1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Е,(1+ Ц) =о(й). В Ь4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОЦЕССА ГПВЕЛИ Таким образом, в исследуемом процессе гибели и размножения )„1 =А,, р, =т и да =О; все остальные Ла и ра равны О. Ураза кения (1) (2) ь' 1.3 длн рассматриваемой задачи принимают следующий внд: Ро(а) = )аРа(а) + т~ 1(а)а Р, (1) = — () + т1 Р, (1) + ХРа (1), Р.'Я =)Р1(~). Иачальные условия задачи: Р,(О) = 1, Р,(О) = О, Р,(О) = О, Подстановка Р,(а) из второго уравнения системы в первое приводит к такому уравнению относительно Ра(1)1 Р, (1) + (2) + т) Р, (1) + ),зР1 (~) = О. Его решение, удовлетворяющее начальному условию, имеет Вид а/ аа 1 Теперь находим,что .,д с. (--:) ~(;,.
а'а а",~,р'-"-', +~~ )т(- — — — )е 4 Искомая вероятность безотказной работы дублированной системы, как легко видеть, равна тт(1) = Р,(1) + Р, (~) = а 1 (' ') ( а — 1'44 а 'а а" ! — 1 аа, а )а 44л+ т~ При т = О получаем систему без восстановления. Как следует из последнего равенства, в этом частном случае Л (1) = е 1' (1 + И) . Поннтно, что тот же результат можно получить и из формул, найденных нами в и.
4 з 1.3. Гл. 1. 3АдАчи теогпи мАссОВОГО ОвслужпВАнпя 56 Средняя длительность безотказной работы дублированной системы равна Э 2Л-т-т 2 Л' Л Ло ' о Первое слагаемое в этой сумме представляет собой среднюю длительность безотказной работы дублированной системы в случае, когда нет восстановления. Второе слагаемое представляет собой добавок к длительности безотказной работы, который дает восстановление. Чем больше т, т.
е. выше интенсивность восстановления, тем значительнее эффект от восстановления. Обычно т значительно больше, чем Л, т. е. восстановление протекает быстрее, чем заканчивается период безотказной работы, тем самым эффективность от восстановления бывает велика. 7. Дублирование с восстановлением (нагруженный резерв)', Перейдем к рассмотрению важного частного случая дублирования, в котором резервный элемент находится в том же состоянии, что н рабочий. Остальные условия таковы же, как и в п. 6. Для этой задачи мы должны в уравнениях гибели и размножения положить Л, = 2Л, Л~ = Л, Ло = О, р~ = т, ро = О.
Уравнения гибели и размножения, следовательно, принимают такой вид: Ро(1) = 2Л~ о(о) + РР1(2)~ Р (1) (Л + т) Р (1) + 2ЛР (1). Обычная вычислительная процедура приводит нас к такому РЕП1ЕНИЮ: 1 )1 — )ГЛо+6Л + 7 Л +6ЛР+т Ро(1)=е " - 'СЬ вЂ” 1/Ло+6ЛР+то+ + " "" э~ 1 ~/Ло+6Лм+»о . У Л +6ЛР+о' Таким образом, вероятность безотказной работы системы равна Л(1) = е ' сй — )/Ло+ 6ЛР+ Ро+ + э)1 ' ')1 Ло + 6ЛР + то . )1 Ло+62 + о 2 57 о 1.4. ИСПОЛЬЗОВАНПЕ ПРОЦЕССА ГПВЕЛП В частном случае отсутствия восстановления находим, что Л(о)=2е "— е "' 3 т Средняя длительность безотказной работы равна — + —.
Вто2Л~ рое слагаемое оценивает эффект восстановления. В случае нагруженного резерва эффект от восстановления в два раза меньше, чем в случае резерва ненагруженного. 8. Дублирование с восстановлением (облегченный резерв). Оба случая резервирования можно объединить, рассмотрев облегченное резервирование, при котором резервное устройство может отказывать с какой-то интенсивностью Л,. Если принять, что Л, = О, то получим случай ненагруженного резерва; если же выбрать Л, то приходим к нагруженному резерву. Для рассматриваемой задачи в уравнениях гибели и размножения мы должны положить Л,=Л+Л„Л,=Л, Л,=О, р,=т, ц,=О.
Дифференциальные уравнения задачи имеют такой вид: Ро(о) = (Л+ Л1) Ро(1) + тР1(1) Р1(1) = — (Л+ т) Р,(1) + (Л+ Л ) Р (1). В результате решения этой системы уравнений находим, что вероятность безотказной работы резервированной системы равна 1,+о 1 о1О- (ь ' ~ [ о~Ух~,'-2 1214-ЕО~-Ф+ + зЬ вЂ” Г Л, + 2т (2Л + Л1) + то . -Л+Л + Ухо+ Ет (2Л+ Х ) + то Несложные подсчеты дают для средней длительности резервированной системы формулу 2Л+Л +т В(й) 1И = Л(Л,+ А) ' Все формулы, полученные в пп. 6 и 7, являются частнымп случаями только что выписанных. Заметим, что задачи, рассмотренные нами в пп.
6 — 8, могут быть обобщены на случай произвольного числа рабочих и резервных устройств. Решение такой обобщенной задачи в условиях схемы гибели и размножения приводит не к принципиальным, а ли1пь к техническим трудностям. 58 гл. е 3АдАчи теОРии ИАссового ОвслужпвАнпя $ 1.5. Приоритетное обслуживание 1. Постановка задачи. Имеется. большое число реальных ситуаций, когда з потоке требований могут содержаться требования нескольких типов, причем требования первого типа обслуживаются вне всякой очереди, если только в очереди нет требований того же типа. По отношению к требованиям третьего и следующего типов правом преимущества пользуются требования второго типа и т. д. В.качестве хорошо известного примера приведем обслуживание на телеграфе: срочные телеграммы передаются раньше обыкновенных даже в том случае, когда простые телеграммы сданы ранее срочных.
В прошлом телеграммы были трех типов: молнии, срочные и простые. Каждый из названных типов телеграмм пользовался преимуществом по сравнению с последующими. Точно так «ке междугородный разговор пользуется столь большим преимуществом по сравнению с разговором внутригородским, что начало междугородного разговора прекращает разговор между двумя абонентами, находящимися в одном и том же городе. Возникающие перед исследователем задачи при изучении обслуживания нескольких потоков весьма раанообразны. Действительно, по-разному решаются задачи, если требование первого типа застает все приборы занятыми, в различных реальных условиях. Во-первых, изучались такие системы обслуживания, в которых требование старшего ранга не прерывает уже начатых обслуживаний (английский термин — Ьеаб о1 1Ье 11пе), но становится впереди всех требований, низших рангом.
Во-вторых, изучались системы, которые прерывают обслуживание требований низших рангов (английский термин — ргеешр11УО рг1ог11у). Вторая схема в свою очередь подразделяется на две категории: в первой пз них при возобновлении обслуживания прерванного требования учитывается время, ранее затраченное на его обслуживание (ргеешр11уе гезшпе), во второй (ргеетрйуе гереаЬ) зто время теряется и обслуживание начинается сначала.
С таким положением дел приходится встречаться, например, при работе вычислительных машин, когда одни отказы только прерывают вычисления, но не требуют после своего исправления производить ранее сделанные расчеты заново; отказы же другого типа вносят ошибку в ранее полученные вычисления и требуют проведения всех расчетов заново. Естественно, что для обслуживания нескольких потоков приходится рассматривать не только задачу обслуживания с ожиданием,но и задачу с потерями.
В последнее время в задачах телефонного обслуживания появилась необходимостг рассмотрения такой задачи. "на систему приборов поступают два потока, из которых преимущественный поток обслуживается по схеме систем с потерями, а поток без преимущества — по схеме систем с ожи- з ь5. пгкогнтетное овслюкнВАппя данием.
Понятно, что все ранее рассмотренные нами постановки задач могут быть перенесены на случай потока; состоящего пз требований различной срочности. Мы не станем перечислять все мыслимые постановки вопросов и разного типа характеристики эффективности обслуживания требований, принадлежащих разным типам. В настоящем параграфе мы затронем лишь некоторые постановки задач, стремясь в первую очередь только к демонстрации подходя к их решению в рассматриваемых нами простейших условиях. Аналогичные задачи в более общих предпосылках будут рассмотрены позднее. Тогда же будут даны и краткие библиографические указания. 2. Задача с потерями.
Остановимся на следующей аадаче: па т одинаковых приборов поступают два независимых простейших потока требований с параметрами Л~ и Л,. Каждое требование, поступившее в момент, когда свободно хотя бы одно обслуживающее устройство, начинает обслуживаться немедленно. Если требование первого тапа поступает в систему в тот момент, когда все приборы заняты, но часть из них обслуживает требование второго типа, то один из этих приборов немедленно переключается на обслуживание вновь пришедшего требования высокого ранга, а обслуживавшееся ии ранее требование второго потока теряется, оставшись недообслуженным. Таким образом, требования второго типа могут теряться не только тогда, когда все приборы заняты, но и тогда, когда в момент обслуживания требования второго типа все приборы заняты и появилось требование первого потока.
Требования первого типа также могут получить отказ, но только в том случае, когда все приборы заняты обслуживанием требований этого же типа. Предположим, что требование первого типа для своего обслуживания нуждается во времени, распределенном по показательному закону с параметром р,. Время обслуживания требований втоРого типа также распределено показательно, но с параметром к,. До начала формального решения ясно, что первый поток обслуживается так, словно второго потока вовсе не существует. Это замечание позволяет нам получить до всяких вычислений вероятность потери требования первого типа.
Она равна р~ Л1 "-'1 ~),' р ,вам ~ ! г= О Известно, что если на обслуживание поступают два независимых пРостейших потока с паРаметРами Л~ и Лп то общий поток будет также простейшим с параметром Л~ + Л~. Действительно, вероятность того, что за промежуток времени длительности Г по- ГЛ. К ЗАДАЧИ 'ГКОРИИ МАССОВОГО ОБСЛРЯ1ИВАН11Я ступит й каких-то требований, может быть представлена по формуле полной вероятности как сумма произведений вероятностей того, что за этот проможуток времени поступят з требований первого типа и А — з требований второго типа по всем возможным значениям г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
