1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Д. Соловьеву, скажем, что о $. сходится к нулю по Хинчину, если для любого х ~ 0 т ) ~" (~)~~ х Пусть прн любом я имеется поток восстановления, для кото- рого интервалы между восстановлениями распределены как слу- чайная величина ~„. «Редкое» событие может возникнуть в лю. бом интервале между восстановлениями с вероятностью д . При комментлгни х49 етом момент наблюдении события мохсет зависеть от времени, прошедшего с момента последнего восстановления; само событие может зависеть от длины соответствующего интервала восста- новления, Теорема Соловьева. Если д„$„/Т„стремится к нулю по динчину, то д„~„(Т, гдг ь„— первый момент редкого события,— асииптотичгски показательная случайная величина с парамет ром т.
Комментарии В работах О. К. Закусило [Ц, [2] исследовались необходимые и достаточные условия сходимости редеющих полумарковских процессов. Как аанетил Б. В. Гнедепко, зги задачи тесно связаны с изучением распределений сумм случайного числа случайных слагаемых. В работах О. К. Закусило [3], [4], (5] рассматривались необходимые и достаточные условия таких сумм для случайных величин, заданных на некоторых случайных процессах. Необходимые и достаточные условия схедимости суперпозиций нега висимых потоков к простейшему изучались в работе О.
К. Закусило и И, В. Ыелещука [Ц. Наряду с упомянутыми выше отметим важные работы по потокам однородных событий и их применению к теории массового обслуживания: Бремо [2], Ю. К. Беляев [4], Цинлар [2], бзранкен, Штреллер [Ц. В работах Б. И. Грвгелиониса [5], Ю. Ы. Кабанова, Р. Ш. Линдера и А. Н. Ширяева [Ц развит мартингальный подход к построению теории патонов однородных событий, ГЛАВА 3 НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Для теории массового обслуживания представляют особый интерес марковские случайные процессы.
В гл. 1 читатель мог убедиться в том, что при помощи марковских процессов с конечным или счетным множеством состояний описываются процессы массового обслуживания в системах весьма широкого класса, но в, так сказать, максимальных аналитических предпосылках: как появление новых требований, так и окончание обслуживания требований, уже имеющихся в системе, не долнгно зависеть от предшествующей истории, Нет необходимости доказывать, что подобного рода предпосылки в большинстве ситуаций, встречающихся на практике, далеки от действительности. В связи с этны приходится использовать случайные процессы более сложного характера.
На основных классах процессов, плодотворно используемых в теории массового обслуживания, мы и остановимся в настоящей главе. 5 3.1. Метод Кендалла. Полумарковские процессы 1. Полумарковский процесс и вложенная цепь Маркова. Общей тенденцией в теории массового обслуживания является нахождение такого случайного процесса, связанного с процессом обслуживания, который можно было бы рассматривать как марковский процесс.
Обозначим через ч(1) некоторый процесс, в любой момент времени описывающий состояние системы массового обслуживания, "предполагается, что по реализации случайной функции т(1) можно проследить за всеми изменениями, которые происходят в системе: моментами появления требований, моментами окончания обслуживания и т. п. Примером процесса т(1) может служить число требований, находящихся в системе в произвольный момент й Иногда естественно рассматривать процесс ч(г) как совокупность нескольких параметров, имеющих тот или иной физический смысл. Так, например, при рассмотрении систем с приборами, которые могут выходить из рабочего состояния, имеет смысл считать процесс т(1) двумерным: т(Г)=(т1(1) ча(1)) где т,(Г) — число требований в системе в момент 1, ч,(1) — число 5 зл.
метод кендАДДА. ползмАРковскне пРОцессы 151 неисправных приборов в тот же момент времени. С рядом примеров описания функционирования системы обслуживания при помощи случайных процессов мы познакомим читателя в этой и следующих главах. Коль скоро заданьг вероятностные законы, управляющие входящим потоком требований, а также известны распределение длительности обслуживания и порядок обслуживания требований, ъ(г) становится определенным, как случайный процесс. Один из наиболее выдающихся специалистов в области теории массового обслуживания Д.
Кендалл предложил метод влозгенных цепей ЛХареова. Этому посвящена основополагаюгцая работа Д, Кендалла [1). Смысл метода вложенных цепей Маркова состоит в следующем. Выбираются такие моменты времени И„) (1 ( 1„+,), что значения процесса Ь(1 )) образуют цепь Маркова. Затем методами, обычными дчя цепей Маркова, исследуется распределение случайных величин т(1„). Наконец, по этому распределению Де лают выводы о свойствах исходного процесса ч(Г); во многих случаях этот последний этап исключается, поскольку сами величины т(г„) дают исчерпывающую информацию о функционировании системы массового обслуживания. Чаще всего рассматривается случай, когда множество возможных значений процесса ч(1), а следовательно, н вложенной цепн Маркова, конечно или счетно. К подобной ситуации сводится большое число постановок задач.
Однако это совсем не обязательно: можно рассматривать также непрерывное множество состояний. С этой точки зрения метод вложенных цепей Маркова (метод Пеидалла) охватывает теорию случайных блужданий, применение которой к задачам массового обслуживания будет неодно кратно использоваться в последующем изложении. Таким образом, вложенная цепь Маркова — зто последовательность аначений процесса в специально выбранные моменты времени 1„; зти значения образуют цепь Маркова.
Подчеркнем, что моменты 8, как правило, случайны и зависят от поведения самого процесса. Вложенная цепь Маркова может быть определена и в том случае, когда моменты г„не могут быть описаны цепью Маркова. Приведем определение полумарковского процесса с конечным плп счетным множеством состояний. Пусть Х вЂ” конечное или счетное множество; элементы Х будут обозначаться буквами 1, у, ... Будем считать, что задана однородная цепь Маркова (ч„, л ~ 1) со значениями в Х и матрицей перехода !!рв1. Полумареовский процесс (ПГяП) определяется как ступенча тый случайный процесс т(Г), 1>0, со следующими свойствами.
В полуинтервале (О, Г~) ч(г)=то в полуинтервале (Зи зз) ч(Г) '=Р, и т. д. При фиксированной реализации цепи Маркова ч = ~„, и ~ 1, длительности 1ь 4 — 1„1, — Ф„... пребывания ч(8) в 152 Гл: 3. некОтОРые клАссы случзпных пгоцессов состояниях ~„$„~„... независимы, причем каждая из этих ве личин зависит лишь от состояния, в котором находится процесс, и от следующего состояния; задаются функции распределения Р(Г» — Гх,(х(т„= », У„+» = Д = Р„(х), п)1„ где для общности положено г»=0. Вместо 11р,,!| и (Ре(х)) можно задать лишь функции Ри Ю= раР«(а) имеющие следующую интерпретацию. Если в данный момепт процесс вошел в состояние ~, то с вероятностью Ря(х) следующий переход процесса произойдет через время, меньшее х, и притом в состояние ~'. Функция Р,(х) = ~РО(х) есть функция рас пределения времени до следующего перехода процесса.
Замети»г, что состояния у„и т„«, полумарковского процесса не обязательно различны; в атом случае «переход» есть возвращение в исходное состояние. Кроме того, должно задаваться начальное распределение р; = Р(тг = 1). («1 Пусть теперь т(г) — ПМП, (у„с») — двумерная случайная величина (», ~ О), которая не зависит от траектории у(г) прн условии, что у, известно. Тогда случайный процесс ( У при 0( Гх' 1«, (у (1 1») прн г ~ ~Г« называется полумарковским процессом с запаздыванием. Для его статистической характеризацин, в дополнение к Ра(х), следует заДать РаспРеДеление слУчайной величины (У«зь Г»).
Моменты перехода ПМП с запаздыванием удобнее обозначать Ге Го ~„... вместо 1„г, + 1О г, + г», ... Можно задавать ПМП и несколько иначе. Представим себе систему, в начальный момент ~ =0 находящуюся в случайном состоянии у» и изменяющую свои состояния скачками в моменты ~о Г»~ ° Пусть в момент г„система вошла в состояние й На систему воздействуют факторы, )-й из которых, если он проявится ранее других, переводит ее в состояние у. Время тй проявления у-го фактора, отсчитываемое от момента г„, имеет функцию распределения Фя(х); случайные величины ц» независимы.
Очевидно, Г„+, — ~„= ш1п т~; если тй обладают плотностями )а(х), то х Рп (х) = ~ ~П Ф«» (~)) (/О (г)/ФО (~)) Ж, х ) О, » где Фя(й) 1 — Фе(г). з зл. мвтод кзндлллл. полгмлгковскик пгоцкссы (бз Цепь Маркова (т ) называется вложенной цепью Маркова данного полумаркозского процесса. Интервалы (г„-о )„) называются циклами.
Заметим, что марковский процесс с интенсивностями перехода Л„и интенсивностями выхода Л( = ~~ Лп является ПМП; прн пэ( т.-- О Сделаем следу)ощне замечания: т. Прн определении ПМП для времени пребывания в состоянии ( допускается и бесконечное значение. Таким образом, может быть и Р,( )<1; вероятность того, что процесс, попав в состояние (, останется в нем навсегда, равна 1 — Р<( ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
