1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(1). (1) «-о Мы знаем, что при Ь 0 рд-«(д) ««1 00 Рд «(д) А = Д я,(Д) = — — -~ Лад (2) Отсюда вытекает, что прн й ) 1 имеют место равенства рд(2) = — Лрд(2) + Л ~ а„;р«(2). (3) «=о Ф Существование производных рд(«) доказывается автоматически. Добавим к системе уравнений (3) еще одно уравнение, определяющее р«(г): ре(2) = — ~Ро Р)' (4) Совокупность уравнений (3) и (4) дает возможность одно- значно определить интересующие нас вероятности рд(«). 4. Решение системы уравнений (3) н (4). Замена рд(2) е д'ид(«) позволяет свести интересующую нас систему уравнений к более простой. Ка««легко убедиться путем непосредственной подстановки, для функций ид(2) получаются уравнения ие(2) = О и при й~1 ид (2) = Л (а и„, (2) + а,и„, (2) + ...
+ адис («)). (5) ГЛ. 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ Из того, что р, (д) = е™, вытекает равенство ио(0) = рз(0) $. Так как при любом 2 > 0 Х рз (2) = д з-з то ясно, что при любом й ~ д имеет место равенство и„(0) = р„(О) О, Выпипдем несколько первых уравнений системы (5): ид (2) = Ладиа(2)д и,(2) = Л(адид(2) + а,и,(2)), из(2) Л(а из(2) + азад(2) + ази (2)), Подстановка в первое иа уравнений явного выражения функции и,(2) 1, а также учет начального условия для и, приводят к равенству и,(2) ЛаФ, Подстановка во второе из уравнений уже известных выражений для и,(2) и ид(2), а также учет начального аначения для и, приводят к равенству из(2) = — '+ Лазе. (Ла д) 2! Аналогично, (,)' из(2) 3! + (Ладе) (Лазе) + Лазс, Выпишем еще выражение для функции ид(д): (Лад!) (адЛд) Ла д (а Лд)з и,(й) = 4! + 2, азЛ$+ 1!' азЛ2+ 2! +азЛд.
Общую формулу для и,(2) мы не приводим, так как она до- статочно слон!на. Искомые вероятности принимают следующий вид; р,(2)=е ", рд(д)=а,Лде "', рз(Ф) = ад — е + азЛге з(Лд)' -ы -м з (Лд) -ы (Лд) -м -хд рз(2) = а,— е + 2а,а,— е + азЛге 3! 2! Рз(д) а, ! + Оадаз 3! е + (2адаз + аз/ 2! + з (Лд) -ы з (Лд) — м зд (Лд) -ы ы + ааЛге а $2,В, ОВЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА 403 Полученным формулам можно дать наглядное вероятностное толкование. Для примера рассмотрим вероятность ро(2). В проке« я[утке времени длины 2 четыре требования могут наступить следующими несовместимыми способами: 1) были четыре момента времени, в каждый из которых поступило по одному требованию; 2) были три момента времени, в которые поступили требования: в двух из ннх по одному и в третьем сразу два; 3) было лишь два момента, когда поступали требования: в одном одно требование, в другом сразу три; 4) требования поступили дважды, каждый раз по два; 5) был единственный момент, когда поступили требования, ио сразу четыуе, 5.
Частныи случай. Пусть а, =р, ай=1 — р=д, ай=О при Й~З. Этот случай может представлять и непосредственный прикладной интерес: при рассмотрении физических явлений спонтанного деления частиц, в экономических операциях и в проиаводстве. Уравнения для определения функций ий(2) при Й>2 принимают весьма простой вид: ий([) = ) (а,ий, ([) + азий о (2)). Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция [й/о) 'Ю й-М В(йо)й ' ий (В) = ,. Сй ,а, а, — . й м (й — о)[ В о удовлетворяет как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.
Отсюда находим формулу для искомых вероятностей [й/о) рй([) = Сй,а, а,—," . е й. Ч В й В В[)„О)й-В [=о Число моментов, в которые появляются требования, представляет собой простейпшй поток с параметром )о, а в каждый из этих моментов появляется одно или два требования соответственно с вероятностями р и д.
Характер потока в данном частном случае достаточно ясен. б. Производящая функция потока. Исчерпывающее решение системы уравнений (3) — (4) мы получим с помощью производяп[их функций. Положим ОР Р([о х) = ~ рй([) хй, й=о Из соотношений (3) и (4) путем умножения на соответствующие $06 ГЛ.
2. ИЗУЧЕННВ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕВОВАННИ степени х' и последующего суммирования по й от 0 до и находим, что ~о А дР д« вЂ” )"р + )» С~~ хп ~~~ а» р1» (2) = 1=1;=1 Ю О - — Аг + А ~ а«,)", р; (2) х'+1 = — Ау + «р(2, х) ~з ~а»х», » 1 «=О «=1 Обозначим Ф(х) = ~ а»х«, тогда «=1 ж )»(Ф(х) — Ц Р, дР— - «(Ф(х) — Ч. д1п Р Отсюда Р(2 х) С(т) е»«е«"'-«1«. А так как прн любом х Р(О,х)= р,(0) 1, то Р(2, х) е««е«"' "' (6) Известно, что для производящей функции Р(Г, х) при любом 2 р (г, () = ~ рА (2) = (. Следовательно, в силу (6) Ф(1) = А.«а1 = 1.
Это равенство было обнаружено нанн ранее. Формула (6) дает общий вид производящей функции любого стационарного потока без последействия. Легко убедиться и н ОО обратном: если )»>О, а,>О, ~«а» 11 то существует стационар- '«-1 ' ный поток без последействия, производящая функция которого задана формулой (6). Пусть моменты времени, в которые поступают требования, образуют простейший поток с параметром Х. В каждый момеят поступления требований может поступить с вероятностью а„любое число й требований, независимо от того, сколько требований уже поступило до этого момента, каков этот момент и в каком 5 2.О. ОБЩАЯ ФОРМА СТАЦИОНАРНОГО ПОТОКА ют порядке поступали эти требования. Таким образом, определенный я~ток будет, очевидно, стационарным потоком без последействия.
Легко убедиться, что производящая функция етого потока имеет вид (6). Действительно, вероятность поступления за промежуток времени о точно й требований равна е ро (г) = ~', б, Р„()о) (вероятность тогО, что за время о случилось г моментов поступ пения требований, равна — е-ы по предположению; Р,(й) ()оо)" ьо оаначает вероятность того, что в зти г моментов поступят й тре бованнй.
Понятно, что Р,()о)= 0 при Й(г). Теперь Р(о, х) = ~'„ро(Г)хо= „~~ )' Р„(ее)хо. (Ао) е о о е=о о=о Но Х Р (й)хо есть производящая функция случайной величиА=о ны, равной числу требований, поступивших за г моментов, в которые поступают эти требования. Тдк как числа поступлений требований за различные моменты представляют собой независимые случайные величины, то в силу известного свойства производящих функций 00 оп 1т ~ Р„(й)х» (Ф(х))е= ~Д а,хо~ „ о=о о=1 Таким образом, '~д () О Ф (х)) Ы Ы(Ф~е)-о) е о 7.
Заключительные замечания. Сформулируем окончательный вывод о строении стационарных потоков без последействия. Для любого стационарного потока без последействия моменты поступления требований образуют простейший поток. В каждый момент поступления требований с определенной вероятностью ао поступает точно й требований. Таким обрааом, каждый стационарный поток без последействия полностью характеризуется числами Х вЂ” интенсивностью потока моментов появления требований и вероятностями а„ поступления в каждый ив них ровно ео требований с ее озо* Хо 1).
А=1 ГЛ Э.ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ 108 Для простейшего потока интенсивность А произвольна, а, 1; а„О при й)1. Равенство (6) для производящей функции дает возможность получить вероятности рг(г) поступления за промежуток времени Э ровно й требований. Для первых четырех значений й ети формулы приведены в и. 5 настоящего параграфа. Естественно поставить такой вопрос: каков будет тип потоков, которые обладают только свойством отсутствия последействия"г Другими словами, если отказаться не только от ординарности, но и от стационарности потока, то можно ли найти достаточно прозрачное описание всех мыслимых потоков) Эта задача была поставлена и решена А.
Я. Хинчпным (3]. Мы ке будем приводить решения этой задачи и ограничимся лишь описанием полученного им ревультата. Ведущей фуннг,ией потока назовем математическое ожидание требований, поступивших за время (О, г); обозначим ведущую функцию через Л(г). Поток назовем финитным, если для любых г имеет место неравенство Л(г) ( + . Обозначим через р,(г, т) вероятность получения й требований в промежутке (Г, т). Момент г назовем регулярной или сингулярной точной потока в зависимости от того, будет ли предел 11ш ро(à — я~ Э+ ") — Рг(Г) л- о равен или меньше 1. Если у потока всв точки регулярны, то такой поток назовем регулярнььи.
Производящая функция регулярного потока беа последействия имеет следующий впд ((а, р) — интервал времени): М Ф(х; а, р) = ехр ~,„''„(у„ф) — т„(а)) х", и=г где функции 2,(Ю) (ул(0) = 0) обладают следующими свойствами: 1) непрерывны при всех значениях г; 2) монотонны (неубывающие прн Я ) 0 и невозрастающие прн у=О); 3) ряд ~л'.~Й)(ь(Г) сходится при любом Г; 4) при любом г>О имеет место равенство ) 2„(Г) = О, г о Про поток О' мы скажем, что он еингулярен, если: 1) его события наступают лишь в определенные моменты времени, образующие конечное или счетное множество: Ф„г„...; 2) числа событий, происходящих в разлнчныв моменты Гь представляют собой взаимно независимые случайные величины; 3) вероятность того, что в момент й наступят Й событий потока о', равна чь , 'при любом г>О они удовлетворяют неравен- 109 5 2.5. ФУНКЦИИ ПАЛЬМА — ХИНЧИНА ству йуо' с" сс, осцсс о=т Общая теорема, доказанная А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
