1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Еще более существенное значение приведенная постановка аадачи имеет для технических, технико-экономических и военных целей. В одной нз статей американского исследователя Баррера Щ отмечается, что «атакующий самолет, обслуживаемый зенитными или управляемыми снарядами, пригоден для обслуживания только ограниченное время». Естественно, что основными характеристиками качества обслуживания в рассматриваемой задаче будут среднее число потерь (или, что то же самое, вероятность потери), а также средняя длительность ожидания начала обслуживания теми требованиями, которые начинают обслуживаться.
В настоящем параграфе мы изучим как случай Баррера (т = сопзз), так и другой случай, представляющий реальный интеРес: т является случайной величиной с распределением 6(х)= Р(т сх) = т — е '". 2 Сту айный процесс, Описывающ й состояние си е при сонэ~. Метод случайных процессов гибели и размножения, которым мы до сих пор пользовались, уяге неприменим в рассматРиваемой задаче. Действительно, в случае т=сопз1 число требований, находящихся в системе в данный момент, уже не являетси Даже марковским процессом. В самом деле, если известно, что 70 гл. ь ВАдАчи теОРии мАссОВОГО ОвслужиВАния в момент времени ! в системе обслуживания находится й требований, то состояние в момент времени г+ й при любом В=.О зависит не только от Й и ~, но и от того, как долго ждут требования, поступившие до момента Т.
При изложении мы воспользуемся методом, предложенным И. Н. Иоваленко 111, поскольку метод Баррера в математическом отношении нсбезупречен. Впрочем, результаты, полученные Баррсром, верны. Случайный процесс, с которым нам придется иметь дело, будет более сложной структуры. Рассмотрим т-мерный случайный процесс е(г) = (е!(!), ..., $„(1)), где е!(Г) означает время, которое должно протечь от момента ~ до освобождения прибора с номером ! от обслуживания требований, поступивших ранее й Если в момент Т прибор с номером ! свободен и в системе нет требований, он!идающнх обслуживания, то з!(Г)=0. Вектор $(~) со временем изменяется следующим образом: все компоненты, отличные от пуля, уменьшаются на длину промежутка времени, протекшего с момента 1, если только не появилось новое требование или же какая-либо из указанных разностей пе стала меньше нуля. Если же в момент !! ) ~ какая-нибудь равность обратилась в О, то з(~,) = О.
Рассмотрим теперь, что происходит с вектором з(~) в момент г, если в этот момент поступило первое после ~ требование. В предыдущем абзаце мы определили вектор $(~) для всех значений аргумента до г включительно. Определим теперь $(а + 0). С отой целью рассмотрим величину ь(~) = шгп$!(~). Если ~(г — О)= О, ! то поступившее требование начинает немедленно обслуживаться свободным прибором (при наличии нескольких свободных приборов обслуживающий прибор выбирается из их среды наудачу).
Соответствующее $! от значения О при а — О возрастает до величины, равной длительности обслуживания вновь поступившего требования при г+ О. Если же !,(г — О) Ф О, то нужно рассмотреть два случая: ь(г — 0)>т и ь(г — 0)~ т. В первом случае появление нового требования никак не сказывается на векторе $(г+ О), так как оно покинет систему, не дождавшись начала обслуживания. Во втором случае та компонента, для которой з,(а — 0)= ь(а — 0), увеличивается на длительность обслуживания вновь поступившего требования.
Пусть длительность обслуживания требования, поступившего в момент а, равна ц, тогда все три только что рассмотренных случая могут быть .объединены формулой $;(з+ 0) = $!(г — О)+ — (1+ в!Ип(т — !(г — 0)ЦВ. (1) В самом деле, если ~(г — 0)=О или же 0(~(г — 0)(т, то з!яп(т — !.)= 1 и $, увеличивается на ц. Если же !,(г — О)) т, то з(бп(т — ь(г — О))=-1 и согласно (1) величина скачка равна 0 з !л. системА с ОРРАничениым ВРеменем ОжидАния Чтобы составить общее представление о процессе, составим себе графическое представление об одной из его компонент.
Пусть это будет компонента $»(»). Требование, поступившее в момент д выбирает прибор с номером» только тогда, когда $»(» — 0) = ш»п$А(8 — 0). и ПУсть на»ьй пРибоР тРебованиЯ постУпают в моменты»»» С»з, ...и а необходимые для их обслуживания длительности времени равны соответственно ц;,, т»»,,... Пусть для определенности в момент»=0 прибор с номером» был свободен. Функция з»(») до момента»11 равна О, в момент»», она испытала скачок, равный »),, далее, она убывает на для-у1 тельность протекшего промежутка времени до тех пор, пока эта равность положительна, или же до очередного момента поступления требования. Если ~ р'.
-1~с в момент поступления нового 1~ требования з»(») была меньше, чем т, то в этот момент она»» г, г, » возрастает скачком на соответствующую величину»). Если Рис, 1 же $,(») болыпе т, то поступившее в этот момент требование теряется, получает отказ. На рис. 1 дан набросок одной реализации процесса $ (1). В точках»»1, »», »», »1, поступили требования на обслуживание. Из них второе требование было потеряно, поскольку в момент его поступления З»(1)) т и,.
значит, длительность ожидания начала обсчуживания для него больше т. Из приведенного описания видим, что состояние процесса ф(») в момент з)» полностью определяется его состоянием в момонт й Таким образом, процесс $(1) является марковским. 3. Система интегро-дифференциальных уравнений задачи. рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений при л» 2. В этом случае уже ясен общий принцип вывода уравнений и в то же время значительно упрощается символика. Уравнения для проиавольного л» выведены в статье И. Н. Коваленко (3). Предположим, что распределение щюцесса не зависит от г, и обозначим Р Р(т(О) 0), Р (х) = Р(т(0) = 1, $1(О)(х), Р,(х, у) = Р (и (О) = 2, $1(0) < х, $» (0) < у)» где т(») — число аанятых приборов в момент 8.
Функцию Р,(х, у) удем считать симметричной: это законно, если при поступлении ?2 ГЛ. Ь ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОВСЛУЖИВАНИЯ требования в состоянии ч(г)=1 нумерацию переменных $и $, выбирать случайным образом. Кроме того, предположим, что Р(х<Ц(О)<х+ Ь)<сй Р(х<~,(0) < + Ь, р<й,(0)< р+ Ь)<сй для всех х > О, р Ри О. В силу предыдущего выполняются равенства Р, Р(Р(й) 0) (1 — Лй) [з(т(О) = О) + + Р(т(О) 1,$,(0)<Ь) + о(й); Р (х) Р(Р(Ь) -1,5~(й) <х) = = (1 — Лй) Р (т (О) - 1, Ь < $, (0) < х + Ь) + + 2Р(Р(0) 2,$,(О) <х+ Ь,$»(О) <Ь~+ + ЛЬР(ч(О) = О,ц<х+ Ой)+ о(Ь) = (1 — Лй) [Р1(х+ Ь) — Рх(ЬЦ+ 2Р»(х+ Ьхй) + + ЛЬл (х + Ой) + о (Ь); Р, (х, р) Р (ч (Ь) 2, 4 (Ь) < х, $, (Ь) < у) (1 — ЛЬ) Р (т (0) 2, Ь < $1(0) < х + Ь, Ь < $» (0) < р + Ь) + + ЛЬ [Р (Р (0) 2, $ (О) < $»(0) < у, 5, (0) < т, 4»(О) + т[< х) + + Р (ч (О) = 2, $» (О) «$,(0) < х, $» (О) < т, $» (О) + т[ < р) + + ФЛЬ[['(Р(О) -1,%1(0) <х, Ч<У+В)+ + Р ( (О) = 1, й,(О) «= р, ц «- + Е)[ + +ЛЬР(ч(0) 2,т<$,(0)к х,тс $,(0)<р)[+ о(й)— = (1 — Лй) [Р, (х + Ь, р + Ь) — Р, (Ь, у) — Р» (хи Ь) [ + -[- ЛЬ~ ~ ~ (1 — е ы" "')йР»(и, Р)+ ~ ~ (1 — е "~" "')ИР»(ихи)[+ ~ и<и<В и<и<и и<и и<и + — ЛЬ~Р,(х)(1 — е "") + Рд(у)(1 — е ")1+ [- ЛЬ ~ ~ ИР»(и,о)+ о(Ь), х<и<х и<и <Р При аапнси зтих соотношений, исходя из ограниченности плотности, мы пренебрегли вероятностями различных «уголков» типа ($, (0) < Ь, Ех(0) < Ь) или [х < $, (0) < х+ й) в случае поступле.
ния требования за время Ь. Обычным методом получаем систему интегро-дифференциальных уравнений ЛР, = Р„'(О); Ф дР»(х, Р) [ Р,(х) — Рг(0) — ЛР,(х)+ 2 — '' ~ + ЛР,(1 — е ~).=0; д 1л. системА с ОРРАниченным ЕРеменем ОжидАния 73 (- -) ° дг дР (х,д)! дР (х,д)~ д +-) Р,(х,у) — — '~ — ' ' ! — ЛР (х,у)+ дх дд! + Л ~~ (1 — е "! и')йр,(и, Р)+Л ~~ (1 — е "(" !)йРо(и,о)+ и(ю о и(о(х и(хЛо и<О ЛО + — г(Р1(х) (1 — е "") + Р (у) (1 — е "")11 — 0 !д д1 где аД 6=ш(п(а,о).
(Строго говоря, (д + р-) Р, есть лиш 1и-1 Х ро ртЛе ао!" о! — т(о — + — прн Л -ь тпо х! т! Л вЂ” т(о о=о Х т" тт — + — (1+ Лт) при Л ш(о, д! т! ( о=о 4, Различные характеристики обслуживания. Для рассматриваемой системы особый интерес представляет интенсивность потока отказов, т.
е. среднее число отказов в единицу времени. Обозначив зту величину через Л„ получим "о = ЛР($1) т,1(1(ло) = ОО Ф =Л~...~р (х,... х )йх ...йхт Ро — с (одт+1 -пя и — и! П1! та формула была получена Баррером. ь Пш — [Ро (х + Йе У + а) Р1 (х| УИ. о ь Данной системе удовлетворяет решение (Ре, Ро Р,), где Р,(х) = — Р,(1 — е "*), (1 ., +о1+11еЛиде, яи йо, о сй(х что провернется прямой подстановкой.
При произвольном т > 1 стационарное решение имеет вид Ро(хгф ..., хо) = РоухП (1 — е ), 0(~у~ (лов 1=1 Р„(х,...,х )= Лт Г ( -П(и +...+ит)+Хт1п(чиг,...,ит) „ аи1... йито т! асио(хо 1хоит где р =Лl(г. Постоянная Р, определяется формулой 74 гл. ь задачи твовии млссового овсллживлния Не представляет труда найти распределение длительности ожидания в установившемся процессе. Прежде всего ясно, что ожидание равно О, если свободен хотя бы один прибор. Вероятность этого равна Фй-1 Р(7 = О) = Рз ~ ~, а. а=о Из условий задачи ясно, что Р(у~т) = О. Вероятность того, что ожидание продлится время х, равна Р(у т) Р($;>т,1(1(т) = Ре~~ е зк Далее, при 0(х( т Р(у(х) а+ Р(ш)псы ...,$ )<х). Вычисление кратных интегралов приводит при 0(х <т к ра- венствам: ыр )со 1 — а щ~ с)" а + — при Х~трх щи~+1 а + — Р,рх т! при ) = т)г.
Отсюда уже просто получаем среднее время ожидания начал» обслуживания Р р ~я~ — е ~ ~ ~) (га)с + Лт (ые — Х)) при Х~тр, Му тР 1+ ы / ьт) о~ при Х= тп, 5, Распределение величины очереди. Пусть ч(1) — число требований в системе в момент 1. Тогда ч(1) ие есть марковский процесс. Чтобы построить марковский процесс, нужно ввести дополнительные компоненты: если т(1) = т+ 1с, обозначим Ц(1) время, прошедшее с момента вступления в систему требования, занимающего у-е место в очереди.
Тогда многомерный процесс ~(1)= =(ч(1); ф,(1), ..., $,(1)) будет марковским. Этот процесс исследовал Л. Н. Палаев Щ*). Стационарное распределение процесса а) В упомянутой работе изучена более общая схема: нараметр входящего потока зависит ст числа требований в системе, а параметр ебслувсз ваивн свой у каждого прибора; занятие свобсвлых приборов равновероятно.
ф 1л, системА с ОГРАниченньгм ВРеменем ОжидАния 75 б(7) описывается функциями рь Р(Т(1) =Ц и р .„„(х„..., хь) Эх, ... дхе = =Р~ (г) =ш+й; х,<$,(с)~хг+ (,,(~(<й~. д, П. Поляев заметил, что при известных значениях Р(1) = й) лз и з,(г) распределение случайного вектора (се(е), ..., Це (Ф)) может быть вычислено из вероятностных соображений. Действительно, требования, занимающие в очереди 2-е, ..., (е — т)-е место, поступили в интервале (1 — $,(1), 1) н до момента 1' не оказывалн влияния на процесс. обслуживания.
Это остроумное замечание позволило сразу перейти от многомерного марковского процесса к процессу (т(Г), $,(1)), что, в свою очередь, привело к решению уравнений в явном виде. Приведем конечный результат: р,=рер17Ы, О<й~т; тЬА т е 'гг -1 т е 1-1 -таЕ Р,„+„= — 11 (тР. + с;), се и! ее 1е та" Ух Этот реаультат ранее был получен Баррером (21 звристическим методом. б. Длительность ожидания ограничена случайной величиной. Перейдем теперь к несколько измененной постановке задачи и предположим, что требование, попавшее в систему и ааставшее все приборы в аанятом состоянии, ожидает, но длительность ожидания ограничена случайной величиной с, распределение которой 6(х) = Р(т(х~ = 1 — е "".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
