1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Я. Хинчиным ~3), состоит в следующем: ТРаагдый уоинитный поток бег последейстеия представляет собой объединение (сумму) двух независимых потоков того хее типа, один иг которых регулярен, а другой — еингулярен. Точки появления событий сингулярного потока совпадают с сингулярными точками исходного потока, и соответствующие вероятности д~® определяются посредством равенств во~о =1ппРЬ(го — Ао 2;+ ь). ь о й 2.б. Функции Пальма — Хинчпна $. Определение функций Пальма — Хинчина. Для исследования стационарных потоков Пальмом (2) была введена в рассмотрение функция ~р,(г), примененная им самим и рядом других авторов с явным успехом к решению задач теории массового обслуживания.
Сам Пальм определял функцию до(2) как условную вероятность отсутствия требований в промежутке (г„го+ 8), если известно, что в момент 2о требование поступило. В силу того, что условие, прн котором определяется вероятность, в наиболее интересных случаях имеет вероятность О, данное определение не имеет строго определенного смысла. Вот почему А. Я.
Хинчин [Ц был вынужден уточнить зто понятие; нм же было предложено рассматривать не одну, а бесконечную последовательность функций, подобных функции Пальма, Вот почему функции р, (г), к определению которых мы переходим, мы станем называть Функииями Пальма — Хинчина. Пусть к промежутку времени длины т примыкает справа, но не пересекается с ним промежуток времени длины й Обозначим через Я,(т, 2) вероятность следующего сложного события: за промежуток т поступит по меньшей мере одно требование; за промежуток 3 поступит не более й требований.
Вообще говоря, зти события зависимы между собой. Так каи согласно введенным ранее обозначениям вероятность первого события равна и, (т), то отношение Н~(т, й п~ (т) представляет собой условную вероятность второго из указанных событий при условии, что первое произошло. Иными словами, Указанное отнешение представляет собой вероятность появления 11О Гл. 2. изучение ВходящеГО потокА тгеВОВАнне в промежутке г не более Й требований при условии, что в промежутке т поступило по меньшей мере одно требование.
Ниже будет доказано, что при каждом й для стационарного потока с конечным параметром ). существует предел Фо (г) = 11ш я,,(т, о) (1) о о яг(*1 Истественно, что этот предел можно назвать условной вероятностью поступления в промежутке г не более й требований при условии, что в начальный момент этого промежутка поступило требование. Из того, что Н,(т, 1) как функция 1 не возрастает, а я,(т) от 1 не зависит, следует,что каждая из функций Фо(~) также не возрастает в области О < 1 < Положим теперь при е> О йо(т, о) Но(т, о) — Но-о(т, о)1 йо(т, о)=Но(т, о). Очевидно, что Ь„(т, о) есть вероятность того, что 1) в промежутке т поступит по меньшей мере одно требование, 2) в промежутке 1 поступит ровно Й требований.
Введем обозначения р,(г)-Ф,(Г), з,(Г)=Ф„(~) — Ф,,(1) (й)О). (2) Из предшествующего ясно, что Ъо(т, ~) оро(1) 11ш — ' (й= О, 11 2, ...). о (3) Функции у„(1) назовем функциями Пальма — Хинчина. Согласно предыдущему функцию д,(1) можно толковать- как вероятность поступления в промежутке г ровно й требований при условии, что в начальный момент этого промежутка требование поступило. 2. Доказательство существования функций Пальма — Хинчина. Мы ввели определение функций Пальма — Хинчина, но не доказали их существования. Покажем, что для любого стационарного потока с конечным параметром функции оро(8) существуют.
С этой целью проверим, что вероятность Н,(т, 1) как функция т удовлетворяет всем требованиям леммы, доказанной в $ 2.3. Действительно, неотрицательность и монотонность этой функции очевидны. Нам нужно проверить, что функция Но(т, о) удовлетворяет также третьему требованию леммы, т. е. что для нее Но(то+ то1 т) Но('ге т)+Но(1о1 г) С этой целью разобьем промежуток т на две части т, и ть причем пусть т, предшествует т,. Сложное событие, вероятность которого обозначена через Н,(т, о), может наступить лишь в случае, если выполнено хотя бы одно иа следующих событий: 5 2.5.
Функции пальмА — хинчинА А — в промежутке т, появится по меньшей мере одно требавание, в промежутке ( появится не более й требований (вероятность события А, очевидно, равна Н,(т,, 1) );  — в промежутке т~ появится по меньшей мере одно требование, а в промежутке т,+( появится не более чем Ф требований (вероятность события В равна Н„(т„т, + д) ) .
Так как события А и В совместимы, то имеет место неравенство Н'(" ')-Н (тл ()+Н,(то,,+,) Поскольку при фиксированном т функция Н,(т, г) с ростом 1 может только убывать, то Но(то то+8)(Но(т1 д). Таким образом, д(т> ~) НА(тл ~)+ Но(тл С), В силу упомянутой леммы существует предел Н (т,д) 1(ш о-оо (может быть и бесконечный). Но так как всегда Н„(т, ~)<л,(т) л, (т) и по предположению отношение — ' при т- О сходится к конечному пределу Х, то конечным обязан быть и предел Нд(т, д) П д о о Н„(т, д) Н„(т, д)/т Отсюда, поскольку — = вытекает существование л (д) лд (т))т предела Нд (т, Фд(() = Идв о.+о Пример.
Рассмотрим простейший поток с параметром ).. Так как в этом случае ь кд р,д)о лд(т) 1 е Но(т' ) д( ) ойдо ! 4 о ф„(с) ~~ . е до <рд (() = е кт (и)д Ро) 112 ГЛ. 2, ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕД'О .ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ 3. Формулы Пальма — Хинчина. Приводимые здесь формулы были выведены в случае до= О Пальмом (2) и в случае й~1 А. Я. Хинчнным ([1), з 10).
Предположим, что данный поток стационарен, ординарен и имеет конечный параметр ).. Рассмотрим промежуток времени длины т+ (, состоящий нз промежутка длины т и непосредственно следующего за ним промежутка длины с. Обозначим через и, число требований, поступивших за промежуток времени т, и через и, — поступивших за промежуток времени й Очевидно, что ро (с + т) = ~ Р (и, = г, и, = й — г), ~о откуда в силу ординарности потока при т - О ро(т+ с) = Р(пд = 0 и, =до) + Р(пд — — 1, и, й — 1) + о(т), А так как всегда Р (и — О, п,=Ц = Р (п,=Ус) — Р (пд)Од по= )с) = РА(с) — сдо (то с) и Р(п =1, и = й — 1) = Р(пд)Оо по= 7е — 1)— — Р (и, 1, и, = (с — 1) = йо-д (т, 8) + о(т), то Рд(т+ С)=рд(С) )дд(т~ о)+)дд-с(т~ С)+ О(т)' Отсюда )д (с -)- т) — )оо (с) Ьо д (т, д) я (т) п (т) 'с Ьо(т, с) я (т) .",(') ' +'(" и, следовательно, в пределе (й ) 0) РА(С) = 2(В-д(С) — сро(С)1 (4) Подобным же путем находим, что Ро (С) = — ) Чо (С) А Введеод обозначение ио(С) = ~з~ р (С), и-о Суммирование равенств (4) и (5) приводит к уравнениям ио (д) — Ьро(д) (й = О, 1, 2, ...).
(6) (5) Мы нашли дифференциальные уравнения, определяющие через функции Пальма — Хинчина вероятности появления в данном промежутке времени длины с не более й требований. Эти уравнения полезно записать в иной форме, Проинтегрируем (6) по $ 113 6 зи. ФУНКЦИИ ПАЛЬМА — ХИНЧИНА от О до ос с ов (+ 0) — ив (С) = )с ) фв (2) с(2 ()с = О, 1, 2„...). о Ко при любом )с ~ О нв(+0) ~ ссв(+0) р,(+О) 1 — пс(+0). я (с) А так как в силу конечности параметра потока †' -«) + со при с — О, то я,(+О) = 0 и, значит, ив(+0) ° 1. Таким образом, при любом С ~ 0 1 — Гсо(С) =) ~фв(2)С(гв о (7) откуда непосредственно вытекают равенства с Ро(С) = 1 )~~фа(2)осзв о с Рв (С) = )~ ) (фв- (С) — фв (С)) й о (8) (9) Устанавливающие пРостые свази межДУ веРоатностнми Рв(С) и функциями Пальма — Хинчина.
Пример. Пусть поток определен формулами аСА Ра(С) = (а + с)а+с (7с = О 1, 2...,), где а — положительная постоянная. в Согласно предыдущему Ьр„(С) = — ссд (С). Для рассматривае» мого потока ( с гй+с ), — и э (с) =1 — т~ Рс(с) 1 — ( — / а 4ю ~а+ с/ с в+с поэтому для него функции Пальма — Хинчина определяются ра- венствами , + 1) в ' (7с 0 1 2,, ° .) ° В качестве второго примера рассмотрим поток, для которого Р (с) = Р— е-" + ц — „е- (сс = 0 1, 2, ...), (ас)" (Ьс)" где о, б, Р, д — положительные постоянные, причем Р+с7=1. Для этого потока параметр равен А = ар+ (сс7.
ев, в. в. гвевввво, и, н, ковааевко 114 гл. з. нзьчннив входящвго потаял тгквовьния Согласно (6) ~Ь рек+1е ЕЕ + дьь+Ге Ы Н ар+ Ьд В случае б = О, а = Л находим, что <рь(8) = — е-м. (ЛО Ь1 Этот реаультат был уже указан несколько раньше. 4. Интенсивность стационарного потока. Мы условились в гл. 1 интенсивностью стационарного потока называть математическое ожидание числа требований, которые поступают за единицу времени.
Интенсивность потока обозначили буквой д. В силу стационарности рассматриваемого потока при любом г ) О ис =,,"~ йрь(Ь). а=1 Для простейшего потока, как мы это видели в з 1.1, интенсивность потока и его параметр связаны зависимостью д=Л, а для произвольного стационарного потока всегда имеет место неравенство п~Л. Каковы же условия, которым должны удовлетворять стационарные потоки, чтобы для них выполнялось равенство и М Такой вопрос тем более уместен, что нередко как в прикладных, так и в теоретических работах предполагают вто равенство выполненным без всяких обоснований.
Следующее предложение дает простые условия для проверки этого равенства. Теорема. Если стационарный поток имеет конечную интенсивность р, то равенство д=Л влечет ва собой ординарность потока. Доказательствое). Пусть д=Л. Так как рз:Е йрь(Ь) Ь=« и иа определения параметра Л следует, что Лг =,«„р„(е)+о(«), то Ьет ~ (й — 1) рь (Ь) = о(г). Ь Э Из того, что все р,(г) неотрицательны, следует неравенство О( ~ Рь(Г) ~ ~~э~ (к — 1) Рд(Ь). Таким обРазом, Ь е а е Х рь(г) - о(с). к=1 Это означает, что поток ординарен. Знтек ааметил, что если интенсивность потока бесконечна, то из равенства р = Л ординарность потока не следует. Действнтель. е) Предлагаемое здесь доказательство было дано Звтвкои (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
