1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Система уравнений (7) решается без труда, если использовать метод производящих функций. Пусть случайная величина $ может принимать только значения О, 1, 2, ... и вероятности зтих значений соответственно равны ро, р, р„... 11роиееодлщей 4унлцаей случайной величины й называется ряд ср(х) = Ро + ртх + Рсха + ° ° х.с Р«х «=о Этот ряд наверняка сходится при любых комплексных х, дли которых !х! < 1; кроме того, ср(1) = 1. Введем теперь обозначение р (г„с, х) = Я р (т„с) х". «=о Помиожим уравнение (7) на х' и просуммируем полученные равенства по всем й от О до ~~)'„х' " "' ' = А (с) ~~~~ ~х Р«-с (с„с) — А (с) сР (с„ос х).
«=о «=о Так как Х х'р«- (с ° с) = хор(то с х) «=о «дд«(со,с) дсР(С,,с,*) Х"''- дс дс «о то д -( -1)1(т)~. Это уравнение может быть записано в виде д1в Р(со с,х) = (х — 1) )о(С) сР(тес С, х), 5 2.2. ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТЛЦИОНАРНЫЙ ПОТОК Отсюда находим, что с 1п ср (со а гс х)-1п ср (2о, г„х) = (х — 1) ) Х (2) с(г. Так как из определения производящей функции и условий задачи вытекает, что р(1„1„х)=ра(ге ва)=1, 1п ср (1„2, х) = (х — 1) ~ Х (2) сЬ. с, Введем обозначение Л (1о, 2) = ) Х (~) ды Иа предыдущего следует, что ср(Ф„ 2, х) = е ' = е ' .т, ' х . сх ссл(с,с) л(са !!~а (л (с с)) ы ь-о Сопоставив полученное равенство с определением функции ср(са, 2, х), находим, что для всех значений й ~ О имеют место равенства (9) Мы видим, что и в нестационарном случае ординарный поток без последействия является процессом Пуассона; только в этой предпосылке параметр потока Х(с) уже не будет постоянной величиной.
Легко подсчитать, что функция Л(го Ф) равна среднему числу требований потока, поступивших за промежуток (1а, 2). 4. Мгновенная интенсивность потока. Математическое ожидание числа требований, поступивших за период (г„а), равно р (1„2) = ,'"„ йр„(1, г) = Л (Т„С). о-о Средняя интенсивность потока за промежуток (Фа, 1) равна с р (с„с) о' ))()1 — с — с о 92 Гл, г. изучение ВхОдящеГО потокА тРеБОВАний Если мгновенный параметр Л(г) в промежутке (То, Ф) постоянен: т.(г)=Х, то и средняя интенсивность в этом промежутке постоянна и равна А.
Определим мгновеннуи интенсивность потока р(4о) как предел и(со) = 11ш —" Р (го г) г-оо о о В силу известных свойств определенного интеграла в точках непрерывности функции 2(г) имеем р (го) =1гш 2 (г) "з = т'(го) г ог ~оа о 'Таким образом, мгновенная интенсивность ординарного потока без последействия совпадает с мгновенным значением параметра, В частном случае этот результат мы получили в $11; тогда дополнительно мы предполагали, что поток обладает и стационарностью. Если относительно ) (8) предполагать только суммируемость, то, как иавестно из теории интеграла Лебега, последний результат имеет место почти всюду.
Сделаем еще два замечания. Иэ определения функции Л(г„о) следует, что если го ( т ( с, то Л(сн Ф)=Л(с„т)+Л(т, г). Веа всякого изменения вычислительной стороны дела можно обобщить теорему, доказанную в и. 7 з 1.1. В условиях настоящего параграфа имеет место следующий результат. Если известно, что в отрезок времени (8„г) попали и требований ординарного потока без последействия, то кагкдое из требований располагается в атом отрезке независимо от о'стальных и вероятность того, что оно попадет в отрезок (а, Ь) (То<а' л (а, ь) (Ь(о), равна Л(г о' 5.
Примеры, Зачастую потоки имеют ярко выраженную периодичность. К таким потокам относятся, например, потоки вызовов:на телефонную станцию, потоки грузовых судов, потоки вызовов в станции скорой помощи и т. д. В первом случае существенна периодичность в течение суток, во втором — годичная, в третьем — суточная и на протяжении недели. Поток покупателей в магазинах тоже носит четко выраженный периодический характер. Учет этой особенности потоков представляет большое практическое значение, так как позволяет своевременно принять меры для рационального обслуживания требований.
Пусть для примера 2 (8) = 2т, зш' ао = т. (1 — соз 2ас) . 5 2.2. ПРОСТЕЙШИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК Средняя интенсивность потока аа промежуток времени (2„2), как легко подсчитать, равна е!и а(( — (,) )г(зо 2) = Л 1 — о соз а (2 + 2о) ° о) В рассмотренном примере средняя интенсивность с возрастанием промежутка времени до бесконечности стремится к постоянному значению ). Этот вывод сохраняет силу для любых периодических функций Х(2).
В качестве второго примера рассмотрим параметр Х(2), стремящийся с ростом Т к постоянному значению Х, С такого рода потоками приходится встречаться достаточно часто. Заметим, что для таких потоков сохраняют все выводы, сделанные в гл. 1. Само собой разумеется, что изучение задач теории массового обслуживапия для общих простейших нестационарных потоков приводит к значительным апалктическим трудностям. В то же время составление систем дифференциальных уравнений, с которыми мы познакомились в гл. 1, может быть проведено без всякого труда и для произвольного простейшего нестационарного потока. А(ы предоставляем читателю возможность убедиться в этом самостоятельно. б. Общая форма потоков Пуассона без последействия.
Естественно спросить себя теперь об общей форме всех потоков Пуассона без последействил. Сводятся лн они к простейшим нестациопарным потокам? Интуитивно ясно, что нет, поскольку для такого типа потоков функция Л(Г)=Л(0, 2) абсолютно непрерывна (как интеграл от некоторой функции). Естественно ожидать, что произвольный пуассоновский поток без последейстзня доля(ен иметь следующую оощую форму. Пусть Л(1) — некоторая неубывающая функция от 2 (Л(()=0 при о<0). Вероятность появления к (й ~ О) требований в промежутке времени а ( г ( р вычисляется по формуле д1 (л (б) — л (а)) е-(А(ю-л(а>) рл(с( к) = ь( Строепие пуассонозских потоков без последействия было выяснено А.
Я. Хянчиным (1). Мы ограничимся здесь только формулировкой получепного нм результата. Обозначим точки разрыва функции Л(Т) буквами То Эти моменты играют в дальнейшем существенную роль. Поток называется сингулярные( пуассоновскил(, если он обладает следующими свойствами: 1. События потока могут наступать только в заранее определенные моменты времени й (1=1, 2, ...), а числа событий, паступающих в различные моменты Г;, являются взаимно независимыми случайными величинами. 94 ГЛ. 2.
ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕВОВАНИН 2. Вероятность наступления я событий в момент й равна о с "' — ' (а;)О, А=О,(,2, ...), 3. Ряд с(Г) = ~ ао осй<о сходится при любом г)0. Легко подсчитать, что производящая функция этого потока имеет вид Г(х; а, р) = ехр [с(р)- с(а))(х — 4). По заданной функции Л(г) определим точки ее разрыва го го, ..., величины скачков а,=Л(8~+0) — Л(Го — О) и функции с(г) ~ч~~ аб Ло(г) = Л(г) — с(Г). осг~(о Функция Л1(о) непрерывна при всех значениях й Построим случайный процесс с производящей функцией Ф1(х; а, р)= ехр [Ло(р) — Л,(а))(х — 1).
Этот процесс является пуассоновским без последсйствия. Он ордннарен в том смысле, что прн любых г> 0 и з) 0 найдется такое 6~0, что для 0< а< у<а+6 < с имеет место неравенство л,(а, ~)<ен,(а, р). Такие процессы Хинчин назвал регулярными. Мы видим, что любой пуассоновский процесс без последействия представляет собой сумму двух независимых потоков без последействия, из которых один пуассоновский регулярный, а другой — пуассоновский сингулярный.
Как показал Л. Я. Хинчин, вто свойство является характеристическим. Приведем способ получения нестационарного потока Пуассона нз стационарного простейшего потока с помощью замены времени. Пусть вначале Л(г) — строго возрастающая непрерывная функция. Свяжем переменную о с переменной г соотношениями а= Л(г), г =Л '(г) и рассмотрим в г-времени простейший поток (г.) с параметром $. Тогда, как легко показать, поток (оо), где Г. = Л '(г„),— поток Пуассона с математическим ожиданием Л(~) числа событий в интервале (О, ~). Этот же вывод сохраняется и для произвольной неубывающей функции Л(~), если положить зпр (и Л(8) < г„). 3 З.З. СВОЙСТВО СТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКОВ 95 Иестационарныи простейший поток появляется во многих схеах, связанных со случайным блужданием.
Так, в статье Гергея и Ежова [1) замечено, что если ($.) — независимые случайные Величины с функцией распределения 1 — ехр ( — Л(~)), где Л(()— непрерывная функция, то множество значений $„, каждое из которых больше чем $о ..., $„о образует поток указанного вида с ведущей функцией Л(1). 7. Система с бесконечным числом приборов. Используя свойства простейшего потока, можно изучить характеристики системы обслуживания с бесконечным числом приборов при общей функции распределения В(х) длительности обслуживания требования.
Пусть т(г) — число требований в системе в момент 8, тг(С)— аналогичная величина в случае, если п = йТ требований появляются независимо в моменты времени, равномерно распределенные в интервале (О, Т), где Ъ,Т вЂ” целое число. Мы видим, что тг(г) — число успехов в и независимых испытаниях с вероятностью успеха р 1 1В()„ о (здесь йх(Т есть вероятность поступления требования в интервале (1 — х — дх, г — х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
