3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Для простоты предположим сначала, что каждая частица делится в точности на две новые. Если в момент О имеется одна частица в точке х = О, то ее «потомство» назовем первым поколением; «потомство» первого поколения образует второе поколение и т. д. Введем случайную величину с,„(х; О), равную числу частиц и-го поколения, расположенных на полуинтервале ( — , х], если нулевое поколение состояло из одной частицы, расположенной в точке х = О. Положим р~>(х)=Р(г„(х; О)=й]. 8 д Энсноненниаяьныа рост одномерной нонуяяиии 381 Введем производящую функцию дя(з; х) = ~я~~ Рснс (х) з» я-о (5.2) и среднее (5.3) ~я~ Рмс(Х вЂ” и) РС«1,(Х вЂ” О) с-о (см.
(5.!)), Далее, величины и и о могут принимать любые значения на действительной прямой независимо друг от друга. Следовательно, Рсн""(з) = ~ )с с(ис(ос'(и) с'(о) ~~~ р,'ы(х — и) Рнс,(х — о), М с-о Й=О, 1,2,.... Переходя к производящей функции, находим: М я днес(з; х) = ~ з~ )Г )Г)(и)С(о) ~~ Р',ы(х — и)Рс,"',(х — о)асиЫо= »=о — - я с-о ~ 7 (и) ~ (о) '~ рс,"1 (х — и) з' '5 ры', (х — о) зо-с с(и ссо = с-о я-с )Г д„ (з; х — и) д„ (3; х — о) с(и) ) (о) аси с(о = = )Г д„(з; х — и)~(и)с(и )г йт„(з; х — о))(о)сЬ, е„(х)=М(Я„(х; О)) = ~чз йрс,с(х) =й'„(1; х), »-! где штрихом обозначена производная по з. Событие, заключающееся в том, что в (л+ 1)-м поколении на полуинтервале ( — оо, х) будет в точности й частиц, произойдет, если два «потомка» исходной частицы, расположенной в точке х = О, будут локализованы в интервалах (и, и + с(сс) н (о, о + с(о) соответственно, где — со < и, о < оо, и каждая из новых частиц будет иметь через и поколений в ( — оо, х] такое число «потомков», что в сумме они составят й.
Вероятность того, что две частицы пер- вого поколения будут расположены в интервалах (и, и + с!и) и (о, о + сЬ) соответственно, равна сс(и)С (о)с(и Но. Вероятность того, что эти две частицы через п поколений дадут в сумме й «потомков», находящихся в полуинтервале ( — оо, х), равна Г.с. С2, Сосгаеносе случайные процессы 382 т. е.
12 — 1. 1-'- (5.4) Если в качестве обобщения предположить, что каждая частица порождает г новых частиц, где г ) 0 — целое число, то вместо (5.4) получим формулу )е д„е,(з; х) =-! ~ йс„(еи х — и)1(и) с(сс > . ! Если в качестве дальнейшего обобщения предположить, что каждая частица порождает г новых частиц с вероятностью а„, то точно таким же образом получим формулу / апе,(з; х) =-А ~ ~ дп(з; х — и)с'(и) аси), где А (г) = ~ а,г' с о есть производящая функция числа новых частиц, производимых при каждом расщеплении. Математическое ожидание М„.нс(х) числа частиц в (и + 1)-м поколении можно найти обычным путем: М„+,(х) =д„'+,(1; х) = = А' ~ ~ д„ ( 1; х — и) с' (и) с(и~ ~ д'„ ( 1; х — и) с (и) с(и.
(5.5) Из (5.1) следует, что а (1 х и) — ~ч", рсп (х) = 1, е-о А'(1)= Хга,=и с-о М„.„(х) = и ~ М„(х — и)! (и) ди, (5,6) есть средиее число новых частиц, производимых при каждом рас- щеплеиии. Формула (5.5) приобретает вид Я 6. Модель роста ноарлвциа в аространстве а времена 333 Это рекуррентное соотношение можно легко решить. Будем рассматривать исходную частицу, находящуюся в точке х = О, как нулевое поколение; тогда, очевидно, ( О, если х(О, Из (5.6) получаем х М, (х) = т )г )(и) с(и= тпг" (х), где г(х) есть функция распределения, соответствующая плотности 7(х).
Далее, Ма (х) = пт' ) с" (х — и) ) (и) Ни = иваси (х), где гт4(х) — двукратная свертка функции Е(х), По индукции с очевидностью получаем М„(х) = пт"Р(") (х), (5.7) где Ра~(х) есть и-кратная свертка функции г" (х). Если плотность Г"(р) имеет дисперсию о' и среднее р, то в силу центральной предельной теоремы см (пи+ $о )тп) — Ф($), и-+ со, где Ф($) — стандартная нормальная функция распределения, т. е.
Ф(Е) = — ' )г ехр( — ® с(т1. Отсюда получаем асимптотическую формулу для М„(х), а именно Ма (ав+ ~о У'а ) Ф($) при п — ь оо, которая представляет некоторый самостоятельный интерес. В 6. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОКСЕЛЬ РОСТА ПОПУЛЯПИИ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ Предположим, что некоторые растения распределены в пространстве в соответствии с двумерным распределением Пуассона, имеющим интенсивность Х. (Мы рассматриваем модель распределения растений в двумерном пространстве, но все рассуждения без изменений могут быть перенесены на трехмерный случай.) Предположим, что каждое родительское растение, чье местоположение Гл. т2.
Сагтавные случайные пранеееы 384 описывается двумерным вектором г,, порождает независимо от других растений случайное число потомков с производящей функцией Н(э), т. е. Н(з) = ~з ~Ьнэ~, е-в где Ь» — вероятность того, что родительское растение породит й потомков. Предположим также, что потомство одного родителя, расположенного в точке ге, распределяется независимым образом вокруг точки га в соответствии с двумерной плотностью 1(г — гв), зависящей лишь от вектора г — гы например можно взять двумерную нормальную плотность т (г — гв) = / ) ехр ~ — — ((х — хв)' + (у — уо)') ~, 'ч )т2 ит' ! 2а' Таким образом, вероятность того, что данный потомок родителя, находящегося в точке г,, будет находиться в области Р, равна р = ~ 1 (г — г,) е1г .
(6.1) Если 5 имеет конечную площадь, то сумма справа с вероятностью 1 содержит конечное число членов, поскольку число родителей в 5 Если родительское растение, находящееся в точке гв, имеет в точности п потомков, то число потомков этого родителя, находящихся в области Я, имеет биномиальное распределение с параметрами р и и, где р задается равенством (6.!). Общее число потомков одного родителя является случайной величиной с вероятностной производящей функцией Н(з). С помощью обычного метода использования формулы полной вероятности можно показать, что производящая функция числа потомков одного родительского растения, расположенного в точке га, которые находятся в области 14, равна Н[1+ р(з — 1)1, где р задается равенством (6.!), Наша цель— найти производящую функцию числа потомков в области Н, порожденных всеми родителями из области 5.
Для этой цели введем следующие обозначения. Пусть Х(5) — число родительских растений в области 5; у(гв, я) — число потомков одного родительского растения, находящегося в точке г„которые расположены в области )е; У(5, )с) — суммарное число потомков в области К, которые порождены всеми родителями из области 5. Тогда в этих обозначениях имеем У(5, г) = Х У(г,, Н). Э 6.
Модель роста аолуляции в аростраястве и вреаени имеет пуассоновское распределение с параметром ЛА(5) (А(5)— площадь 5). Далее, величина Х(5) описывается двумерным пуассоновским процессом с интенсивностью 1,. Производящую функцию величины У(5, )т) можно найти с помощью формулы полной вероятности, налагая условие на значения Х(5). Таким образом, получаем д(з) =М(зг'з а~)= ~ М[зг~з а']Х(5) =й] Р(Х(5)=7г). (6.2) я-о Поскольку родительские растения развиваются независимо, то М [вт гз а' ]Х (5) = /г] = (М [вг гз а> ! Х (5) = !])а.
(6 3) Кроме того, из теории пространственных пуассоновских процессов известно, что при условии Х(5) = 1 выполняется равенство У(5, Л)=У(г, Л), где вектор гр распределен равномерно в 5. В таком случае имеем М[зт~з тп]Х(5)=1]=М[зг<ть а>]го РавномеРно РаспРеделен в 5]= =,! <~~ ] Н [1 + Р (з — 1)] с(го (6.4) где р определяется равенством (6.1). Последнее равенство выполняется, так как было доказано, что Н[1 + р(з — 1)] является производящей функцией числа потомков в тт', порожденных одним родителем, расположенным в точке г,. Здесь, однако, вектор г, равномерно распределен в 5, и поэтому мы получили равенство (6.4).
Из (6.2), (6.3) и (6.4) следует ~(с=г,(„', ]~а~ а-~п~;[ -'""'""';", поскольку Х(5) имеет пуассоновское распределение с параметром )ьА(5). Последнюю формулу можно переписать в более простом виде: еа)=.»р[ь[(наьр( — ~г — ась[. (ьь) где р= ]' [(г — г,) с!г. а В выражении (6.6) часто в качестве 5 берут все двумерное пространство. Формула (6.6) остается в силе, если растения распределены в пространстве в соответствии с трехмерным пуассоновским распределением, а г, го, !с, 5 означают трехмерные векторы и области 13 зак. язв Ззо Гл. )2. Составные слунойные ороивссвь соответствеьшо. В любом (дву- илп трехмерном) случае, если область Й достаточно мала, вероятность р приближенно равна ) (г — г,) Л ф). В качестве г можно взять любой вектор из обласп! )(, г ~ )х, Тогда равенство (6.5) перепишется в виде е!.)- *т]т](н!~+Ы,-„!л!е!! — ~!! — ~!т.).
Если Я вЂ” все пространство (дву- или трехмерное), то можно записать д (в) = ехр ~ Л ] (Н [1+ ! (н) Л ()х) (з — 1)] — 1) йьп ~, (6.6) где интеграл (двойной или тройной) берется по всему пространству. Для примера рассмотрим в качестве 1 нормальное распределение на плоскости: ! г ! )(и) = 2 ехр[ 2, (х'+И')1, где п=(х, д). Пусть вероятностное распределение числа потомков одного родителя равно "е = )ь (1 — )ь), )е =- О, 1, 2, где и — постоянная, О ( р < 1 Тогда О(з) = ~ )ьезе(1 — и) = в=о = (1 — )ь)((1 — рз). Подставляя в (66) н упрощая, получим при малых А()с) приближенное равенство — ! у(з) = ехр Х рА (й) (в — 1) ехр [ — (2ах) (хе+ у')] йх с(у 2 2лат (! — р) — ИА ()() (в — !) ехр [ — (2о') (хе+ у')] После перехода к полярным координатам г и О выражение для у(з) примет вид рА (й) (в — !) г ехр ( — (2а') г') йг 1 у(з) = ехр 2юй 1 ! 2аат (! — И) — ььА ()!) (в — !) ехр [- (2а') ! г'] ] о ь = ехР1 2п)" 1 2т ' (! — р) — иА (я) (в — !) х ~ (где г = ехР ( 2а') ) о = [1 — ]) (з — 1)Г 387 Э 7.
Двтврлинированнма рост ионуллцигт где > й = 2пйоа. Р А ()7) 2иат (| — Р) ' Таким образом д(з) есть производящая функция отрицательного биномиального распределения. а 7, ДЕТЕРМИНИРОВАННЪ|Н РОСТ ПОПУЛЯЦИИ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО ВОЗРАСТАМ В этом параграфе обсуждаются некоторые простые детерминированные модели роста популяций, учитывающие возрастную структуру популяции. Вероятностный вариант этих процессов роста весьма сложен и выходит за рамки данной книги. А. Простая модель роста Рассмотрим сначала однородную популяцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
