1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Для этого вычислим математическое ожидание случайной величины Р, взяв тгронзводную от функции езе(з) по г при г = 0: М з = — еЗв (О) = — ф' (0) 11 — а,р, (0)1 = т [1 +адт,). Немедленно выводим, что условием зргодичности процесса ь(Ц явлнется неравенство Хт (1+ а,те) = р (1 + а,те) ( 1. Нак и следовало ожидать, при некоторых значениях параметров процесс, обладающий эргодическим распределением при абсолютно надежном приборе, теряет ато свойство, когда прибор подвержен случайным поломкам. Ряд подстановок такого рода рассмотрел Т.
П. Марьянович. Пользуясь иным методом, он определил распределение числа требований, находящихся в системе в установившемся режиме, п вероятность пребывания прибора в неисправном состоянии. 4. Изучение влияния частичного выхода из строя. До сих пор мы рассматривали приборы, которые могут находиться лишь в двух состояниях: исправном и неисправном. В исправном состоянии прибор способен к обслуживанию требований в одинаковой степени в любой момент времени (это отражено в том, что длительности обслуживания различных требований одинаково Распределены и независимы); в неисправном состоянии прибор безусловно не способен к обслуживанию и требует восстановления.
Однако в реальных ситуациях обслуживающий прибор может быть способным к обслуживанию требований в большей или иеньшей степени в тот нли иной момент времени. Для примера представим себе, что обслуживание — это передача каких-либо донесений по радио. С течением времени изменяется уровень внешних помех, что ведет к изменению скорости передачи информации. Еще один пример доставляет система передачи 14 в, в. Гведекко. и. н. Коваленко гл, к ползмагковскии модкли систвм овслгживлния информации, предусматривающая несколько способов передачи, каждый из которых характеризуется своей скоростью передачи информации; при выходе из строя одного устройства переходят на другое. Учет данного обстоятельства вносит большое разнообразие в математические постановки задач массового обслуживания.
Здесь мы ограничимся лишь одним нз возможных подходов, который, как нам кажется, еще недостаточно отражен в литературе. Примем «энергетическую» интерпретацию обслуживания: обслуживание каждого требования будем интерпретировать как выполнение прибором некоторой работы, причем величины работы, соответствующие различным требованиям, предположим независимыми, одинаково распределенными случайными величинами в„в,, ..., в„, ...
с общей функцией распределения В(х). Предположим далее, что почти в каждый момент времени прибор обладает мощностью Е(~), т. е. с момента ~ до момента г+ й прибор может выполнить Е(~)й+ о(й) единиц работы. Коли допустить, что мощность прибора постоянна: Е(г) = Е, постановка в точности будет сводиться к задаче об обслуживании с ожиданием, причем функция распределения времени обслуживания будет равна В(Ех). Рассмотренная ранее постановка с выходом прибора из строя также вкладывается в новую энергетическую постановку. В самом деле, в моменты, когда прибор находится в неисправном состоянии, естественно считать мощность равной нулю.
Примем следующее предположение. Прибор может находиться в каждый момент времени в одном из л состояний: 1-м, 2-м, ..., и-м; ю-му состоянлю соответствует значение мощности, равное Еь Переход иэ состояния в состояние происходит случайным образом: если в момент г прибор находится в 1-м состоянии, то за малое время й он может перейти з у-е состояние с вероятностью дзй+ о(й). Другими словами, состояния прибора образуют однородный марковский процесс 1(1). В данной постановке нас будут интересовать следующие характеристики обслуживания; распределение зе:тичины работы, которую должен выполнить прибор с момента г для окончания обслуживания тех требований, которые к моменту г уже имелись в системе; распределение времени ожидания требования, которое поступило бы в момент ~; вероятность того, что в данный момент времени система свободна от требований и прибор находится в заданном состоянии.
При иаученип системы с ожиданием особую роль играл параметр р=йт, т. е. загрузка системы. В настоящей постановке таъже можно 211 ф 4.5, снстимА мхом ввести понятие аагруаки, от величины которой будет существенно зависеть характер процесса обслуживания. Прежде всего ааметим, что процесс 1(1) не аависит от пропесса обслуживания. Предположим, что из любого состояния г вогможен переход в любое другое состояние 1 аа некоторое время. Тогда согласие аргодической теореме 3 3.1 существует эргодпческое распределение процесса 1(г), аадаваемое вероятностями рг ПгаР(1(г) = 1), 1(1<п, которое определяется системой уравнений Ргхл ун= и рвот, 1~(1~(п, чг гвч с условием нормировки ла р,— 1.
1-1 Определим теперь среднюю мощность прибора Е=л~г Е;р, 1 1 и загруаку системы 1 р= =ХМюм а Введем случайный процесс (в(1), определив его как величину работы, которую должен выполнить прибор с момента 1 для окончания обслуживания тех требований, которые к моменту г уже имелись в системе (ясно, что если прибор в данный момент времени свободен, то (в(1)=0). Рассмотрим теперь двумерный случайный процесс Р(1) = (1(1), т'(1)).
Очевидно, что ь*(г) представляет собой марковский процесс. Распределение процесса ь*(г) в любой момент времени задахви функцией Рг(х, г) Р(1(Г) =1, у*(1)(х). Т е о р е м а. Необходимым и достаточным условием существования гргодичесного распределения процесса Ьв(1) является неравенство р<1. Нри выполнении етого условия пределы Р, (х) Ига Р; (х, 1) 212 гл. 4.
полумлвковскив модели систем овслуживлния удовлетворяют системе интегро-диОеренйиальных уравнений Е;Г» (х) — /Х + ~г~ до1 Г; (х) + Х ~ В (х — у) АР» (у) + /еч / в + ~ АР/(х) = О (1(1(п). (5) Доказательство. Вывод уравнений (5) нечем не отли- чается от вывода уравнения (1) для функции распределения времени ожидания Г. Несколько иным будет лишь доказательст- во того факта, что прп р (1 случайный процесс ~*(7) обладает зргодичоским распределением.
Пусть х„— длительность п-го свободного интервала, у„— и-го интервала занятости. Наработка прибора за время Т не лт> меньше А.(Т) — Е' ~'„х», где А(Т) = ) Е(7) о1, Е' = шах Ем г=1 в 4 х; — длина свободного интервала, пересекающегося с (О, Т). ли о С другой стороны, А(7)~ (2~ ди где р/(7) — число требований в г=» интервале (О, Т), г), — пх длительности обслуживания. Следо- вательно, лт> щт> — А(Т) — Е' — — А х, . —,— т„вг, 1 ,/(Т) 1 ~ Г(Т) 7 Ъ Т Т,у(Т)Ае г Т /7~Т) л г г-1 г1 По зргодпческой теореме для полумарковскнх процессов Т-'А (Т)- Е по вероятности.
По свойству аакона Пуассона Т т'/(Т) — Х по вероятности. По усиленному закону болыпих чпсол Лг ' ~ вг; — Мвг, с вероятностью 1; следовательно, ~™ гдт) У '(Т) Хю;-ьМв», по вероятности. 7=3 Наконец, х, есть показательно распределенная случайная зо- лпчвна с пара»гетрам й; Х тД х; — »1/й с вероятностью 1, а сле- дозательно, Х ' ~ х; ( с, для всех / одновременно с вероят)=1 постыо, не меньшей 1 — е.
Итак, с вероятностью, не меньшей 1 — е/2, — ) (с,Е') "(Š— ХМю») — е = 6)О. (6) Далее, У (Т) ~ Х» (Т), где /„(Т) — число точек восстановле- г 4.5. системА и~ам 213 ня в интервале (О, Т) процесса восстановления моментов оконанпя периодов занятости в состоянии Е(<) = Е,. При бесконечной средней длине цикла Т 'г,(Т) О по вероятности. Следовательно, для некоторого й средняя длина цикла конечна, или, что то же, ВшЕо(г, + О)) О <-ию (7) регенерп у~щий процесс с выб „,„„ сом восстановления в качестве множества моментов регенералки, то из теоремы Смита получаем, что данный процесс обладает собственным предельным распределением. Займемся теперь явным решением системы интегро-дифференциальных уравнений (5), используя как аналитические, так и вероятностные соображения.
Прп помощи приема, который уже использовался несколько раэ ва протяжении этой главы, легко установить абсолютную непрерывность функций Р<(х) и, так<си образом, обосновать законность применения к исследованию системы (5) преобразований Лапласа. Введем обозначения В Ф (г) ) е- «Р<(х), 1(<: и, а<= Р<(О), 1«<(п; о ОЭ <(<(г) = ) е- «Т<(х). о Применив к системе (5) преобразование Лапласа, получим Ф (г)~гЕ< — Ч1 — ф(г)) — Х до~+ + ~ доФг(г) га;Ем 1 .1~( п. (8) Система уравнений (8) имеет единственное аналитическое решение Ф,(г), 1< < < и при Ве(г) ) О, если постоянные а<, фигурирующие в правых частях этих уравнений, действительно соответствуют своему вероятностному смыслу, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
