одного из й возможных воздействий Еь Еь..., Ею которые могут иметь место с соответствующими ве/а раятностями сп с, ..., с ~~ с! — — ! . При каждом воздействии опасные пики я' ''" ! 1 нагрузки происходят в соответствии с пуассововским потокам с параметром Хь 1, 2,..., й. Условная вероятность того, что прибор вьп1дет из строя при пиковой нагрузке воздействия Еь равна рь Найти вероятность того, что прибор выйдег из строя за время !.
Огэст! Р(Т<!) ! - ~к~~ с ехр(-3 р г). 8. Группа из л инженеров работает над проектом. Время безошибочной работы инженера имеет функцию распределения Р(!). Если ошибка сделана, то с веровтностью р это ошибка типа 1, а с вероятностью 1 — р — типа 11, Ошибка типа 1 настолько серьезна, что если кто-либо допустит ее в любой момент времени, то весь проект наверняка обречен на неудачу.
Ошибка же типа 1! на. столько незначительна, что опа может испортить весь проект, только если все инженеры независимо друг от друга допустят ее. Найти вероятность того, что в момент ! проект еще не обречев на неудачу. 397 Задачгз Указание; Найти вероятность того, что в точности й инженеров сделали ошибки типа 11, а остальные не допустили ошибок к моменту 1.
Показать, что эта вероятность равна [ [(! — р) Р (1)] [! — Р (1)]" ~йl Ответ: [1 — рр (1))" — [(! — р) Р (1)]л. 9. Расслютрим схелгу, состоящую из т параллельных подсистем. Каждая подсистема состоит из л одинаиовых элементов, включенных последовательно. Предположим, что время безотказной работы иаждого элемевта имеет функцию распределения Р(1). Показать, что вероятность того, что схема будет работать в момент 1, равна ! — [! — (! — Р(1) ) "] 1О.
Рассмотрим электрические элементы г = 1,2,..., т сложной системы В. Пусть Р,(1) — функция распределения времени безотназной работы г-го элемента. Пусть 1 — р, — условная вероятность того, что если г-й элемент выходит из строя, то вся система перестает работать. ([) Говорят, что система элементов является полупараллельиой, если оиа отказывает либо (с вероятностью !) при отназе всех элементов, либо (с вероятностью ! — р,) при отказе одного элемента (скажем, 1-го). (В) Говорят, что система элементов является последовательной, если она отказывает при отказе любого элемента.
Надежностью системы в момент 1 называется вероятность того, что система 5 работает. (1) Предположим, что Р,(1) = Р(1], рг = р (1= 1,2,,т) и рассмотрим полупараллельную систему. Доказать, что надежность системы в момент 1 равна [1 — Р(1) -1- рр(1)]- — [рР(1)]ы'. (2) Пусть выполнены условия пункта (1). Предположим, что Р(1) = !в — е-хг(а > 0). Локазатгч что среднее время безотказной работы системы равно 'а! Указание для пункта (2): Пусть и — среднее время безотказной работы по. луиараллельной системы, Состоящий нз гл компонент. Вывести рекуррентную формулу 1 а„, — +ри ш)ь э 11.
Предположим, что новые мутантные виды вознииают в соответствии с пуассоновсним потоком с параметром ч. Популяция, порожденная каждым новым мутантом, развивается в соответствии с процессом рождения и гибели, имеющим параметры Х, =. ах, р, ар, где р ) Л, Различные ыутанты порождают независимо развивающиеся популяции. (Напомним, что поскольку р ) а, каждая такая популяция вырождается за конечное время с вероятностью 1, см. $ 7 гл. 7.) Показать, что число мутантных популяций ьь существующих в момент 1, имеет пуассоновское распределение, Ответ; Пусть й(я) — функция распределения времени вырождения линейного процесса рождении и гибели (й, = а)ч р„= ар) с единичным начальным условием. Параметр пуассоновсного распределения равен ~ [1-О(Р] д~.
о Гл. /2. Состав«ьсе слр«ай/гасе пронессы 398 12 (продолжение). Найюг предельное распределение величины Ег при «-» оо. Ответ: Пуассоиовское распределение с параметром ч ( [1 — ь] (-)] йе =- ч 1 ( — 1п (1 — — ) ) . о 13. Рассмотрим ыггогкестао кругов нв плоскости, центры которых распределены а соответствии с пространственным пуассоповским пропсссоьг с параметром Л[Л[, где !А[ — плоигадь множества Л.
(Таким образом, шсло центров й(Л), расположенных в множсстпе Л, п сеет распределение Р (й (А) = й) = = е — (Л [ А ! ) .) Радиус каждого круга по предположеншо является -х!А! ь й! случайной величиной, независимой от местоположения пепгра круга, с плотностью ](г) и коне шым егорыч моментом. Показать, по семейство случайных вели пш С(г] — число кругон, покрывающих нача.чо коорлинат, центр которьш отстоит от начала на расстояние, меньшее г, — яв.чается пуассоповскпм процессом с непрерывным параметром г (см. задачу 13 гл. 7].
Указа«гсвг Доказать, что (!) вероятность того, чго существует круг с центром, лежащим в кольце с внутренним и внешним радиусами г н г+ йг соответственно, покрывающий начало координат, равна Л2лг йг ( ] (р) йр + о (с/г); г (2) события, определяемые непересекающимися колышми, независимы, Показать, что С(г) является неоднородным пуассоновскпм процессом с параметром Л (г) = 2п Лг ( ] (р) с/р. г 14.
Показать, что число кругов, покрывающих начало координат (см. задачу !3), является пуассонопской случайной величиной с параметром Л ) г ] (г) йг. о 16. Рассмотрим сферы в трехмерном пространстве, центры которых распределены по пуассоновскому закону с параметром Л[А[, где [А[ — объем множества А, Радиусы всех сфер распределены по закону Р(г) с плотностью ](г), имеющему конечный третий момент. Показать, что число сфер, содергкащнх вну. три себя точку /, является пуассоповской слу ийвои величиной с параметром — Лн ( г'] (г) с/г. 3 о 16. Предположим, что частнпы прибывают в соответствии с пуассоновским потокоы, имеющим параметр Л, По прибытии частила принимает одно из г (г) 1) состояний с вероятпосгями рь рг,, р» соответственно.
После этого состояние каждой частицы излгенястся в соответствии с законамн однородного по времени марковского процесса с переходными вероятностями Рг,(/) = Р (состоянне в момент / равно / [ состояние в момент 0 было с), с, / = 1, ..., г, Пусть У(/) = (Х,(/), ..., Х„(/); / ) 0) — векторный случайпьпч пропесс, где Х,(/) — число частиц, находящихся в состоянии с' в момент /, Доказать, что (У(/) ! / ~) 0) — однородный 399 Задачи по времени марковский процесс. (Состояния можно интерпретировать как различ- ные стадии некоторой болезни,) 17 (прололженне).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
