1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Он изучил следующую схему: рассматривается произвольный поток восстановления; каждое треоозанне сохраннется в потоке с вероятностью д и исключается пз потока с вероятностью 1 — д р. За счет изменения масштаба времени сохраняется интенсивность потока. Эта операция последовательно производится много раз. Репьи доказал, что так преооразуемый поток действительно сближается с простейшим. Мы видим, что простейший поток получается не только в реаультате суммирования бесконечно малых независимых потоков. К нему приводят и другие предельные процессы. Как для теоретическвх, так и для практических целей представлнет несомненный интерес изучение таких моделей, которые приводят к про стейшему потоку.
2. Преобразование Лапласа для преобразованного потока. Поток восстановления, для которого га(х)=Р(х), подвергается следующей операции разрежения: каждое треоование потока остается в нем с вероятностью О п выорасывается из потока с вероятностью р = 1 — О. Одновременно с процессом разрежения производится другой процесс — изменение масштаба времени: за единицу масштаба считается промежуток длины д '.
Назовем только что описанное двойное преобразование преобразованием Те Обозначим Те а„... последовательные моменты появления требований потока. По предположению случайные величины За 2„2а Та — Тн г, = га — 2м ... 144 Гл.
3. изучение ВходящеГО потокА тгеВОВАний независимы и одинаково распределены, их функция распределения равна Р(х). Введем обозначения х Рт(х) = Р(х), Р„(х) = ) Р з(х — г) ИРт(г) (п 2, 3,...), о Известно, что Р.(х) является функцией распределения суммы и независимых случайных величин с функциями распределения, равными Р(х). Таким образом, на Р,(х) можно смотреть как на распределение длительности промежутка времени, прошедшего между появлением й-го и (й+ 2)-го требований. Вообще Р (х) представляет собой функцию распределения промежутка времени между поступлением й-го и (й+ и)-го требований.
Обозначим через Т,Р(х) функцию распределения между последовательными требованиями потока, полученного в результате применения к первоначальному потоку, трансформации Т,. Докажем, что пря любом х) О Т,Р(х) = ), 'И "-'Р. ( — '), о=1 Действительно, после преобразования Т, в потоке останутся с вероятностью д соседние по времени поступления требования, с вероятностью рд — требования через одно, ..., с вероятностью р" 'д будут пропущены (откинуты) и — 1 последовательных требований и т. д.
А так как распределения промежутков между последовательными поступлениями указанных требований равны соответственно Р,(х), Р,(х), ..., Р (х), ..., то в силу формулы полной вероятности имеет место равенство (1). Обозначим через ~р(г) преобразование Лапласа — Стилтьеса для функции Р(х), т. е. положим ~р(г) = ) е х'ПР(х). о Докажем, что для преобразованного потока соответствующее пре- образование равно Т ~р(з) = (2) = 1 — рт(зо) ' В самом деле, из теории преобразований Лапласа — Стилтьеса известно, что преобразование суммы независимых слагаемых равно произведению преобразований для слагаемых.
Таким об разом, преобразование функции Т,Р(х) согласно формуле (1) равно Т,ор(з) = д ~ р" т~р" (оз). и т В зло. пРедельнАя теОРемА для Редеющих потокОВ 44б После очевидных алгебраических преобразований приходим к равенству (2). 3. Некоторые свойства операции Т, Докажем, что последовательное прииенение к потоку преобразований То и То зквиваоо лентно одному преобразованию То о . Согласно формуле (2) т Т = """("') ое( оеР (з)) 1 — р т о(о е) и, значит, течет (веете) Т Т ()) "( 21~ о т(т о ) 1 — р рог — р ео(е д е) Е оое (о о е) (1 егто)~е(егто') Т„Т„Р(х) = То о г(,). Преобразование Т, не изменяет среднего значения длительности промежутка времени между последовательными требованиями потока. Это свойство доказывается на основании известного равенства ) х е1Р(х) — 1р' (0).
о В результате злементарного подсчета получаем Требуемое доказано. 4. Преобразование То длн простейшего потока. Пусть исходный поток является простейшим и его интенсивность равна Х, Для такого потока г" (х) = 1 — е ~, ) хе(р(х) = —. Х' о Легко подсчитать, что преобразование Лапласа функции г(х) имеет вид ~(з) = +,. х 10 В. В. Гнененно, И,Н. Кононенко Требуемое доказано. В силу взаимно однозначного соответствия между функцией распределения и ее преобразованием Лапласа — Стилтьеса отсюда заключаем, что 146 ГЛ, 2, ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТГЕВОВАНИИ Покажем, что преобразование Т, не изменяет простейшего потока.
Действительно, Л Твр(е) — = . - — -р(в)- Л+ чв Лч Л 11Л+в) Л+б 1 — р— Л+ ев б. Предельная теорема Репьи. Если к каколсу-либо потоку А восстановления с конечной интенсивностью Л последовательно применить преобразования Т,, Т, Т, ... и при и- О. - усов... о. = (), то поток Т Т,... Т„стремится при и — к простейшему потоку с той ясе интенсивностью Х. Доказательство. Согласно предыдущему Т,„Т,„,„,Т -Т,„.
Имееи ссвсР (ссссв) 1 — (1 — 9„) ср (О„(в))' Т ср(в) = А так как Чс (О„в) ср(0 ) Тоз ср(в) 1 — ч (0„в) р (о) — р.(1 ) + ср (1?„(в)) ) + ср (() ) и в силу конечной интенсивности потока производная функции ср(в) существует, то 1 — ср (Озв), в 1)ш = — вр'(О) = —. О 0 У Таким образом, при и-~ вв То„ср (8) -э — „ Л Это соотношение доказывает теорему.
$ 2Л1. Дальнейшие предельные теоремы о редеющих потоках 1. Теорема Беляева и ее обобщение. Ю. К. Беляев 111 доказал довольно простую, но весьма вансную теорему о сходииости редеющего потока к простейшему. Часто бывает так, что доказательства математических теорем во многих частных случаях более сложны, чем доказательство общей теоремы, охватывающей все зти частные случаи. Именно так произошло с теоремой Беляева, $2.11. Длльненпеие ПРедельпые теоРемы 147 ))(ы сформулируем несколько более общую теорему (учитывая возможность нестационарного предельного потока), сохранив ту же идею доказательства, что и у Ю.
К. Беляева. 'Ре орем а. Пусть имеется последовательность потоков; х„(г)— число событий и-го потока в интерва е (О, 2). События и-го потока независимо разрелсаются; риг — вероятность выбрасывания ь-го события и-го потока", е7„„= 1 — р„„. Если зпроь и О (1) и ~и и для некоторой последовательности Ж=ЛЕ(п)- и при любом фиксированноМ 2» О ги (е) — А (2) е (и)и- ~а (2) Х д, В(г), (з) ЬЛЕНеи) где А(г), В(г) — неубывающие функйии, причем В(г) непрерьев на, то и-й разрегкенньей поток сходится при и - к потоку Пуас- сона с ведущей функцией Л (е) = В(А (2) ) . (4) Следствие. Если е7„„д — О, ги (е) Р-тте - аг, ()ие е (и) -е- д, то предельным потоком является простеиший поток с параметром Л ад.
Доказательство. Введем шкалу времени О, сопоставив каждому 71 1, 2, ... то значение О О„для которого~е7 1 = 8. 1=1 Если й-е событие исходного потока оставлено, скажем, что прои- зошло событие 0-потока в момент О,. Числа событий потока в не- пересекающихся интервалах времени независимы; по теореме о редких событиях в интервале длины О происходит асимптотически пуассоновское число событий с параметром 1. Следовательно, О-поток в пределе переходит в простейший поток с параметром 1. Разрежение исходного и-го потока назовем Г-потоком. Нам остается найти соответствие между г-потоком и О-потоком. Обозначим через Л(гь г,) и 6(8„0,) число событий 2-потока и О-потока в интервалах (Г„ге) и (О, Ое).
Пусть е) Π— произвольное фиксированное число. Подберем такое 6 ) О, чтобы из 12( ( Ь следовало )В(А(се)+2) — В(А(2е))((З, 1=1, 2. Поскольку с вероятностью, большей 1 — е, при п)п, 148 ГЛ. 3, ИЗУЧЕНИЕ ВХОДЯЩЕГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИИ то отРезкУ [Г, Ф»1 соответствУет такой отРезок [йе й,) значений й, что [А(Г,) — Ь))р~lс~~[А(8~)+63)»', 1=1, 2.
Возьмем для опре- деленности верхнюю оценку. Тогда Х дхь~ (Х дхь В(А(г;) + б)(В(Л(г,)) + е. ь«ь«ьх[А00+«)м Значит, для достаточно большого и будет д„д< В(Л(г«)) + 2с, Ах»« т. е. 0, ( В(А(Ц)+ 2е. Вполне аналогично устанавливается ниж- няя оценка. Итак, отрезку [г„гх) с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, соответствует отрезок [Оо Ох), где ~0,— В(А (Г;)) ~ ( < 2з. Значит, Р[6(В(Л(г,)) — 2е, В (Л(г«)) + 2е)(й) — е~(Р(й(г„г») ~й) ~~ ~~Р(6(В(А(г,)) — 2с, В(А(«»)) + 2е) (й) + с.
Так как вероятности в верхней и нижней границах — функции распределения законов Пуассона с параметрамн В(А (»2) )— — В(А(г,))~4з, то в силу произвольности е)0 находим, что й(г„г,) в пределе распределено по закону Пуассона с парамет- ром В(А(г,)) — В(А(г,)). Предельная независимость Л(го г,) для непересекающихся ин- тервалов следует из того, что «внутренние» отрезки типа [В(А(Г,)) — 2е, В(А(»,))+ 2з1 не пересекаются, а число событий в дополнении этих отрезков до отрезков типа [Оо О.) отлично от нуля лишь с вероятностью порядка е. Теорема доказана.
2. Редкое событие в схеме регенерирующего процесса. А. Д. Со- ловьев [11 изучил возможные предельные распределения момента редкого события для редеющего потока восстановления в схеме серий. Особый интерес представляет предельная теорема о сходи- мости распределения момента наступления редкого события к показательному распределению. Пусть Р„(л) — функция распределения случайной величины $„> 0 и Т = ~ 7„(х) дх. Следуя А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
