3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть )(з) = вз' -Ь ба+ с, где а, 6, с > О н )(1) !. Г!редположнзц что вероятность вырождения равна с( (О < г( <!). Доказать, что Н с/а. 8. Предположим, что в ветвящемся процессе число потомков исходной частицы имеет распределение с производящей функцией ((з). Каждый член первого поколения порождает случайное число потомков, функция распределения которого имеет производящую функцию д(з). Следующее поколение вновь имеет производящую функцию (, затем д н т. д. Исходя из общих принципов (т. е. не используя какие-либо общие результаты, полученные в $2 для процессон с несколькими типами частиц), найти вероятность вырождения процесса и среднее число частиц в и-м поколении (например, для четных л). Изменятся ли эти величины, если поменять Г н д ме. стами) 9. Рассмотрим ветвящийся процесс с диснретныч временем (Х„), где Хэ = 1, Доказать простое неравенство Р (Х„ > Е при некотором О < л ~ пч ! Х = О) ( < (Р(Х = О)] 10.
Для исследования некоторого урологическаго процесса была введена следующая модель. Предположим, что бактерии растут в соответствии с процессом Юла с параметром Х (см. 5 1 гл. 7). В каждую единицу времени каждая бактерия уничтожается с вероятностью р. Чему равна производящая функция числа бактерий, существующих в маменг лз Указание: Эта производящая фчтгцпч является л-й итерацией производящей функции, характеризующей некоторый ветвящийся процесс, Ответ: 1 (з) является л-й итерацией функции Г() е '(р+дз) ! — (1 — е ) (р+ вз) 11.
(а) «Зрелые» индивидуумы порождают потомство в соответствии с про. нзводящей функцией Г(з). Предположим, что имеется популяция, состоящая из й «незрелых» индивидуумов, каждый нз которых с вероятностью р достигает 359 Задачи зрелости и затем размножается независимо от других индивидуумов. Найти про.
изводящчю функцию числа (незрелых) индивидуумов в следующем поколении. (б) Найти производящую функцию числа «зрелых» индивидуумов в сле. дующем поколении при условии, что в родительском поколеаии имеется Ь «зрелых» индивидуумов. Ответ; (а) (1 — р + р/(и))"; (б) (/(1 — р + рз))", 12. Показать, что распределения (а) и (б) в задаче 11 имеют одно и то же среднее, но в общем случае разные дисперсии. 13. Рассмотрим ветвящийся процесс (Х ) с дискретным временем и производящей функцией юр (з) = 1 — (Ь+ с) Ьа + †, 0<с<Ь+с<1, 1 — с ! — сэ ' >!.
Предположим, что Хю = 1. Найти условное прс. где (1 — Ь вЂ” с) /с (1 — с) дельное распределение И Р (Х„= Ь ] Х„> О). а "» > Ответ: ('-Юй) ' "=' ' 14. Предположим, что в предыдущей задаче ! — Ь вЂ” с = с(1 — с). Опреде. лить Р (Х > 0). Ответ: (1 — с)/[1 ж (л — 1)с]. 15. Прн условиях задачи 14 доказать, что Р(Х, < лх! Х > 0) сходится при л -» юю к эиспоненциальному распределению.
Указание: Найти преобразование Лапласа распределения величины Х /л при условии Х > 0 и найти его предел прп л -» юю. Ответ: Экспоненциальаое распределение с параметром (1 — с)/с. 18. Рассмотрим ветвящийся процесс с начальным размером популяции Ь/ и производящей функцией ф(з)=4+рж 4, р>0, 4+р=) Найти распределение времени Т вырождения популяции. Ответ; Р (Т = л) = (1 — р"+') а — (1 — р" ) а.
17. Пусть (Х„,л > 0) — ветвящайся процесс с соответствуюпгей производящей функцией чю(з). Пусть ӄ— суммарное число индивидуумов в первых л поколениях, т. е. )а-Хю+Х~+ ° ° +Ха л=О, 1, 2, ..., Х,-!. Пусть Г (х) — производящая функция величины У„. Доказать функциональное соотношение Рлч~(з)=зф(Рл(э)) л=О, 1,2,.... 18. Пусть йю(з) — производящая функция числа потомков одного индивидуума в ветвящемся процессе, в котором в момент 0 имеется один индивидуум. Пусть ф (з) — его л-я итерация. Предположим, кроме того, что имеется иммиграция в популяцию.
Размер иммиграции за время одного поколения описывается производящей функцией й(з). Рассмотрим ветвящийся процесс с иммигра. цией, переходная матрица которого задается соотношением ~ РОзэ [йю(з)] /г(з). /-э Гл ЛЬ Ветвящиеся пронеггы 360 Доказать, что лгатрнца переходных вероятностей за л шагов определяется соот. ношением Х ! цз (7л(з)) Ь(фл-! (з)) "(Фл-2(з)) "(Ф( )) "(з) Г-о 19. Предположим, что в ветвящемся процессе с иммиграциеГ~ (см.
задачу 18) гр'(!) = гп < 1. Доказать, что соответствующая цепь Маркова имеет стационарное распределение с прона водно!ей функцией и (з) = ~н~р пгз', удовлс творя ющей г функциональному уравнению и (Ф (.з) ) Ь (з) = и (з). 20. В предположениях задачи 19 для частного случая Ф(з) = гГ + рз(0 < < р < 1, д + р = !) и Ь(з) = е'-' найти стационарное распределение. 21.
Найти ах(Х(Г)), где Х(Г) — ветвящийся процесс с непрерывным време. пем и Х(0) = 1. Ответ: ) еч О! (е" Ц! — 1), если и'(1) ть О, г и" (1) — и' (1) ч пз (Х (Г) ) = " (!) и" (!) Г, если и'(1) =О. 22. Найти производящую функцию Ф(Г; з) для ветвящегося процесса с не. прерывным временем и производящей функцией и (з) = зь — з (Ь) 2 — целое число). Указание: Решить уравнение дф (Г; 5) =и(Ф(Г; 5)), Ф(0; 5)=з. Ответ: гр(Г з) з(е1 '11 — (е! '! à — 1) за 23.
найти производящую функцию Ф(г, з) для ветвящегося процесса с непрерывным временем и производящей функцией иифннитезпмальных параметров и (3) ! — 5 — )' 1 — 3. Ф(Г; з) ! — (1 — е г' +е П~Р! — з]. Ответг Р (у (Г + Т) — у (Г) = О ! Ха! (Г) п) е " 24. Рассмотрим ветвящийся процесс с непрерывным временсм и начальным азмером популяции М Обозначим размер популяции в момент Г через Х„(Г), усть Лай Ч- о(Ь), Ь = 0,2,3, — вероятность того, что индивидуум породит Ь индивидуумов в интервале (Г, ! + Ь). Предположим, что о(Ь) -и 0 прп Ь вЂ” ь 0 равномерно по Ь и Г.
Пусть 1 — ЛЬ + о(Ь) — вероятность того, что в интервале (Г, Г + Ь) ветвления нет (Л = Ло + Лз + Лз+...). Предположим, что ~~ЬзЛх < со. Предположим также, что индивидуумы развиваются независимо. Пусть у(Г)— число моментов ветвления на отрезке [О, Г). Показать, что Задачи 351 25. Рассмотрим процесс Юла, в котором каждый член популяции с вероятностью ])й + о(й) порождает й новых членов, а с вероятностью 1 — рй + о(й) не происходит рождений на интервале длины /г([) > О, й — положительное целое число). Предположим, что в момент 0 имеется йг членов популяции.
(а) Пусть Х(!) — число моментов ветвления до момента Д Найти характер роста М (Х (!) ) . (б) 1!усть т„— момент л-го ветвления. Найти плотность величины т„. Указание; Учесть, что 1 — ехр( — [(л — 1) й+йг] 13 (! — в)), а~ (г, Р(т„<г] т„, = Ц = О. $>О и получить рекуррентную форыулу для плотности величины т через плотность величины т, Огввт; (а) е ибг М(Х (!) ) -ь У при г-э са; (б) плотность величины ти равна йГ (гу+й) ... [У+ (Л вЂ” 1) й) Нрс ( Лрс)л-! (л-!)(йл 1 *26. Рассмотрим простой процесс рождения и гибели (.линейный рост без им.
миграции), т. е. й = йл и р = рл, где )с > О, р > О и р > Х. Пусть Е(!)— размер популяции в момент !. С помощью подходящей интерпретации показать, что период занятости для процесса обслуживания с бесконечным числом обслу. живающих устройств, где ивтервалы между поступающими требованиями распределены по закону 1 — е, а функция распределения времени обслуживания -ж равна ! — е ", имеет такое же распределение, что и величина ~ Х (!) дй где о Е(0) = 1.
27. Пусть (Х ) — ветвящийся процесс с соответствующей производящей функцией ср(з), и пусть ~рл(з) = ~Ч~~ Р(Хл й)з~. Предположим, что ф'(1) >!. а-о Пусть Х вЂ” число всех частиц в л-м поколении, имеющих бесконечное число поколений потомков. Показать, что производящая функция величины Х„ равна Р(Х„=й]Х,=Х,=1)з"= фл(з(1 а)+а) Х 1-о а-о где а — вероятность вырождения. Указание; Заметить, что при й ) ! ~Ч~ Р [Хл = й Хл = ! ] Хо !) Р (Хл= Гг] Хо = 1, Хо — 1)— Р(Хо = 1 ] Хо= 1) 28. Популяция состоит из двух типов индивидуумов — лгужских и женских особей, Предположим, что все женские особи могут производить потомство в со.
ответствии с производящей функцией [(х) при условии, что в популяции имеется Гж !Е Ветвящиеся пропессвт по крайней мере одна мужская особь. Если в потомстве с вероятностью а появляются женские особи, то чему равна производящая функция числа родившихся женских особей при условии рождения хотя бы одной л1ужской особи. ) (па+ (! — а) ) — ! (ав) Ответ: 1 — ! (а) ЗАМЕЧАНИЯ Материал этой главы следует книге Т. Харриса !Ц по ветвящимся процессам, в которой также содержится обширная библиография по данному предмету и его приложениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
