1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 24
Текст из файла (страница 24)
элкмкнты ткогии Восстановлкния 127 я до 1. Тогда М$(Г) = [ и(1 — х) [1 — р(( — х)]([Н(х), з Вто Равенство следУет из фоРмУлы полного математического ожидания где Ха (8) — индикатор события (о ~ 8 < г о,). Имеем М4 (() 1„(1) = ~ и (( — х) [1 — г" (1 — х)] ((Р ((а < х) о о откуда формула для М$ (1) получается суммированием по в. с предварительной перестановкой порядка суммирования и интегрирования, Последнее законно вследствие ограниченности и(о) и конечности ХХ(() .
Если и(о) — функция ограниченной вариации, то формула (10) имеет место почти для всех й Теперь можно решить вопрос о стационарности ординарного потока восстановления при условии, что г',(х) задается формулой (5). Возьмем произвольный момент времени а ) О и обозначим через г„ + амоменты событий потока в интервале (а, +аа). Тогда„ (а) как нетрудно видеть, стационарность означает, что [о„ ] имеет (а) ) тот же закон распределения, что и (г ) — последовательность моментов событий исходного потока. (а) (а) (а) Очевидно, случаиные величины за = ~„— г„д, и )~2,независимы и имеют функцию распределения г'(х).
Остается проверить равенство Р [(((') < х) — Р, (х). По формуле полной вероятности Р [(',ю<х[= Р(а<8,<а+ х)+ + ~ [г" (а+ х — о) — Р(а — Г)]([Р((а<1). а=( Отсюда по формуле (10) находим Р [г((')<х[ а = г" (а + х) — г" (а) + ~ [Р(а + х — 1) — Х' (а — 8)] (ХН (г) = о 228 ГЛ. 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ а Гг(а+ х) — Р2(а) + Х~[Р(а+ х — 2) — Г(а — 2)[~М = а а+а а а = ).
) [1 Р (2)[ [2 — й ) [1 — Р (2)[ [2 + ). ~ [1 — Р (г)[ й— а 0 а а+а а — Х ) [1 — Р(2)[й=Х) [1 — Р(2)[й-Р,(х) Э е Требуемое доказано, 6. Формулировки некоторых теорем о стационарных процессах восстановлениа. СлУчайнаЯ величина )Уо Равнак числУ восстановлений за промежуток времени от О до 2, имеет моменты всех порядков. Докажем это утверждение. По условию Р(+О)(1; следовательно, найдется такое а) О, что Р(2,)а) = [3 О. Определим теперь новый процесс восстановления Р ч1 Ф 2а = Аа заа где [О, если з„а а, 2„ [гг если 2„) а, Ю Тогда с вероятностью 1 будет 22 = 2ы т.
е. Р(Л,) й) ~ Р [)У,') й[, | где Х2 обозначает число восстановлений, соответствующих процЕССу (та[ Но Р [Х~ = к[есть вероятность того, что в й независимых испытаниях с вероятностью успеха р произойдет ровно 1 успехов, где [ = — „и после этого произойдет еще один успех: 1а2" [Сыгы(1 — р)" ', если й~[а [О если й< [. Имеем М [1У,'1" = 2 й"С,'йгы(1 — 6)'-'~ Я (й+ 1)"+'(1 — И"; данный ряд, как известно, сходится, что и доказывает требуемое утверждение.
Подобным же образом доказывается и более сильный ре- зультата 9 гя. элементы теОРии Восстлновления 729 Для каждого распределения Г(х) можно найти такое число и~О, что при любозг г, вещественная часть которого не превосходит а, существует Ме'~е. Одним из первых общих результатов, относящихся к функции восстановления Н(е), является так называемая Элементарная теорема восстановления. н(б — -» — при г-» оо, а где а = Мг, = ~ х аеР(х). о Этот результат сохраняется и при а = е .
Если распределение Р(х) — нерешетчатое, т. е. точки роста функции не укладываются в некоторую арифметическую прогреесню, то имеет место Теорема Блекуэлла: Н(Т+ а) — Н(г)-» — „. Ф-»оо. а Н (Ф) — — -» — — т. Рз а 2аа Пусть 7(х) — любая неотрицательная функция, определенная при положительных х, невозрастающая и интегрируемая в пределах (О, ). Как доказал Смит, при этих условиях имеет место следующая Предельная теорема.
При 1 е е„(с — и) аН (и) -» — ~ ~7 (х) с(х. о о (Щ Этот результат Смит назвал узловой теоремой восстановления. Из нее в качестве частных случаев при соответствующем подборе Функции 9 (х) получаются все ранее сформулированные результаты. ЕСЛИ ~Хе(оо, ТО $ р — а ПХ, = — ', ю+ о(з). а 9 в.
в. Гнененно, гь н. коваленко Пусть распределение г"(х) имеет конечный второй момент рз Мзе и нерешетчато. Тогда имеет место Т е о р е и а С м и т а. При 13О Гл. 2. изучение ВхОдящеГО потока тгевованпн Если же М (22 (з.с. Оо, р, = Мз'„то ( 2 Рз — а (5из 2Р3 Вз ) 3 ~+ ( 3 3 2(+о(1)' 3 43 За 22 Для многих задач теории восстановления полезно следующее очевидное тождество: Р(г (Г) = Р(1Р2)п).
(12) Если р,( и о'= р,— а', то Р(13',) — — — р' — (-2 = ) е зов. Оценка остаточного члена в теореме об асимптотической нормальности числа восстановлений приведена в статье Знглунда (1). Интересно отметить один важный результат, немедленно следующий из формулы (11). Обозначим череа 1(Г) время с момента 1 до следующего восстановления, через (3(3) — время, прошедшее от последнего восстановления, имевшего место ранее 1, до этого момента времени.
Таким обрааом, если и определено условием 1„~1~1 2 е то "((2) = Г„+, — 8, "(3(Г)=1 — 8„; при г„) 8 положим "(3 (г) = й Величина ((3) называется величикой перескока (через уровень Г), (3(1) — величиной недоспана (до уровня г). Обе величи ны играют важную роль в теории случайных блужданий. Пусть Г,(х, 1) и Р„2(х, 1) обозначают функции распределения случайных величин ((8) и (3(Г) соответственно. Зададимся целью найти пределы г",(х, 1) иг" „(х, Г) при 1-, считая, что интерВалы между восстановлениями обладают конечным математическим ожиданием.
Событие (((3)(х) может произойти двумя вааимно исключающими способами; 1) 1( з, Сз+х; 2) в некоторый момент 2С1 произошло восстановление; время до следующего восстановления лежит в пределах от 1 — т до 8-т+х. Формула полной веронтности с учетом (1) приводит к соотношению р'.( * 1)-Р(у(1)<х) = = р,(Г+ х) — Р,(Г)+ ~(Р(à — т+ х) — Р(1 — т)) ИН(т). 3 5 зя, ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНЕЯ Первое слагаемое при х - х становится бесконечно малой величиной; для второго слагаемого условие теоремы Смита не выполняется: Р(х+х) — Р(~) не обязательно неубывающая функция.
Однако можно записать Рх(х Г) Р!((+х) Рх(г)+В$(() Вхи)$ где ] Вх(8) = ~ [1 — Р(х — т)] ЫН(т), о В,(7) =) [1 — Р(à — т+ )] ]Н(т). о В обоих последних выражениях ядро 1 — Р(...) удовлетворяет всем условиям теоремы Смита. По тогда Вх(х) — — ) [1 — Р(т)] (]т 1, Г х ом2 а ) [1 — Г (т)] Ус Вх(Т) — — ( [1 — Р(т+ х)1 х]т- "„ Мхз ) [1 — Р (х)] и'х о так что (14) х ~ [1 — Р (т)] х[х Р„(е х) х.х (13) х ~ [1 — Г (т)] Ит о Полученное предельное распределение является непрерывным. Как видно из выражения правой части формулы (13), плотностью предельного распределения ](1) при Т- служит функция 1 — ]х (х) р (')- ) [ — ('] ° Ранее это соотношение было доказано для стационарных потоков однородных событий.
Предлагаем читателю подобным же способом доказать следуюгдий факт. Случайная величина ]х(х) имеет при х- ° то же предельное распределение, что и ](Т). ЯФ 132 Гл. 2, изучение ВходящеГО пОтОБА тгевовАН~и й 2.8. Предельные теоремы для суммарного потока 1. Постановка задачи. Мы уже говорили, что подавляющее число исследований по теории массового обслуживания исходит из предположения, что входящий поток требований является про стейшим.
В то же время в ряде случаев сами исходные предположения, послужившие определением простейшего потока и изученные нами в гл. 1, не вытекают из рассмотрения физической картины явления. И действительно, в некоторых практических задачах наблюдаются отклонения истинных потоков от потоков простейшего типа. Казалось бы, что в силу огромного разнообразия условий протекания реальных явлений такие уклонения должны быть правилом, а не исключением. Однако оказывается, что большие расхождения наблюдаются несравненно реже, чем зто можно было бы ожидать, исходя из априорных соображений.
Таким образом, наряду с аадачей выяснения причин, в силу которых могут появляться потоки, отличные от простейших, возникает и прямо противоположная задача: объяснить, почему так часто простейший поток хорошо согласуется с течением реальных потоков. Ответу на этот вопрос посвящено несколько работ: Пальма [2], Реньи [1], А.
Я. Хинчина [1], Г. А. Ососкова [1], Б. И. Григелиоииса [1]. Исходной мыслью указанных исследований было предположение, что наблюдаемые потоки представляют собой суммы большого числа независимых потоков малой интенсивности, каждый из которых предполагается ординарным и стационарным.
Относительно отсутствия последействия никаких гипотез не делалось. При несколько более общих условиях задача рассматривалась Б. И. Григелионисом; речь об этом будет позднее. С суммарными потоками приходится иметь дело очень часто. Действительно, поток вызовов, поступающий на телефонную станцию, представляет собой сумму потоков, исходящих от отдельных абонентов. Поток судов, прибывающих в какой-либо порт, является суммой потоков судов, которые отправляются из различных других портов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
