1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 30
Текст из файла (страница 30)
При Ро(+О)= 0 дифференциал этой функции йН1(1) можно интерпретировать как вероятность того, что в интервале (1, 1+А) произойдет некоторый переход в состояние у. Отсюда 158 гл. з. нвкотогыв классы слтчаиных пгоцкссов Отметим одно обобщение формул (13) и (14). Допустим, что каждой траектории' полумарковского процесса соответствует случайный процесс»)(т), обладающий следующим свойством. Коли известно, что в момент т произошел переход т(г) в состояние», а следующий переход произойдет позднее момента т+ х, то т)(т+х) не зависит от траектории ч(») до момента т и имеет математическое ожидание Д(х). Тогда Мт)(/) = ~~~~»р» 'Р»(/) ~»(») + ~ Р (/ — х)ЯФ вЂ” х) дП/(х), (15) Перейдя к преобразозанипм Лапласа, найдем ~ е "Мг) (»)»»г = ~ р»с»(Р»/»)* (г) + ~д ~(РД)'Ь/(г), Иег ) О, с » / где (Р/») г(г) — преобразование Лапласа функции Р»(г)/ (»).
4. Эргодические свойства полумарковского процесса. Пусть имеется ПМП с запаздыванием т(г) с конечным или счетным множеством состояний. Время запаздывания, а также время пребывания в любом состоянии предположим конечным с вероятностью 1. Обозначим т» = ) х дР»(х) с и допустим, что т,(, »»и Х. Допустим, наконец, что цепь Маркова (т„) обладает зргодическим распределением (и/). Теорема 1. Пусть Т/ — время из интервала (О, Т), на протяже/»ии которого процесс т(») находится в состоянии /.
Тогда с вероятностью 1 при (~ т»я»( оо) Ч (т/( со) Пш (Т//Т) = т/и//~т»я». (16) т / » Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и хотя бы для одного»', для которого я») О, Р,(х) — нерешетчатое распределение в). Тогда В/(/) — ». т/л»(~ тгя» (17) при любом начальном распределении (р;с). Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и Цг)— интегрируемые (бункции, причем !Л(»)) <С. Тогда в условиях форе»улы (15) Нш Мт)(») = — ~~я/~ Р/(г) Ь(/)д/ (18) »Фч / с *) Для зтсгс достаточно, например, существования положительной производной фуииыи Р»(г) хотя бы дзя одного х ) О.
З 3.1. метод кендАллА. почумАРковские пРОцессы (5я 1р (е) = ~ е о! 1(Н (1) з ф (Е) = ~Е о11(Г(й); о Требуется вывести уравнение для ф(е). Предположим, что е= =)1~0. Определим случайную величину е, независимую от процесса восстановления и показательно распределенную с параметром ).. Проинтегрировав по частям выражение, задающее ф()о), получим ф (А) = ) Н (г) Хе-мй = МН Я). о назовем $ моментом «катастрофы»; тогда видим, что 1р(Ц есть математическое ожидание числа ( восстановлений до момента катастрофы.
Имеем у=Х(~+у,), Му=МХ+МХу„ где Х вЂ” индикатор события (до первого восстановления катастрофа не наступила), Т, — число восстановлений до наступления катастрофы без учета первого из них. Очевидно, Гт1Х = ~ е "Йг" (1) = ф (А). о В силу свойств показательного распределения, если катастрофа не наступила до первого восстановления, время до ее наступления не зависит от прошлого. Таким образом, при условии (Х () у1 — случайная величина с тем же распределением, что и (. Итак, МХТ, = МХ. М („(Х = ц = с (Л) ф (),).
Окончательно получаем ф(л)=ф(ц+е(л)ф(А) =ф(к)х(1 — ф(л)) Предлагаем читателю сравнить теорему 3 с узловой теоремой восстановления (з 2.6). 5. Метод «катастроф». В теории массового обслуживания широко используется вероятностная интерпретация различных интегральных преобразований, позволяющая непосредственно выводить уравнения, например, для преобразования Лапласа пере толпой функции величины очереди.
Метод развит Г. П. Климовым Щ и наиболее зффективно используется при исследовании приоритетных систем обслуживания; см. Б. В. Гнеденко и др.Щ. Для объяснения идеи метода рассмотрим самый простой пример. Пусть имеется процесс восстановления с функцией распре деления г'(8) времени между восстановлениями и функцией вос становления Н(о); 160 Гл. г. некотОРые клАссы случАиных ПРОцессов — уравнение, найденное в гл. 2 другим способом. Правда, от У.) ) 0 нужно перейти к комплексной переменной г, но это нетрудно сделать, исходя из принципа аналитического продолжения: достаточно заметить, что ф(г)/(1 — ф(г)) — аналитическая функция в полуплоскости Ке г)0 и из совпадения ее с ~р(г) при г~ к следует совпадение во всей полуплоскости.
5 3,2. Лннейчатые марковские процессы 1. Определение. Опишем один класс марковских процессов, предложенный Ю. К. Беляевым (2). Пусть имеется система, в которой могут происходить операции различных типов, причем одновременно не может происходить более одной операции. Состояние системы описывается марковским процессом $(г), множество Х состояний которого состоит из двух подмножеств: Х, и Х, Х (е'~. Множества Х„Х, конечны или счетны", если $(г)ю ж Х„то в момент г в системе операции не происходят. Множество Х, Х м~ состоит из элементов вида (У, у, г), где У вЂ” индекс, определяющий тип происходящей операции, у — некоторый дополнительный дискретный параметр, г — время с начала опера ции.
Функция распределения времени операции у-го типа есть Р,(х). Таким образом, при $(г)=(у, у, г) вероятность окончания операции за время аг составляет (Р,(з+Й) — Р,(г))/7~(г). Если в момент г закончилась операция и непосредственно перед этим состояние процесса было (У, У, г), то с вероятностью ра(т, у) процесс переходит в состояние (т, у, 0) (при этом начинается операция типа т) и с вероятностью р„(у) — в состояние у ы Х,. Кроме переходов процесса, связанных с окончаниями операций, возможны также спонтанные переходы. Именно, при $(г)- $ы Х, за время ау может с вероятностью у.~(у)аг произойти переход процесса в состояние у' ы Х, и с вероятностью А,(У, у) аг— в состояние (у, у, О); если $(г) (у, й г), то с вероятностью Уз(У)ОУ пРоцесс пеРеходит в состоЯние (У, У, э+ аз). ТРебУетсЯ, чтобы случайный процесс $(г) был марковским. Это и есть ликейчатый марковский проууесс.
2. Основные уравнения. Предположим, что множество состояний дискретных компонент процесса конечно, Р,(х) — абсолютно непрерывные функции, р,(х) — соответствующие им плотности вероятности. Тогда, как показал Ю. К. Беляев, при абсолютно непрерывном начальном распределении вероятностей состояний процесса существуют непрерывные функции р;(8) = РД(г) = у), у ЕЛХ„ оп(г, х) = ~Ру(х)1 ' — Р($(г) ~ ((у, 1, у), у(х)), 181 (2) О 1 с граничными условиями е)11(1, О) = ~ йо(1, у)р)(1) + ~~'.,~ Р;(1, 1) ~д 1(1е 2) е)г' (з), )яхо еое) ~™ (8) где )е) = Х )~10) + Х )е)(1 1) )ец = Х)ецИ). 1Е)яхе (1 1)ЯХ, 1- 1 При босконечном множестве состояний дискретных компонент для обоснования ('1), (2), (3) требуются дополнительные условия регулярности.
Например, для этого достаточно простое условие )ее ( с, )не ( с, е)г"1(з) ( с дз. (4) С линейчатым марковским процессом $(1) можно ассоциировать «вложенную» цепь Маркова $, = Ее(е ° +О), где 1 — ц-й в порядке возрастания момент времени, когда либо заканчивается некоторая операция, либо процесс $(1) переходит из состояния множества Х, в некоторое другое состояние (принадлежащее Х, илп Хт Х Ж~), фе(1)=1 при $(1)=1~Хо, фе(г)=(1, 1) при $(1)= =(1, 1, з). Вероятности перехода ($„) имеют следующий вид: (8) где марков- 2 Б. В. Гнеденно, п. н.
кононенко о ХХ ЛИНЕИЧЛТЫЕ МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений Р,'Я+ ))Р)(г) = Х ~;(1) Р;(1) + )ФЕХо + Х Рц(1) ~дц(1, з) ЙГ)(з), )ее Х, 11,1)мхе до) ° (1, н) до).(1, н) + + )епн)1 (1, х) аее)ец(1) Дц (е, х) Ре, = Ле(1))Л), Рцп,)) = Л,(г, 1Рц Р<)Л,)' =Хйц(е) Рм(У) Р1!1)д т 1) Х оец (о) Рм (ле У) ~ йц (1с) = ~ и;а (Г) е(Р) (1), о и(" им (г) — переходная вероятностная функция однородного (5) (б) (7) $62 ГЛ.
3. НЕКОтоРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ского процесса ((8) с интенсивностями перехода уР(у(8+ б«) = Ь~у(8) = ) = йв(Ь). Пусть Н«(г) — математическое ожидание числа тех я, для ко торых $„=1, От-8 <Ф, Н««(8) — то же для ((, 1) вместо «. Введем обозначения В;(8) = Р Д (8) = «), В и (г) = Р (с, (8) - (Ю, «)). Имеем « В (8) «о« -ь«« ~ -ь«««- ОН ( (9) о Вп(8) =,'Е р«',"7«(8) иЦ'(8) + ч; ~ Р«(8 — х) и««р(8 — 8) йн««(л). (10) « ' а аа а Пусть Ь;(8) = ) е-"««Н,(8), ЬП(8) ) е '«««Н««(«).
Тогда для о о й«(8) выполняется система уравнений вида («2) иа 1 ЗЛ«а именно: Ь«(8) = Х р«"Х«0)«(8+ Х«) + Хр««'я««(У 8) + « «,« + ~ Ь«(8) А«(/)/(8+ А«) + с.'«йп (8) Я««(«, 8)„(и) «л ЬП (8) = Х«Р«) «((э У)«(8+ й«) + Х Рт «Лт«()з !е 8) + т,« + ~з«й«(8) Л, (г, У)/(8+ Лч) + ~ Ь «(8) л «((, У, 8), (Х2) где л««(У, 8) = 2,' ) е а«и,о«(8) ««г«(«) Р«о(У)„ о о ((З) аа ят«(Х, у, 8) = ~ ) е а«и(д,'~(«) ««г"'т (8) рта ((, у), («4) "о Заметим, что выражения подобного типа часто удается элементарным обрааом выразить через «р«(8) = )е "««Р"'«(8). Это объо «т« ясняется тем, что им (1) — решение системы чиненных дифференциальных уравнений с постоянными коаффициентами.
Например, в случае, когда данная функция представляется в виде линейной «Э 2 ЛПНЕИЧАТЫЕ МАРКОВСКНЕ ПРОЦЕССЫ 163 в состоянии (1, )) тн = ~ х«Г1(х). о Т е о р е м а. Пусть цепь Маркова с мнохсеством состояний Х, 0 Х, и вероятностями перехода (5) — (8) обладиет гргодичвским распределением (и;; пн) и Т = хлт1я1+ л1тнлн< со. Тогда Н, (Г) — ~- п«т11Т„ (13) ВН(г), „У-,~',п1 ~и16(г) Р1(2) 32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
