1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 22
Текст из файла (страница 22)
З 2.О. ФУНКЦИИ ПАЛЬМА — ХПНЧПНА [й= ~ йрй(1) — ~ ~ р,(1) ~э~ [1 — сй 1(1)) = ~ [1 — уй(1)) о=1 й=1.=й й=1 й о и, следовательно, в силу (7) при конечном Х 1 р, = Х ~ ) 1рй (и) ди, Ъй (т,и) По 1р (и)=11' () и при б Хг 0 и и~О О О П1 (10) Ьо(т, и) ХХй (1, и) Х',' я (т) я (т) (1. В пределе при т- 0 получаем, что ~ 1ро(и)(1, и, следовательно, 1 О й при любом У~О имеем ~ ~ ~р1(и)Ии(1, Отсюда вытекает, что 1=0 о ю 1 ~о ) ~рй(и) аи(1, тйз (10) заключаем, что при конечном Х выполняется неравенства Х ~ )й.
Так как всегда )й > Х, то получаем, что )й Х, Если Х = о, то из )й ~ Х следует, что )й = оо, т. е. снова р = Х. В докааателъство требование ординарности вошло не непосредственно, а через формулы Пальма — Хинчина. Результаты пп, 4 и 5 позволяют сформулировать следующую теорему: Для любого стационарного потока с конечной интенсивностью )й необходимьйн и достаточным условием ординарности етого потока является равенство Х = )й. Отсюда вытекает, что среди стаьионарных потоков без после- действия только простейшие потоки удовлетворяют условию )й Х.
8» но, пусть для некоторого стационарного потока Х . В силу нера авенства )й>Х должно быть и )й= . Рассмотрим теперь новый п11ток в котором одновременно с приходом каждого требования первого потока появляются сразу два требования и в иные моменты требования этого потока не появляются. Ясно, что для второго потока Х = и этот поток неординарен. 5. Теорема Королюка. В. С. Королюк заметил, что ординарность любого стационарного потока влечет за собой равенство )й= Х (при етом не искл1очается и случай (й = Х оо). Согласно определению интенсивности потока Гл. з. изучвние входящего потокА тгевования 116 Действительно, для выполнения равенства р Л необходимо н достаточно, чтобы поток был ординарным.
А всякий ординарный стационарный поток без последействия является простейшим. 6. Случай неординарного потока. Для неординарных потоков даже с конечным параметром нетрудно построить стационарные потоки, у которых соотношение между параметром и интенсивностью будет произвольным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть стационарные потоки без последействия.
Поскольку для всех таких потоков рв(~)=1 — е ", параметр потока равен Л. Однако интенсивность потока будет заведомо иной, если только этот поток не простеюпий. За отрезок длины единица появится случайное число моментов, в которые возникнут требования. Обозначим это число через ц. В каждый из таких моментов возникнет случайное число требований. Пусть число требований, возникших в момент ге равно фь Тогда общее число требований, появившихся за промежуток времени длины единица, равно $~ + $з+ ° . ° + $м если ц ~ 1, и О, если ц = О, Так как по свойству отсутствия последействия величины З, и ц независимы, то д = М К, + ~, +, + ~„) = М~,Мц (см., например, В. В. Гнеденко (1], э 28, следствие 2 теоремы 2). Но согласно результатам 3 1.4 М$, ~йлю а Мц = Л, поэтому ь=г р=Л ~Вою Соответствующим подбором величин а, можно добиться, чтобы сумма Хайль приняла любое значение, большее 1. В частности, 1 если аь= Ь Ь 1 1, то,.'„йаь со, и мы получаем стационарный поток с конечным параметром и бесконечной интенсивностью.
$2.6. Характеристики стационарных потоков и интеграл Лебега 1. Общее понятие математического ожидания. Пусть $ — дискретная случайная величина, т. е. случайная величина, принимающая конечное или счетное Множество возможных значений хз с вероятностями рь Тогда по определению М$= ~харю если только ~~ха) рь< ос.Для неотрицательных дискретных случайных величин М$ определено в любом случае, в том числе и при расходимости указанного ряда, но не исключается случай М$ +ОО. Е 2.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ 11У Если й — пРоизвольнаЯ неотРицательнаЯ слУчайнаЯ величина, то по определению М$ = 11ш М$„, (1) где (2„) — неубывающая последовательность неотрицательных случайных величин, сходящаяся к 3 с вероятностью 1. Представив Р функцией элементарного события а, получаем выражение М$ в виде абстрактного интеграла Лебега М$ ) $ЫР— ) $(а) Р(йо), (2) ~~(а) Р(йо) — ) ~(а) Р(йо), где Р— пространство элементарных событий.
Отметим также, что ) 1(а)Р(йо) — линейный и монотонный функционал относительно ~: ~(а~+ Ьл) АР = а ~усР+ Ь~у3Р, если правая часть определена; (~)О)=ь() д)Р) О~. 2. Уточнение понятия ординарности. В предыдущих параграфах было принято следующее понятие ординарного стационарного потока, Если п,(2) — вероятность появления хотя бы двух требований в интервале длины 2, то п,(2) = о(2). Из атого следует, что с вероятностью 1 (4) т~ ( тз ( .
° ( Тп ( ° ° где т„— момент п-го события потока. Для доказательства введем следующие обозначения: х(г) — число событий потока в интервале (О, 2), х,(г) — число различных моментов событий потока в интервале (О, 2); х,(г) =х(2) — х,(г). Соотношение (1) равносильно со- отношению хз(2) О, О- '2( а следовательно, (4) выполняется с вероятностью 1, коль скоро Р (х (2) ) О) = О (6) определение которого по существу содержится в равенстве (1). Отметим следующее свойство интеграла Лебега от неотрицательной функции ~(х).
Если (А„) — последовательность событий такая, что Р(А )-~-1, то 118 гл. з. пззчвнив входящвго потока тгввовании при произвольном 1~0. В свою очередь, е о, (с ~ э> - ~ ( // (, ( — „'~) — ~ ('=„' ~) ~ э)) ( ( ~' Р )(х, ~ — г) — х, ~: г) ) 0~ я.. -х'1.Ю-.~'=.') '1- я, (с/и) ля,~ — ) =г — ' — +О, ~ ~ в ) $/з и-+сю а следовательно, справедливо равенство (6). 3. Существование параметра потока. Пусть имеется стационарный поток однородных событий х(г).
Зто означает, что случайный процесс г(г)=х(г,+г) — х(г,) при г О имеет те же конечномерные распределения, что и х(г). Однако г,(г)=хо(гю+г) — хе(го) образуется из з(г) по тому же закону, что и х,(/) нз х(г). Отсюда следует, что х,(Г) — стационарный поток. Кроме того, очевидно, он ординарен.
Пусть Л.,=1, если при (й — 1)lи< г(/г/и произошло хотя бы одно событие потока х(Г), и Ь, = О в противном случае. Положим х = Л ~ +... + гъ „. Обозначим через А„событие, состоящее в том, что х =х,(1). Тогда, очевидно, Р (Аз) -~-1. Отсюда, вследствие (3), ) х,дР= ) х,(1)дР ) х,(1)аР=Вы ~з ли о где в, — интенсивность потока х,(Г). В то же время х„< х,(1), откуда ) х„ИР ~ ~(гс; так как х„~ О, то в сочетании с (7) зто приводит к равенству ) х„аР /г.
Заметим теперь, что ) хзИР = лМб ь = яяг(1/л), Итак, установлено существование предела ;я (т/и) Х=* Пш 1/л (9) и одновременно доказано равенство Х */г,. Я зв. ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ 119 Возможность замены переменной 17п непрерывной переменнои Ь - О УстанавливаетсЯ на основании монотонности Я,(1/и): при 1/и ( Ь ( 1/ (и — 1) имеем нг (1/а) п~ (Ь) пг (1/(н — 1)) 1/(л — 1) а 1/а обе оценки, очевидно, стремятся к Л.
Если исходный поток— Ординарный, то х,(1) = х(1), )га = )А, и мы приходим к теореме Королюка (т 2.5, п. 5). 4. Теорема Добрушина. Р. Л. Добрушин (1) доказал, что если стационарный поток — конечной интенсивности и удовлетворяет свойству (4), то он ординарен, т. е. И,(1)=о(1), 1- О. Теорема Добрушина следует из соотношения (7): "—;"" =Р(х(1) — х„)1)(М(х(1) — х„)( ~ х(1)АР—. О. Я',Ал Переход от 1lп к Ь тот же, что и выше. 5. Существование функций Пальма — Хинчина. Пусть х(1)— стационарный поток, т„— моменты его событий (т~<т~( ° ° ) ° Обозначим у(/~х, Ь) число таких т, О~ т ~ 1, что в интервале (т, т +х) произошло ровно Ь событий потока. Легко показать, что у(Их, Ь) — стационарный поток. Его параметр обозначим Ь(х, Ь). Тогда по определению параметра ~р,(х)=Ь(х, Ь)/Ь есть условная вероятность того, что при условии поступления требования в интервале (О, Ж) на протяжении интервала длины х вслед за ннм поступит Ь требований.
(Правда, вместо интервала (х, х+5) здесь получается интервал (6, х+6), где Π— момент поступления требования в интервале (О, Ь). Однако можно перейти от 9 к Ь, сохранив смысл всех формул, если рассматривать только те х, в которых Ь(х, Ь) непрерывна. Вероятность двух или большего числа событий з различные моменты интервала (О, Ь) составляет о(Ь) вследствие ординарности потока х,(1).) 6. Ь-интенсивность потока. Ю. К. Беляев (41 ввел понятие Й-интенсивности потока )е(/и ..., 11), имеющей тот смысл, что вероятность появления событий в интервалах (ги 1, + Ь~), ...
° ", (/м гь+ Ь,) равна Ьа(/О ..., Ц) Ь,... Ьь + о (Ь,... Ьь) . Это понятие с успехом используется для оценки вероятностей событий, связанных с патоками. Пусть, например, А — событие, состоящее в том, что в интервале (О, 1) поступило хотя бы одно требование. Обозначим А„„событие, состоящее в поступлении требования в интервале (Ь вЂ” 1 1 /~ 1) откуда Х Р(Ада) — Х Р(АиьАат)-.-=Р(А)» (Х Р(А~к) В пРедположении, что Х,(х) и Х,(х, у) иитегрнруемы по Риману, Гл. 2. изучение Входящего потокА тРеБОВлниЙ 120 можно перейти к пределу при ив с с ) Лд(х) сЬ вЂ” ) ) Лд(хс у) дхс(у~~Р(А)(~ Лд(х) с(хъ в О<юсиа(С 0 й 2.7.
Элементы теории восстановления 1. Определение процессов (потоков) восстановления. Предста вим себе, что некоторое устройство в случайные моменты времени может откааызать, т. е. теряет способность выполнять порученные ему функции. В момент откааа прежнее устройство заменяется новым, которое, в свою очередь, в случае отказа заменяется на новое, и т.
д. Отметим на оси времени моменты последовательных отказов: ~„~„~„... На них естественно смотреть как на моменты восстановления работоспособности устройства. Рассмотрим последовательность случайных величин гс ~1 гд дд дс гс ~с ~2 гд ~А ~д 1 представляющих при й) д расстояния между последующими моментами восстановлений. Величина г, играет несколько иную роль, поскольку в момент ~= 0 могло и не быть восстановления. Обозначим для дальнейшего через Р,(х) функцию распределения величины г,. Точно так же, если наблюдать за потоком вызовов, поступающих на телефонную станцию, то нх можно упорядочить по времени поступления, подобно тому как мы ато сделали с моментами откааов устройства. Примеров такого рода, где события того или иного рода (происшествня, моменты наготовления иэделий, моменты приземления самолетов и т. д.) следуют друг за другом в случайные моменты, можно привести очень много.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
