1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определение функции распределения длительности ожидания. Если в момент поступления требования в очереди уже находились й — т требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены й — т+1 требований. Пусть д,(г) означает вероятность того, что за промежуток времени длительности 1 после поступления интересующего нас требования закончилось обслуживание ровно г требований. Ясно, что при й ) т имеет место равенство а-ю )з, (у > ~) = ~~ гь (т) превзойдет 1, и через Рь(у) 1) вероятность неравенства, укааанного в скобке, при условии, что в момент поступления требования, для которого мы подсчитываем длительность ожидания, в очереди уже находится й требований.
В силу формулы полной вероятности имеем равенство Р (у ) 1) = ~~ Р Р„(7 ) 1). ь=иь 6 од, овслгживхнив с ожпдхннвм Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не эависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время г не эавершить ни одного обсдуя1ивавня (т.
е. вероятность того, что не освободится ни один иэ приборов) равна д,(~)= е Если все приборы наняты обслуоьиванием и еще имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим. Действительно, в атом случае все три условия — стационарность, отсутствие последействия и ординарность — выполнены. Вероятность освобождения за промежуток времени в ровно г приборов равна (это можно покаэать и простым подсчетом) д. (г) = е (пе)е) Итак, ь — т Ро(у> г) = ~~~~ е т"' —, (т)е)е и, следовательно, Р(у> ~) =Р с--ж ~ ( — '~ чу' — ''"', =~к е=о Но вероятности Ре известны." поэтому ь-т Р(у > е) = Р с н ~~~ ~ О ) ~)~~ ( ) ) ь=т е=о Очевидными преобраэованиями приводим правую часть последнего равенства к виду Р(у > Г) = Рте тке ~ — ~' ( — ) е=-о к= +е Р е-пж„7,— .=о '"" о= +е Р е — еелк — ' =- — е ~ ' еее) "' — те-ь е е| е=о 1— т 3 В.
В. Гнененка, П. н, кононенко 34 ГЛ С ЗАДАЧИ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОВСЛУИОЛВАИИЯ Из формул (13) и (19) следует, что Р, = л (1 — ~ ), поэтому при г'> О Р (у > г) = яс-< з-ьв, (22) Само собой разумеется, что при г ( 0 Р (у > () = 1. Функция Р(у > Г) имеет в точке Г= О разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми. 7. Средняя длительность ожидания. Формула (22) позволяет находить все интересующие нас числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания пли, как предпочитают говорить, средняя длительность оясидания равна а = Му = — ~ Г дР (у > г) = л ~ ( (т(А — Х) е ~"'э '"" гй. о О Несложные вычисления приводят к формуле а= в (ГА — Р) (23) Дисперсия величины 7 равна Пу=М) — (Му) =, л (2 — з) в (т — р) Формула (23) дает среднюю длительность ожидания одного требования.
Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени Т. За время Т в систему поступает ХТ требований в среднем; общая потеря ими времени на ожидание в среднем равна аАТ = в)"т вот в (т — р) ю — р' (24) аА = —. Р 1 — р' При р=0,1; 0,3; 0,5; 0,9 значение а) приблизительно равно 0,011; 0,267; 0,500; 1,633; 8,100. Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени на ожидание с изменением величины р. При этом мы ограничиваемся случаем Т = 1 и рассматриваем лишь самые малые значения вм т = 1 и гв = 2. Прп вз = 1 в силу (20) з ьз.
ОвслужиВАннв с ожидьннкм 35 При т = 2 в силу ~21) з аХ = —. 4 — р 2 При р 0,1; 1,0; 1,5; 1,9 значение аХ приблизительно равно 0,0003; 0,333; 1,350; 17,587. Приведенные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при атом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания. Этот факт обязательно следует учитывать при расчете загрузки оборудования в системах массового обслуживания.
8. Пример. Мы приведем теперь небольшой пример использования полученных результатов. Этот пример носит схематический характер, однако не составляет трудностей доведение его до реальных расчетов. При проектировании морского порта можно; либо 1) строить два порта и в каждом из вих устроить по одному причалу и приписать к каждому из этих портов одинаковое число судов; либо 2) построить один порт с двумя причалами; либо, наконец, 3) построить один порт с одним причалом и все механизмы для погрузки и выгрузки сосредоточить в этом порту.
Какой из предложенных проектов следует призвать оптимальныи с точки зрения минимизации потерь времени на ожидание погрузочно-разгрузочных операций? Обработка реальных данных по ряду портов показала, что гипотезу простейшего потока приходящих в порт судов, так же как гипотезу показательного распределения длительности погрузочно-разгрузочных операций, в первом приближении, можно принять с достаточной точностью (Б. В. Гнеденко, М. Н. Зубков Щ).
Таблица 1 Пусть интенсивность всего потока судов равна 2Х, тогда по первому проекту в каждый из двух портов поступают потоки интенсивности Х; по второму и третьему проектам в порты поступают потоки интенсивности 2Х, Если параметр, характеризугощий скорость разгрузки по первому и второму проектам, Равен )г, то по третьему проекту он равен 2)4.
Зь гл. ь 3АдАчи тяогии млссового овслуживхния В табл. 1 мы сводим результаты расчетов. В качестве параметра выбрано отношение р Х/р. Варианты 1 — 3 указаны в соответствующих строках таблицы — 1, П, Ш, в которых указаны средние потери времени всеми судами, пришедшими за единицу времени. Сравнение показывает, что первый вариант неудачный, а второй — самый удачный. Сравнение второго и третьего вариантов следует продолх<ить дальше, поскольку нужно учитывать затраты на строительство. з 1,3.
Процессы гибели и размножения 1. Определение. Все рассмотренные выше задачи привели к поразительно близким системам дифференциальных уравнений, и методы получения этих уравнений были почти одвнаковы. Естественно возникает мысль о том, что мы рассмотрели два частных случая одной общей теории. Действительно, в теории вероятностей известен класс случайных процессов марковского типа, в который укладываются как только что изученные задачи, так и множество других. Этот класс процессов начали изучать в связи с биологическими постановками вопросов о численности популяций, распространения эпидемий и т. п.
Это обстоятельство привело к тому, что процессы, о которых речь пойдет дальше, получили наименование процессов гибели и размножения. Поскольку математическая схема, изучаемая в них, носит достаточно общий характер, процессы гибели и размножения получили широкое применение во многих прикладных вопросах, по своему физическому характеру очень далеких от биологических. В частности, многие задачи теории надежности, например теории резервирования, часто рассматривают с поаиции этого типа процессов. Представим себе, что интересующая нас система в какгдый момент времени может находиться в одном из состояний Е„ Е„Е„..., множество которых конечно или счетно. В силу ряда причин состояния системы со временем изменяютсл, причем за промежуток времени длительности Й система из состояния Е„в момент времени 1 с вероятностью ).„я+о(й) переходит в состояние Е„э, и с вероятностью р„й+ о(й) — в состояние Š—,.
Вероятности того, что за промежуток времени (Г, 1+й) система перейдет в состояние Е„э„или в состояние Е„-ь при й - 1, бесконечно малы по сравнению с й. Отсюда, в частности, следует, что вероятность аа тот же промежуток времеви остаться в состоянии Е„равна 1 — Х„й — р„6+о(Ь). Постоянные Х н р„предполагаем зависящими от и, но не зависящими от г и от того, каким путем система пришла в зто состояние. Теорию, которая будет здесь изложена, можно, впрочем, распространить и на тот случай, когда Х, и р„зависят также от Я 1.З.
ПРОЦЕССЫ ГИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕЕП1Я 37 Случайные процессы только что описаипого типа и являются как раз нроссессами гибели и размножения. Если под Е„ понимать событие, состоящее в том, что численность популяции равна и, то переход Е„- Е„в, озиачаст, что численность популяции увеличилась иа едиксщу. Точно так же на переход Е -Е„, следует смотреть как иа гибель одиого члена популяции. Если при любом п> 1 имегот место равекства у. =О, т.
е. если возможны только переходы Е, — Е с ь то процесс вазывается иродегсом размножения (чистого размножепия). Если же все Х = О (и=О, 1, 2, ...), т. е, переходы Е„- Е„в, иевоаможяы, то процесс иазывается процессом гибели. Процесс, рассмотренный в $1 1, представляет собой процесс размпожеиия; для него Х =Х при всех и~О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
