1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В свяаи с атим в последнее время их изучению уделяется большое внимание. Если до самого последнего времени под процессом (потоком) восстановления понималась лишь последовательность моментов 1„ при условии, что величины г, независимы и одинаково распределены, то теперь появился ряд рабат, в которых рассмотрен случай раанораспределенных неотрицательных величин з„как независимых, так и связанных в цепь Маркова.
Последовательность моментов Ц, образованных независимыми величинами (неотрицательными) г, с распределениями Р,(х) „ А. Я. Хинчин назвал потоком е ограниченным поеледейетвием. Стационарный ординарный поток с ограниченным последействнем он назвал потоком типа Пальма„ Терминология, предложенная А. Я. Хинчиным, широко используется в работах советских авторов. Если все Р„(х), за исключением, может быть, Р,(х), совпадают, т. е. Р,(х) = Р(х), й > 2, причем Р(+О)( д, а 2.7.
элементы теОРЕЕ восстлновлення 121 говорят, что последовательность (гд)ь-г образует процесс восстановления. Таким образом, процесс восстановления — более узкое понятие, нежели поток с ограниченным последействием. Легко понять, что для стационарных потоков восстановления функции рь(х) должны быть одинаковы при й ~ 1; для дальнейшего мы введем обозначение р(х) = Р (гь < х) = рь (х) (й = 2, 3, ...), Величина г, и тем самым функция р,(х) играют, как уже говорилось, особую роль. Позднее мы найдем связь между Р,(х) и р(х), существующую для стационарных потоков восстановления. Для теории восстановления представляет интерес случайная величина Л„ равная числу восстановлений до момента 8, т.
е. наибольшее п, для которого 2. = г, + 2, +... + 2„< й Математическое ожидание величины У, называется Функцией восстановления и обозначается символом Н(2) = Мйг~. Значительное большинство приложений теории восстановления связано с этой функцией и ее асимптотическим поведением при У -ь со, Теории восстановления посвящено болыпое число исследований. Хорошим введением в эту теорию могут служить книга Кокса (21 и статья Смита (1]. В дальнейшем, если не будет специальпо оговорено что-либо иное, будем предполагать, что в каждый момент восстановления происходит только одно событие потока. 2. Одно свойство потоков восстановления.
Для любого ординарного стационарного потока восстановления при всех г) О для и- О л„+, (и) < л„(и) о(1), где (как всегда в настоящей книге) л„(и) = ~рь(и), т. е. вероятность наступления га промежуток времени и по меньшей мере г событий потока. Доказательство. Так как событие г',+, <и всегда влечет эа собой следующее сложное событие: 2, < и и 2,+, < и, то лт+2 (и) = Р (2,+2 < и) < Р (2„< и, 2,+ < и). Отсюда в силу независимости величин 2, и г,+, находим, что л,, (и) < л„(и) р'(и) .
122 ГЛ. 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ Тан как, очевидно, для ординарного потока Г(+О)=О, то Г(и) = о(1), что и доказывает теорему. Заметим, что ве исключен елучай, когда я,(и) О при Оа, ~ и ( и;. зто имеет место в случае, когда Г(и,lт) О. Заметим, что для простейшего потока указанное свойство немедленно вытекает из формул Гд (и) = — е ьа (Ла) ь! 3. Связь с функциямн Пальма = Хннчина. Поток восстановле ния (альтернативное название — рекуррентный поток) определяется заданием функций распределения Г(х), Г,(х). Для стационарных потоков восстановления, названных А. Я.
Хинчиным потокамн типа Пальма, как мы сейчас увидим, достаточно знания одной-единственной функции Пальма — Хннчина. Этот результат содержится в следующеи теореме. Те ар е ма. Для стационарных потоков восстановления имеют место равенства Г, (х) = Л ) <р (и) аи о и при Ь~2 Г (х) = 1 — <ро (х) . (2) Доказательство. По определению Г,(х) есть вероятность наличия требований в отрезке (О,х) н, следовательно, равна я,(х) = 1 — р,(х). Формула (5) 2 2,5 приводит нас к равенству (1). Обратим вни мание на то, что из (1) вытекает равенство Л ) еро (2) й = Г,(+ оо) = 1, (3) о устанавливающее связь меокду параметром потока и функцией ер,(2). Докажем неравенство (2). Возьмем интервалы (О, Ь) и (Ь, х+ Ь). Вероятность наличия требования в первом из них и отсутствия во втором равна )' Г ( — О) ,(О) (Ь) о (выражение о(Ь) учитывает случай более одного события в интервале длины Ь).
Первое выражение заключено между Г(х)Г,(Ь) и Г(х + Ь)Г,(Ь). Для получения равенства (2) достаточно заметить, что по определению параметра потока и вследствие ордо~- 9 зл. элементы теОРии восстановления 123 нарности потока Г,(Ь)=Ай+о(Ь), Ь- О. (4) Теперь формула (2) получается делением полученных выражений на Г~(Ь) в виде (4) и переходом к пределу при Ь - О. Заметим, что, как следует из формул (1) и (2), функции Г,(х) и Г(х) связаны равенством Гг(х) Ь~(1 — Г(и))~й2, (5) о если только рассматриваемый поток является стационарным потоком восстановления.
Естественно поставить вопрос об особенностях тех потоков, для которых Г,(х)=Г(х). Если это равенство выполнено, то в силу (5) Ь ~ (1 — Г (и)) а7и = Г (х). 2 Дифференцирование по х приводит к равенству Ь(1 — Г(х) ) Г'(х), откуда 1 — Г(х) =Се '". Отсюда, поскольку Г(+ ) — 1, находим, что С = 1. Таким образом, Г(х)=1 — е '. Мы знаем, что эта функция определяет простейший поток, Возникает, однако, следующий вопрос: будет ли любой ординарный поток восстановления, для которого выполнено равенство (5), стационарным? Ответ удовлетворителен, но доказательство этого будет приведено несколько позднее. 4.
Определение функций Пальма — Хинчина для стационарных потоков восстановления. Поскольку стационарные потоки восстановления полностью определяются заданием функции 47~(2), все остальные функции Пальма — Хинчииа должны выражаться через эту функцию. укажем прием, который позволяет вычислить любую из функций <р,(2).
Вычислим сначала вероятность того, что в отрезке (О, 7) появится точно одно требование, т. е. вероятность р,(2). Одно требование в этом промежутке времени может появиться в том и ~олько том случае, когда до некоторого. Момента х ( 2 требования не появлялись, в момент х требование появилось, а следующее тРебование появилось лишь после окончания промежутка (О, 2). При этом следует учесть, что х может принять любое значение $28. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ 125 Отсюда по (3) А= 1!2, а по (1) Г (х) = 1 — е-и ( — + х), х Можно подсчитать, что функции Пальма — Хинчина имеют вид ойи 12и+1 <р„(8) = е-"~ — + —, ((2и)) (2и+ ())1' 5. Основные формулы для процессов восстановления, Поскольку 8„= з, + го +... + 8„, имеем следуюгцее равенство: 1 Ги(1) = Р((и 1) = ) Г,(8 — х) 1(Г(х) при всех п > 2.
Поскольку Р(Ю = ) = Р'и(1) — Ги+,( ), ГО Н (() = Мд), - Я я (Г. (8) - Г„+,(8)) = ~ Г„(8) = иг и=1 с = Г1(й) + ~ ) Ги 1(й — х)дГ(х) = "=о о с 1 = Г1 (8) + ) Х Г -1(( — х) 1(Г (х) = Г1(8) + ~ Н (8 — х) дГ (х). о "=о в Мы получили валгное интегральное уравнение 1 Н(8) = Г1(8) + ~ Н($ — х) )Г(х).
(6) о Уравнение (6) решается методом преобразований Лапласа— Стилтьеса. Обозначим Ю (8) — ) е-диНГ (х) Ф(8) = ) е — вииГ(х) 1р(8) = ) е охйН(х)и о о о Тогда из (6) получаем (Р (8) = ЧР1(8) + Р (8) Р (8)1 Ф1(о) ( ) 1 ( — ор (о) Если Г,(х) = ) ) [1 — Г(и)) йв, то интегрированием по частям в 126 ГЛ. 2. ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ находим а)11 (о) = — (1 — ф (г)), так что ~р (о) = 1/о. Обратив преобразование Лапласа — Стилтьеса, найдем, что о(Н(х) ) Ых.
С другой стороны, вследствие того, что Н(х) — неубывающая функция, из (6) следует оценка Н(2)(Р1(2)+ Н(2)ГЯ, т. е. Н(2)<Р1(2)/(1 — г"'(2)). Следовательно, Н(+0)=0, т. е. х Н(х) = Н(+ 0) + ) 1)Н(2) = )ах. +а Итак, иэ равенства (5) следует, что Н(х) = Лх. (8) Для приложений важны следующие две интерпретации интеграла Стилтьеса по функции восстановления Н(2): 1. Пусть в любой момент восстановления Ф„возникает импульс, дающий эффект и($) в момент г + 2, где и(1) — непрерывная функция, 2 > О. Тогда суммарный эффект в момент 2 импульсов, возникающих ранее этого момента, равен и, Оа ~~'., и(1 — 2„) = Аа и(2 — г„)о и 1 о=1 где положено п(х) = 0 при х ~ О.
Математическое ожидание этого эффекта равно ~ ) и(2 — х)ооР(2„(х) = а1=1 о 1 Ю = ) и (2 — х) оо ~~а Р (2„~, х) = ) и (» — х) гаН (х). о о=1 о Окончательно М ~~.", и (2 — 2 ) = ~ и (2 — х) г)Н (х). о о (0) 2. Пусть и(2) — непрерывная ограниченная функция. Последовательности (Г„) поставим в соответствие случайную функцию $(2), где е (2) = О при О ~ 2 ~ 2,; $ (2) = и (2 — 2„) при 2„< Г.с 1о+1, о а7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
