1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(21) о Ранее было установлено, что Г(+0) = 1 — р. Позтому (21) можно представить следующим образом: Г' (х) = Л ~ В (х — у) Г' (у) ду + Л(1 — р) В (х). (22) +о Решим уравнение (22) методом преобразования Лапласа, обозначив ф(г) = ) е 'хйГ(х) = 1 — р + ) е '"Г'(х) дх. Имеем о(з (г) = 1 — р + — (1 — зр (г))Ф (г), Л 100 гл, ь полтьгхгковскик молвли систкм овслтжпвхния откуда Находим 1 — р 1 — —, Π— Ч3 (8)) (23) Формула (23) Носит название формулы Хинчина.
Методом процессов восстановления легко доказывается, что 7(1) имеет при 1- предельное распределение; из атого вытекает, что преобразовапие Лапласа — Стилтьсса данного распределения, имеет вид (23). Формула Хивчпяа позволяет вычислить момеяты распредслеяия случааиой величппы в — стохастического предела ш„при и — . Для вычпслеиия моментов запишем (23) в виде (24) где а — дисперсия случайной величины 1).
Формула (24) показывает, что 1) при р — 1 средпее время ожиданля стремится к бескоиечяости и 2) среднее время ожидаявя увеличивается при увеличении коэффициеНта вариации времени обслуживания; ояо минимально при о = О, т. е. в случае системы МЮ)1. Формула (24) — важнейшее следствие формулы Хипчвна — послужила решению множества задач рациональной оргаяизации обслужяваиия. Формулу для моментов ~с произвольного порядка см. в книге Риордаиа (11. 7. Рассмотрение случая р~1.
Докажем, что прп рЖ имеет место соотяошеяве 1)шт" (х, 1)= О. Для доказательства установим две леммы. Лем и а 1. Если р ( 1, то имеет место неравенство Р (х) ~ (1 — р) в~. Действительно, согласие (21) т (х) ~ ) г'(х), откуда г'(х) ( г'(+О) е'", что и доказывает требуемое неравенство, если заметить, что Р(+О) = 1 — р.
(г+ Ь)(г) — Л) Ф(г) = г(1 — р). Последовательно дифферепцируя зто соотяошеппе и полагая г = О, Находим моменты Мю — ( — 1) Ф (О) через моменты с г оо М~'=( — 1)'оп(0) времеви обслуживаиия. Так, после повторного дифференцирования получаем Лф" (г) Ф(г)+ 2(1+ )ф(г) ) Ф'(г)+ (г + Лф(г) — )) Ф" (г) = О, откуда 5 4.2, СБствмА м ~ о1 г Лезги а 2. Пусть имеются два проуесса у(г) и у'(Г), соответствующие функциям распределения времени обслуживания В(х) и В (х) и одипановыгг начальныез условиям.
Тогда, если В (х) ~ В' (х) для всех х, то при всех 1 ) О и для всех х Р(у(г) <х) = — Р(х, 1)~ (Р'(х, г) = Р(у'(г)( х). Доказательство. Каждый из процессов у(1) и у (г) определяется заданием последовательности ыоментов поступления требований и последовательности ик вреыен обслуживаппя. Установим между реализациями случайнык процессов у(т) н у'(г) взаимно однозначное соответствие. Если реализация процесса у (1) характеризуется последовательностью (1 ) моментов поступления требований и последовательностью (у„) времен обслуживания, то условимся ставить ей в соответствие реализацию процесса у (Г), для которой моменты Ф поступления требований те же, а времена обслуживания у определяются посредством равенства В' (у„) = ат, где а, — случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [В(у), В(у+ О)1 (в частности, если В(х) непрерывна в точке у, то зтот отрезок вырождается в точку).
При таком соответствии время обслуягнвания каждого требования в первом случае будет больше или равно временк обслужпванпя во втором случае. Очевидно, тогда для любого 1) О будет иметь место неравенство у(1) ~ 1'(1) Поскольку зго неравенство справсдтпво для люоой реализации у(1) и у (1) в салу установленного соответствия, то Р(Г, х) =" - Р'(д х), что и требовалось доказать. Вернемся теперь к доказательству теоремы. Пусть йт ~ 1. Если В(х) — функция распределения времени обслуживания для данной системы, то обозначим В(х), ха х„ В'(х)= х причем х, выберем таклм образом, чтобы 1:> йт' =- Х [ [1 — В' (х)) Нх ) 1 — е, о где з — сколь угодно малое положительное число. Тогда по лемме 1 будет иыеть место неравенство Р'(х) - зе'". Следовательно, при достаточно болыпом г Р'(х, г) -- 2ее"'.
По лемме 2 тем более будет Р (х, 1) -.= 2се'*. Поскольку х и 192 Гл. ь полумАРковские модели систем овслужиВАпия е — любые положительные числа, то )ип Р (х, г) = О, с- ю что и составляет утверждение теоремы. 5 4.3. Нестацпонарные характеристики системы М~С(1 1. Период занятости. Одной из наиболее важных в практическом отношении характеристик работы системы массового обслуживания является период занятости прибора. Обозначим через 1ь моменты времени, в которые обслуживающий прибор переходит из занятого состояния в свободное. Пусть 1ь — моменты времени, когда прибор переходит из свободного состояния в занятое.
Тогда разность между г, и наиболыпнм из не превосходящих его Гь называется периодом занятости прибора. Изучение периода занятости представляет интерес там, где необходимо учитывать технические особенности прибора, его возможности с точки зрения непрерывной работы. Если обозначить через ьь последовательные во времени периоды занятости прибора, то легко видеть, что Щ представляет собой последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Займемся отысканием функции распределения периода занятости С (х) = Р (ьь ( х).
2. Интегральное уравнение. Изучим структуру периода занятости. Предполон<им, что он начался в момент времени 1 = О. Это означает, что в данный момент времени поступило некоторое требование и оно застало прибор свободным. С етого момента начинается обслуживание. Допустим, что его длительность равна у. Возможны два случая: 1) за время у в систему не поступило ни одного требования и 2) за это время поступило я) О требований.
В первом случае период занятости в момент у заканчивается; во втором случае будет более сложная картина. Чтобы объяснить ее, удобно ввести некоторое соглашение о порядке обслуживания, Предположим, что требования обслуживаются в порядке. обратном порядку поступления их в систему. Ясно, что прп таком порядке обслуя1ивания период занятости будет иметь такое же распределение, как и при исходном обслуживании — в порядке очереди. Итак, примем, что требования обслуживаются в порядке, обратном порядку пх поступления, и предположим, что за время у, о котором шла речь, в систему поступило я требований.
Тогда легко заметить, что первое из них будет обслужено в момент 9 4.з. нестлциоилвньгк хлглкткгистики 193 окончания периода занятости (следствие пз принятого порядка оослужизания). Если же обозначить через 1„1„.. о 1„располо;пенные в порядке возрастания моменты начала обслуживания всех и требований, то 1»е» — 1» будет временем, за которое обслужены (и — »+1)-е требование и все требования, поступившие после него. Другими словами, структура интервала 1», — 1, та же, ч»о н структура периода занятости.
По самому построению интерва»шз 1н» вЂ” 1» видно, что зти интервалы независимы. Следовательно, прн условии, что за время у в систему поступило и требований, период занятости равен р плюс сумма п независимых случайных величин, распределение каждой нз которых то же, что и у периода занятости. Поскольку вероятность условия равна п (так как поток простейший), мы получим интегральп! ное уравнение (е е » (х) =~ ~' е "— ", 6„(х — у)дН(у), о о=о где обозначено С»е(х) = РД, + ~в+ ° ° ° + ~в~ х).
3. Функциональное уравнение. Введем преобразование Лапласа — Стилтьеса для распределения периода занятости, т. е. я(з) = ) е "а»»'(х). о Применив преобразование Лапласа — Стилтьеса к обеим частям равенства (1), будем иметь е д(г) = ~ д" (в) ~ехр( — (в + Х) х)(Хх) ИВ(х) = о = ~~~~ —,( — Лд(в))" арон(в+ Х) = »р(в + ) — Хя(в)). Итак, справедлива формула д(в) = ер(з + Х вЂ” Хд(в) ) . (2) Возникает вопрос: может ли служить зта формула для фактического нахождения д(в), т. е. обладает ли уравнение (2) единственным решением1 Ответ содержится в следу»ошей теореме.
Теорема. Функция я(в) является единственным аналити'»еским решением функционального уравнения (2) при Вез ) О, нодчи»»енньтм условию 1д(з)! ~ 1 и вещественным для всех вещественных г > О. Обозначим через ро наименьшее ноложитель»о в. В, глелекко. и. н. коваленко 194 Гл. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
