1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 19
Текст из файла (страница 19)
По предельной теореме Пуассона Легко видеть, что этот предел и есть Р (т (() = А). Если ч ~ В(х) дз( со,то)пп Р(т(г) = ь)=е ' —,, Системам с гл (Ат)А о 8 ~,ю Ч бесконечным числом приборов, служащим аппроксимацией реальных систем, посвящены работы Франкена и Керстана [1), Смита [2), Т. Аннаева и М. Я. Манилова [1), Дейли [1), А. Ю. Веретенникова [1). з 2.3. Свойство стационарных потоков 1. Существование параметра.
В $1 1 было доказано, что для любого стационарного потока без последействия имеет место равенство р,(~) = 1 — Аг+ о(г), в котором А — некоторое постоянное число. Отсюда вытекает, что для любого стационарного потока без последействия существует Яб ГЛ. и ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕВОВАНнй предел я (о) 1(ш — ' о о о названный параметром потока. А.
Я. Хиичин (2) показал, что для существования параметра потока предположение об отсутствии последействия излишне и его использование было вызвано не существом дела, а использованным методом. Задача настоящего параграфа состоит в доказательстве следующего положения. Теорема. Для любозо стационарнозо потока существует и, (о) Иш — ' А~О, о о причем случай ).=+со не исключается. Доказательство этого предложения опирается 'на один элементарный аналитический результат, к формулировке и выводу которого мы переходим.
2. Лемма. Рассмотрим неотрицательную и неубывающую в отрезке 0 < х ~ а функцию ) (х), удовлетворяющую соотношению 1(х+ у) < Дх)+ у(у), (1) для всех х и у, принадлежащих вместе с суммой к+у отрезку 0(х<а. В указанных условиях — „при х- 0 либо безгранич- 1(е) по возрастает, либо стремится к некоторому конечному пределу. Этот предел может равняться О только в случае 1(а)=0.
Доказательство. Из неравенства (1) следует, что для любых п «1, 0 ~ х ( а (2) В частности, при х а и = 1(ш — ) — ) О, — Г (е) ((о) о о причем, конечно, возмояоен и случай а =+ Рассмотрим сначала случай а~+ . В этом предположении найдется такое с ~ О, что при заданном е ) 0 выполннется не- $2.3.
СВОЙСТВО СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ равенство 1 (с) > и — зе с Пусть теперь х заключено в отрезке 0(х(с. Определим целое т > 2 из неравенства с -~ х( —. т т — $' В силу монотонности функции 1(х) и выбора числа т имеет место неравенство А так как согласно (2) 1(х)~~т/ ~ — ), то 1(х) т — а 1(с) х т с Таким образом, на основании выбора числа с Так как з можно выбрать сколь угодно малым, а т-е. при х -О,то Пш — = ет. 1 (х) х- о Рассмотрим теперь случай се=+ .
Пусть А — произвольное большое число. Выберем с так, что 1 (с) — ) А. Рассужденннми, подобными проведенным, можно доказатье что — ) — А. 1(х) т — 2 х т Отсюда вытекает, что при х — О 1 (х) — -Е + Оо. Немка доказана. о. Доказательство теоремы, Для доказательства сформулироВанной в и. 1 теоремы А.
Я. Хинчина достаточно обнаружить, 7 В В. Гнеаелао, И. Н. Ковалеало 98 Гл. 2. Изучение ВхОдящеГО пОтОкА ТРВБОВАний что функция я,(2) удовлетворяет условиям только что доказан- ной леммы. Очевидно, что п,(1) ~ 0 и с возрастанием 2 не может убывать. Если отбросить потоки, в которых требования вообще не посту- пают (и для которых, следовательно, р,(Г)=1, а я,(2)= О при любых 2), то при некотором а ~ О должно быть также и я,(а) ) О, Если в промежутке (О, Г + Го) произошло хотя бы одно требо- вание, то хотя бы одно требование должно было наступить в одном из промежутков (О, 8,) и (Го 2,+ Го) и, значит, яо (21 + Го) «~ по (2~) + ло (Го) (Фо ~ 0 Го «О Го + Го > О) ° Мы видим, что все предпосылки леммы для функции я,(2) выполнены.
Теорема, таким образом, доказана. В гл. 1 (п. 6 2 1) было доказано, что для любого стационар- ного потока без последействня р,(8)=1 — е "', а следовательно, л,(Г)=1 — е "'. Если исключить потоки, для которых в любом промежутке времени с вероятностью единица либо не поступает ни одного требования, либо поступает бесконечное их число, то в последней формуле величина А отлична от 0 и + .
Отброшенные потоки не представляют интереса, и мы их не рассматриваем. 4. Пример стационарного потока с последействием. В случае, когда стационарный поток допускает последействие, параметр потока может обращаться в +оо. Для доказательства етого утверждения рассмотрим пример. Пусть параметр 2 простейшего потока представляет собой случайную величину с функцией распределения Р(х) (Р(+0) = О, Р(+ )=1). Если параметр принял значение х, то условная вероятность того, что за промежуток времени Г поступят й требований, равна ро х(2) = — е (хй -х8 Следовательно, полная вероятность поступления й требований за промежуток времени длительности 8 равна ро (Г) = ) —, е "'ОР (х).
о Ясно, что Ю х рд(2)= «~ ~~ — „е "ЙР(х) =~НР(х) = 1. о=о о о ол, своиство стлционлвныл потоков Оз Так как ко(() = ~(1 — е "') ИР(х)о о то к, (о) р(,— о — = ) ИР(х). 3 о В предположении, что ) х ИР (х) ( + оо, о из неравенства $ — е *'(хо вытекает соотношение ~, (~) 1 ~1хдР(х). о Мы заключаем отсюда, что в указанном предположении параметр потока конечен. Пусть теперь ) 1Р( )-+ о Как бы мало ни было з ) О, найдется столь большое А, что А х ИР(х) ~ —.
т о Но А я (О ( ( — е о Г( — е 1(ш') ' ЙР(х) =) хоР(х), с.,о 8 о о поэтому, каково бы ни было з ~ О, 1(ш ~ Ъ вЂ”. о $00 Гл. 2. изучение ВхОдящеГО потокА тРББОВАний Отсюда я (г) 11ш =~ + со $-~о Танин образом, в указанном предположении параметр потока бесконечен. Легко проверить, что параметр ). рассмотренного наин потока (Ю в обоих случаях равен й = ) х Н'(х), о 5 2.4. Общая форма стационарного потока без последействия 1, Постановка задачи. В настоящем параграфе значительную роль будут играть вероятности п,(г) поступления в промежуток времени г по меньшей мере й требований при й = О, 1, 2, Будет доказано, что для любых стационарных потоков без пава(г) следействия существуют пределы 11ш —, при всех )с) О.
Для о- о простейшего потока к (г) яо(г) 1пп — '=Х, 1пп ~ =0 при й)1. вогоо Содержание настоящего параграфа, доказанные в нем лемма и теорема принадлежат А. П, Хинчину 12). Иная характеристика стационарного потока без последейстзия дана Редхеффером 111. Л е и м а. Если функуия /(х) пестрив)отельна, не убывает в отрезке 0<х<а, в этом отрезке отношение — ограничено 1 (х) и при любом натуральном п для некоторого постоянного с)0 выполняется соотношение 1(пх) < п)(х) + сп'х', (1) то суи)ествует предел Иш — = 1) О. 1 (х) о Доказательство. Обозначим 1пп— — 1 (з) з о Мы можем считать, что 1) О, так как з случае 1=0 утверж- дение лепны тривиально, Положии в (1) г=пх, тогда /(2)<п1(гlп)+сг', Отсюда ( (Ыо) 1 (о) — ) — — Сг.
Ык о Выберем з) 0 достаточно малым и х<з/с так, чтобы выпоенялось неравенство — )1 — з. 1 (о) о Пусть 0 < х < з. Определим целое п >1 посредством неравенства — (х(— и - о — ( 2 зх. ОВЩАЯ ФОРМА стАЦиОнАРнОГО пОтОкА 1()1 так как по предположению о характере функции ~(х) имеем и )ж( — '„)р то ® )~ х (-:) и г э и, следовательно, для достаточно малого х 22 ) ~1 — — ~ (1 — з) — з: 1 — Зз. Но для любого з '0 прн каждом достаточно малом х выполняется неравенство 1 (х) — <1+ з. Отсюда вытекает, что Нш — 3.
г (х) х р Этим будет аавершена проверка выполнения условий леммы. Лемма доказана. 2. Доказательство существования пределов Нп, . Перейяд (х) х- р дем к доказательству сформулированного нами предложения о пд ( ) существовании пределов отношений Нш — при любом й>1. , р р Для этого достаточно лишь проверить, что функции пд(2) удовлетворяют всем требованиям леммы. Из определения функций я„(2) вытекает, что при любом )р ~ 1 они неотрицательны и не я, (2) убывают. Из того, что пд(2) < я, (2), а 1(ш — ' = ) р вытекает ь„р р Я д (ю) ограниченность — „в любом промежутке 0(2(а. Остается проверить, что пд(2) удовлетворяют неравенству (1).
С этой целью введем в рассмотрение величину яд — верхнюю Яд (2) грань отношения — в области 0 с 2 ( — и рассмотрим число р 4А =ХАААА о с=т Докажем, что при любых 2 и натуральных п пд (пг) ~ няд (() + Ад (2) ГЛ. 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ 102 При и 1 неравенство (2) тривиально. Допустим теперь, что оно имеет место для некоторого и. Чтобы в отрезке (О, (п+ 1)2) длины (п+1)2 пт+2 появилось не менее )о требований, необходимо поступление не менее 1 (3=0, 1, 2, ..., Й) требований в промежутке (О, 2) и не менее й — $ требований в промежутке времени (2, (и+1) 2). Таким образом, имеет место неравенство лд((п+ 1) 2) ~~ ло(2) лд;(пт) = 1-О »-1 = ло(2)л»(п() + лд(2) ло(п()+ Х л1(() л»-1(п() ~( 1=1 »-1 ~( лд (пз) + лд (2) + пЮ~ Д шоу» — 1 = лд (пз) + лд (2) + Адптз, Но согласно предположению лд(п() ~ плд(2) + А»-"-и: — 21, поэтому л» ((п + 1) 2) .- (и + 1) лд (г) + А„ Итак, доказано, что функции удовлетворяют неравенству (2).
Мы убедились, что условия леммы выполнены и, следовательно, лд (1) существуют пределы Иш —. 1. О л (1) л1, (Ю) Так как 11ш 1 = ), то существуют и пределы 11ш — ° 1- О 1 о лд(о) ' Предыдущее доказывает существование пределов ад = 1па — ()о = О, 1, 2, ...), р» (1) о л1(') где р»($) лд(8) — л,+, (2). Р» (О Обратим внимание на то, что отношение — есть вероятл, (2) ность получить )о требований, если известно, что в этом промежутке времени поступило хотя бы одно требование. Предел етого отношения при 2- 0 естественно трактовать как вероятность получения )о требований в определенный момент при условии, что в этот момент вообще поступили требования. Такое наглядное представление смысла ад нам будет полезно. Отметим, что т х«.
ОвщАя ФОРИА стАционАРПОго пОтОкА 103 3. Уравнения, определяющие общий стационарный поток бев последействия. Йапишем уравнения для определения функций рд(2) в общем случае стационарного потока беа последействия. Известно, что для таких потоков при любых 2~0 н Ь~ 0 имеют место равенства д «ге ( ) ( '1'2«). Так как для потоков без последействия р,(2)= е ", то при Ь- О р, (Ь) 1-ЛЬ+ о(й). Таким образом, прн й~ 0 Д-« рд (2 + й) = (1 — Лй) рд (8) + ~ р«(8) рд, (Ь) + о(й) «да и, следовательно, д —; ""'"', "" =-" ()+ Х.,()'"-„"л) +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
