1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Условие А, Множество Х«конечно; если к.(х) — число компонент вектора х, меньших е, то для некоторого е ) О Р (к«(Š— ) ( к« (у)) — 1, (1) где ~-= $7(в, |«) — случайный вектор с функцией распределения Н(к, х ~|, у)/Н(к, |в, р), равномерно по у, для которых к,(у)~ 1. У с л о в и е В.
Величины ~ в ~, ),ь ае ограничены сверху, и (1) выполняется равномерно по в, 1«, у (п«(р) > 1). 4. Две редукции. При решении теоретических вопросов иногда удобнее рассматривать схему КЛМН беа споптанных переходов (л,=О), Произвольный КЛМП можно свести к процессу без спонтанных переходов, подключив к числу дополнительных компонент еще компоненту $«(3), убывающую с едипичнои скоРостью и при любом переходе т (в) из состояния | в состояние й принимающую значение, равное зкспоненциально распределенной случайной величине с параметром )в.
Обращение $«(3) в нуль очевидным образом заменяет возможные спонтанные переходы. Отметив| еще редукцию ЕЛМП с конечным 3 = шах(| ( к схеме обслуживания с постоянным числом 3 объектов. Такая схема удобпа при статистическом моделировании систем массового обслуживания и во многих теоретических вопросах. Она раавита в книге |7вранкена, Еенига, Арндт и Шмидта 111. В этой схеме имеется постоянное число 3 объектов, каждый иа которых может находиться в конечном множестве состояний, «активных» и «пассивных».
В первых из них производятся операции со скоростями, зависящими от состояния системы. Переход из одного состояния в другое пРоисходит в момент окончания той или иной операции. $74 Гл. 3. некотОРые клАссы случАЙных пРОцессОВ Укажем алгоритм редукции. (Рааумеется, в конкретных случаях, учитывая специфику процесса, можно строить более экономичные способы редукции.) Переменную $о(г) сопоставим операции, происходящей в 7-м объекте. Объекты с номерами у) 1т(~) ~ находятся в пассивных состояниях.
При такой редукции в общем случае в любой момент перехода могут изменяться все компоненты $;(Г) одновременно. Однако в реальных примерах большинство компонент не испытывают скачков. Это обстоятельство можно отразить в алгоритме, сохраняя за переменными, не испытывающими скачков, старые номера. 5. Вложенная цепь Маркова. Рассмотрим для определенности КЛМП ~(~) беа спонтанных переходов. Обозначим через 8„, л > 4, момент п-го скачка процесса и введем две последовательности случайных величии 1„= 1(т„— 0) = (т„, $„) и Ь„= 1(~„+ О) = (тхо $х!. Каждая из них представляет собой однородную цепь / + -й Маркова — вложенную цепь Маркова процесса ь(г).
Этим же свойством обладают последовательности (ь„, 1„) и (ь„, ох), Обозначим их (у', х! о, у) = Р(т~ = ), $+( х) ~о+ = (о, у)). Введенные функции непосредственно по их определению удовлетворяют рекуррентным соотношениям Р„(у, х ~ о, у) = ~д, ~ Н(у', х ~ й, з) Н;, (й, г ~ о', у), (2) О Гь Рх (у,х~о,у) = ~ дух,(у,з!ю,у), хек Г,, (3) х=й+хр, о)о, й<х, йнГ~ где Г, — множество векторов размерности !7~, все компоненты которых неотрнцательны, и хотя бы одна из них равна нулю. Подобным же образом можно получить соотношения и для переходных вероятностей цепей Маркова (~ —, ~ ). Проще всего выписать зтн соотношения для плотностей. однако в формулах появляется дельтообразная составляющая. Позтому лучше ввести вместо условия $о = у плотность ф(у) при условии то = й + — -Р х х х1 хщ Пусть Ви(х~у) = ) Ьи(и~у)г(и,...
дипи где ) = ) ... ); о о о о /ол (г, х ~ хр) и'г дх =— = Р(г< г„С с+ й, + = 1,х<Ы(х+ г(х~' ф) $ зл. дРуГие ВАжные клАссы случайных ЛРоцессов 475 где с, су — сокращенные выражения условия (Уо — — 4; 14 имеет плотность $(у)). Тогда сс; "(г, х~с(с) = = ~ рос';с ~ 54;(х(з) ~';"„' (Е, з(«Р) с(гс... 4(зсм, (4) («с «с=о) ~с,"' (~,х!р) = = со«с ~ )С (Ю вЂ” т, х+ аст~ «у) с(т, ппп хо — — хс, (5) о о ссс (~, хс )') = б («) бсср(х). (6) Через характеристики вложенной цепи Маркова выражается распределение процесса Ь(с), если в рассматриваемом интервале он регулярен: Р (у (й) = у, $ (й) ( х $ с, ср) = х с, " «юс(Ест"С« — '. ° 4 )«СС«' с«> о о В данном выражении ~~'.~ /сс +(...)сст играет ту же роль, что и о=о «УХ(8 — т), где Н(с) — функция восстановления (см.
гл. 2). 4 3.4. Другие важные классы случайных процессов Интересным обобщением однородных блужданий, служащих моделью однолинейной системы обслуживания, явились марковские процессы, однородные по второй компоненте, введенные и исследованные И. И. Ежовым и А. В. Скороходом с «1. Такой процесс имеет вид (х(3), у(с)), где х(1) — марковский процесс в произвольном измеримом пространстве состоянии; у(с) принимает значения из многомерного евклидова пространства.
Пусть х(~)= х, у(~)= у. Тогда при з) ~ вероятность попадания х(г) в множество А и у(о) в множество В не изменится, если ато множество одновременно с вектором у сдвинуть на любой вектор Ау. В цитированной работе исследованы различные функционалы от процесса, обобщающие характеристики известных одколинейных систем. О. П, Бороздин и И. И. Ежов ~Ц ввели в рассмотрение сильнорегенерирующие случайные процессы. Процесс из данного класса — регенерирующий процесс, поведение которого на цикле Регенерации состоит из показательно распределенной по длительностц фазы пребывания в отмеченном состоянии и произвольно Распределенной фазы пребывания в других состояниях. Для 176 ГЛ. 3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ таких процессов оказалось возможным аналитическое изучение многих интересных характеристик и, в частности, распределения момента времени, когда аддитивный функционал от процесса достигает заданного уровня.
Неоднородные по пространству случайные блуждания также широко применяются в теории массового обслуживания. В частности, они служат моделями теорш1 водохраналпщ, теории управления запасами. Приведем модель водохранилища, предложенную Мораном [Ц. Пусть з(г) — уровень наполнения водохранилища в момент Й Вследствие непрерывного стока этот уровень понижается со скоростью Л(г(г)). В то же время происходит пополнение водохранилища, управляемое случайным процессом х(г). В результате имеем стохастическое дифференциальное уравнение дг(г)= — Л(г(г))й+ Нх(т), где в модели Морана х(г) — однородный процесс с незаввсимымн приращениями. Моран построил решение уравнения (1) в случае, если х(г)— обобщенныи пуассоновский процесс, Л(и) — непрерывная неубывающая локально липшвцева функция, причем Л(0) = О, Л(з)) О при з ~ О. Моран исследовал локальные свопства решения (1) и указал численный метод.
В работах Цинлара н Пински [Ц,[2) исследовано существование и единственность решения уравнения (1) при более общих условиях и найдены условия эргодичностн марковского процесса г(г). Харрисон и Резник [Ц при некоторых ограничениях типа х 1 — дУх ОО НаШЛИ ПРОЯЗВОДЯЩИй ОПЕРатОР ДаННОГО ПРОЦЕССа Л (У) о и выразили стационарное распределение в виде ряда. Брокуэлл [Ц указал некоторые условия существования стационарного распределения. Так, если Л(г) — функция, удовлетворяющая лишь условиям монотонного неубывання, и Л(+0)) О, то для существования стационарного распределения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство Л( )= Лух(1).
Смит и Йео [Ц изучили случай, когда х(Г) — ступенчатый процесс, моменты скачков которого образуют поток восстановления. Брокуэлл, Резник [Ц и Твиди [Ц рассмотрели модель, в которой х(г) — общий процесс с незавнсимымн приращениями, Е?(и) положительна при и) О, непрерывна слева и имеет предел справа; указаны необходимые и достаточные условия в терминах Л(з) и спектральной меры процесса х(г) для существования стационарного распределения решения (1). Они даны при условии существования неотрицательного интегрнруемого решения некоторого интегрального уравнения.
Есть и более простые достаточные условия. КОММВНТАРИН 177 Комментарии укажем важные работы об эргодичности и непрерывности счетных цепей Маркова: С. В. Нагаев [Ц, Н. Н. Попов [Ц, В. Л. Малышев, М. В. Меньшиков [Ц. Предечьным теоремам для полумарковскнх процессов и теории восстановления для цепей Маркова посвящена работа Лтрейи, Макдональда, Нея [Ц. Методу регенерирующих процессов в теории массового обслуживания посвящены книги Коэна [31, Крейна и Лемуана [Ц. Пз работ, в которых имеются различные обобщения полумарковсвих процессов, упомянем книги Цинлара [31, С. М. Броди и И.
Л. Погосяна [Ц, Ноллау [Ц. Кусочно-линейные марковские процессы обобщены в работе Твена [т1. Различные классы конструктивно задаваемых процессов, интересные, в частности, длн теории массового обслуживания, собраны в справочнике И. Н. Коваленко, Н. Ю. Кузнецова, В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
