3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ЛИТЕРАТУРА 1. Харрис Т., Теория ветвящихся случайных процессов, иад-во «Мнр», !966. Глава !2 СОСТАВНЫЕ СЛУЧАИНЫЕ ПРОЦЕССЫ В этой главе будет рассмотрен ряд отдельных вероятностных моделей, имеющих отношение к приложениям в астрономии, биологии, технике и физике. Эти процессы имеют своими составными частями различные классические процессы, включая пуассоновские, ветвящиеся и процессы роста диффузионного типа. Во всех случаях подчиненный процесс определяется через основной, и его исследуют, изучая распределения состояний основного процесса. В 6 1 будут рассмотрены многомерные пуассоновские процессы, а в следующем параграфе будет дано их приложение к астрономии.
Понятие многомерного пуассоновского процесса будет играть важную роль прн определении каскадных, или составных, случайных процессов. 1-1екоторые из них будут изучены в последующих параграфах этой главы (см., например, ф 2). В ф 3 будет исследована вероятностная модель роста и иммиграции. В ~ 4 будет определен случайный процесс роста двух типов индивидуумов — нормального и мутантного. Популяция «диких» (т. е. нормальных, немутантных) типов растет детерминированным образом, в то время как популяция мутантных типов растет в соответствии с законами марковского ветвящегося процесса. Кроме того, каждый индивидуум нормального типа в момент гибели (время его жизни распределено экспоненциально) превращается в мутантный тип, а затем развивается подобно другим индивидуумам мутантного типа.
В й 5 н 6 рассматриваются вероятностные модели роста, учитывающие фактор географического распределения и распространения популяции, а также и процесс естественного роста. Исследуемые случайные процессы типичны для широкого класса общих каскадных процессов. Цель настоящей главы — познакомить читателя с задачами, связанными с комбинациями случайных процессов, имеющими множество приложений и требующими для своего анализа большого искусства. В $ 7 дан обзор некоторых детерминированных моделей роста популяций, учитывающих их возрастную структуру. 364 Гл.
(2. Составные слуеадпые процессы а (. е(НОГОМЕРНЫЕ ОДНОРОДНЪ|Е ПУЛССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Пуассоновские процессы были введены в гл. 7; при этом параметр процесса являлся действительным положительным числом (> 0 и обычно считался временем. Введем теперь вариант пуассоиовского процесса, у которого значение параметра определяется мерой множества на плоскости, в трехмерном пространстве или в пространствах более обще~о вида.
Цель данного параграфа— определить некоторые варианты многомерных пуассоновских процессов и описать некоторые примеры этих процессов и их приложения. В гл. 7 пуассоновский процесс Х((), ( > О, был введен аксиоматически. Было доказано, что Х(() имеет вероятностное распределение Р(Х(()=/г)=е ы > ()О Уг=О 1 2 где Х вЂ” положительная постоянная, интерпретируемая как средняя интенсивность наступления событий.
В данном параграфе мы введем постулаты, характеризующие однородный пространственный пуассоновский процесс Х(5), где параметр 5 является произвольной областью плоскости или пространства, имеющей конечную меру, а Х(5) обладает вероятностным распределением р(Х(5) (е) -хе(ю 1 ~( )1 (е 0 ! 2 (1 !) Здесь Х вЂ” положительная постоянная, называемая интенсивностью (или параметром) процесса, а А(5) — площадь или объем области 5 в зависимости от того, является ли область 5 частью плоскости или пространства. Введем следующие постулаты; (1) Х(5) принимает лишь неотрицательные целочисленные значения и 0 < Р(Х(5) = 0) < 1, если А (5) > О. (2) Вероятностное распределение величины Х(5) зависит только от А(5), и, кроме того, если А(5)- О, то Р(Х(5))~ !)-ыО.
(3) Если 5ь 5ь ..., 5„(п в 1) — непересекающиеся области, то Х (5е), ..., Х(5п) — независимые в совокупности случайные величины и Х(5,() ... () 5„) = Х(5,)+ ... +Х(5„). (4) Выполняется требование Р(Х(В)) В !!гп 4(З)-ее Р (Х (5) — () Прежде чем переходить к описательному обсуждению этих аксиом, полезно привести некоторые примеры. (а) В трехмерном пространстве Х(5) может представлять собой число звезд, расположенных в области 5. Много.черные однородные пупссоновснпе процессы йвй (б) На плоскости Х(5) может представлять собой число бак- терий определеииого вида, содержащихся в области 5.
Объяснение и интерпретация введенных аксиом вполне оче- видны. Постулат (2) утверждает, что Х(5) зависит ие от вида об- ласти 5, а только от ее площади или объема. Такое предположе- иие представляется разумным (см. примеры (а) и (б)). В соответ- ствии с постулатом (3), если использовать терминологию примера (а), количества звезд, содержащихся в непересекающихся обла- стях, являются независимыми случайными величинами, а зиаче- иие Х(5) для суммарной области является суммой значений Х( ) для составляющих областей.
По-видимому, предположеиие о ие- зависимости является разумным приближением к реальной ситуа- ции распределения звезд. Постулат (4) достаточно понятен интуи- тивно и ие требует объяснений. Основной целью этого параграфа является доказательство сле- дующей теоремы: Теорема 1.1. Если случайный процесс Х(5), определенный относительно областей 5 евклидова пространства размерности и, удовлетворяет постулатам (1) — (4), то Х(5) имеет распределе- ние (!.!).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную область '5, такую, что 0 < А(5) < оо. Разобьем 5 иа непересекающиеся об- ласти 5ь 5ы ..., 5„равиой плошади (объема), т. е. 5~ () 5е () .. () 5л = Ь, 5! П 5! = 8, 1Ф 1 (Я вЂ” пустое множество), А(5,)= — А(5) для всех 1=1, 2, ..., и, ! Тогда в силу постулата (3) Р (Х (5) О) = Р (Х (5, () ... () 5п) = О) = = Р(Х(5,)+ ... + Х(5п! = О). и Но из постулата (1) следует, что событие ~ Х(5,)=0 может с-с произойти тогда и только тогда, когда Х (5,) = О при всех ! = 1, 2, ..., и; тогда, используя независимость величин Х (5,), 1 = 1, 2, ..., и (постулат (3)), получим л Р(Х(5) =0)= Р(Х(5,) = О, 1= 1, 2, ..., и) = Ц Р(Х(5,) =О).
Из постулата (2) следует, что Р(Х (5!) = 0) зависит только от А(5,) = — А(5). Следовательно, ! и Р(Х(5 ) =0) = Р(Х(5 ) = 0) ° ., = Р(Х(5,) =0). зке Гл. 12. Сосгаенсче сллчадные процессы Таким образом, полу. чаем Р (Х (5) = 0) = [Р (Х (5„) = ОЯ". Далее, 1'(Х(5л) =-0) =1 — Р(Х(5л)~ )Ц. (1.2) Взяв логарифм от обеих частей (1.2), что допустимо в силу посту. лата (1), получаем — )и Р (Х (5) =- 0) = — и)и (1 — Р (Х (5л) ) Ц) = =и ~Р(Х(5л) Р.
.Ц+ —,' (Р(Х(5„) ~ Ц)а+ ...], ().З) где использовано разложение — )и(1 — х) =-х — ' — х-+ — ха+ ... 1, 1 з справедливое при — 1 ( х ( 1. Очевидно, что 0 ( Р(Х(5„) )~ Ц ( 1, поскольку в противном случае было бы Р(Х(5 ) = 0) = О, откуда Р(Х(5) = 0) = О. Это, однако, невозможно в силу постулата (Ц, поскольку по предположению А (5) ) О. Формулу (1.3) можно переписать в виде — )и Р (Х (5) = 0) = Р(Х (5 ) = Ц~ Р(Х(5") 1) (1+ 0(Р(Х(5„)) Ц))]. (1 4) Символ 0(Р(Х(5 ) ) Ц) имеет обычный смысл, т.
е. величина О (Р (Х (5л) ) 1)) Р (Х (5л) ~ !) ограничена при и- оо. Заметим, что в силу постулата (2) имеем Р(Х(5л) )~ Ц вЂ” 0 при и- оо, поскольку при этом А(5л)= — А(5) — О. Далее, из постулата (4) ! следует, что Р (Х 15л) ~) !) !. Р (Х 15л) )!) л.ечо ! !Х 15л) = !) л (з ) ео Р(Х (5л) О Следовательно, из (1.4) при и- оо получаем — )и Р (Х (5) = 0) =- 1)гп и Р (Х (5„) = Ц. (!.5) В силу постулата (1) левая часть равенства с необходимостью должна быть положительной и конечной. З П Многомерные однородные «у«сев«овские «роцессы 367 Рассмотрим производящие функции величин Х(5)' и Х(5„): д(з) =М(зхсп) = ~ Р(Х(5)=й)зн, н-о д„(з) = М (з~ (з«)) = ~ Р (Х (5„) = й) з'. н-о В силу постулатов (2) и (3) й(з) — М(з !з!) = М (з ( г)+ '" + ( «))= П М(з«( г)) — [М(з«(а«))~" е ! т.
е. а (з) = [а. ( ))" (1.6) Можно записать п„(з) в виде а„(з) = Р(Х(5„) =- 0)+ Р(Х (5„) = Цз+ Р(Х(5„)) ЦО(з), где ! 8 (з)! ( 1, но Р (Х (5„) = 0) = 1 — Р (Х (5„) =- Ц вЂ” Р (Х (5„) ) Ц. Следовательно, подставляя вместо Р(Х(5„) = 0) зто выражение, получим йс«(з) = 1 + (з — Ц Р (Х (5„) = Ц+ (О (з) — Ц Р (Х (5„) ) Ц. (1.7) Используем теперь постулат (4), который утверждает, что Р (Х (3«)> !) (Х(я ) =!) -+О при и +со (1.8) Кроме того, выполняется условие Р(Х(5,) = Ц- 0 при и- оо. В самом деле, мы выше установили (см (!.6)), что с (3) = [М (3 (' ))Г, или, что то же самое, 1 [п(з))" = ~ч, "Р(Х(5«)-)г)зв, 0(з -.1, н-о В силу гипотезы (1) имеем д(0) = Р(Х(5) =0) ) 0 и, следова- тельно, 1 Р(Х (5„) = Ц= — [йс (з)[" = — — [д(з)]" ! а (в) — — — (.) в о ! — [п(0))« -эО при п-ноо. зев Гп. 22.
Сосгпонае ссапояные процесса Далее, пользуясь разложением е2 ез !п(1+г)=г — — + — — ... =г+о(г), !г! — ыО, 2 3 из формул (1.6), (1.7) и (1.8) получим !п д (з) =- п !п д„(з) =- п [(з — Ц Р (Х (5„) = Ц + +(О(з) — ЦР(Х(5„)) Ц+о(Р(Х(5„) = Ц)]. Взяв предел при и — оо от обеих частей равенства и вновь использовав постулат (4) (в виде соотношения (1.8)), получим !п д (з) = (з — Ц !пп пР(Х(Яп) = Ц. (!.9) Из (1.5) и (1.9) следует, что 1и д (з) =- — (з — Ц 1и Р (Х (5) = 0), или д(з) = ехр((з — Ц ( — 1и Р(Х(5) = 0))).
(1.10) Это выражение является производящей функцией пуассоновского распределения с математическим ожиданием М (Х (5)) = д' ( Ц = — 1п Р (Х (5) = О). Но математическое ожидание является неотрицательной аддитивной функцнея,зависящей лишь от А(5), откуда получаем — 1п Р (Х (5) = 0) = йЛ (5). (1.1 Ц Формально последнее утверждение доказывается следующим обра- зом. Пусть ! — функция, удовлетворяющая равенству М (Х (5) ) = !' (А (5) ), которое следует из постулата (2). Докажем теперь, что 1 — линей- ная функция. Пусть 5, и Яз — два непересекающихся множества, таких, что А (5~), А (Яг) ( оо; тогда М(Х(Я,Ц5)) =((Л(5,)+А(5)) в силу аддитивности А(5). С другой стороны, в силу постулата (3) имеем М (Х (5 ~ () 52) ) = М (Х (5 ) ) + М (Х (5,) ) = 1 (Л (5~) ) + 1 (А (5 ) ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
