1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Г. Ирейн Щ). Иэ данного уравнения могут быть только два вывода: либо Т„= для любого у, либо имеется единственное непрерывное решение прп услоэпп Т. = О. Первое исключается, поскольку ) Т,О)М(х) есть О математическое ожидание периода занятости прибора, равное /Т 7мООО )(1 — ~)м[ )О )~ О О Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что решевзем пнтегро-дифференциального уравнения служит функция где СЮ р Х ~ М (х) Ых.
О Исследуем теперь математическое ожидание т длительности ввгервала, когда $(Г)) рО. Имеем т = ) т„ООВ(х), ОО ""е В(у) — функция распределения случайной величины ((О+О) лрп Условии, что ((7 — О)~ рО и ((7+ О)) рО. Из условия ВО(х) ) М(сх) г 4.7. систимы с ОГРлничкнняыи взойти в интервале (1, 1+ Ь), получим хэви 7 (,) = (1 — ЬЬ) 7 (. + Ь) + И ~ В, ( у+ ЕЬ) др (у)+о (Ь), (ц о х Е (х) = А + ~ р (г) дг, х > О, о гое Л и р(х) удовлетворяют интегральному уравнению х р(х) — Л() Ц(х — у) р(у) ду= ЬАВ,(х), о (2) справедливому почти при всех х О. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Подынтегральное выражение в правой части формулы (1) не превосходит 1, поэтому (Е(х) — (1 — ЬЬ)Е(х+ Ь)! ~ ХЬ + о(Ь), влп (2Х+ о(Ь), "ткуда следует абсолютная непрерывность функции Е(х) при х ) О, а значит, существование таких, А н р(х) ( 2Х, что прп х) О х Р (х) = А + ) р (г) йг. о тогда равенство (2) следует пз (1), если в этом последнем пеРейти к пределу при Ь О.
Заметим, что при А фиксийованном (2) представляет уравневле Вольтерра с ограниченным ядром; известно, что такое уравнение может иметь только одно интегрируемое решение в любом интервале (О, Т). Так как интересующее нас вероятностное реже"не, очевидно, интегрируемо, то это решение определяется с точностью до постоянного множителя А. Последний определяется ,„, а = В(у, х), О < Е < 1. Первое слагаемое в правой части этого соотношения соответс1вует тому случаю, когда за время от 1 до г+Ь в систему не и ~ступило ни одного требования. Интегральный член соответствует случаю, когда за это время в систему поступит ровно одно аьсбоваппе. Наконец, последнее слагаемое представляет о(Ь) эввлу свойства ординарности простейшего потока.
'1'еореиа. Если стационарное распределение существует, то оно определяется постоянной А и функцией р(х): гл. 4. Полумлековсннв модглн снсткм овслужнвагтня 234 условием нормировки А + ~ р (1) дг = 1. о 5. Вложенная цепь Маркова. Пусть г — момент поступления и-го требования, ц = ц(г — 0). Тогда (ц ) — однородная цепь Маркова. 1[окажем одно пнтересное свойство. Т е о,р е и а. Пусть Р(х) — ГРунпция распределения, г (О) = О, г(+О)=А, р(х) =А -1- ) р(г)АГ, х)0, где А и р(х) удоео летеориот интегралыьону ураенениго (2) при х -» О, Тогда г'(х) есть стационарное распределение цепи Маркова (1„), Д о к а з а т е л ь с т в о.
Без ограннчеши общности предположим, что Х =- 1. Пусть ц, имеет распределение Р(х). Достаточно доказать, что ц~ пмеет то же распределенне. Обозначпм а6(х) = = Р (х ~ уг( х + дт). Справсдлпво стохастическое соотношепне у =(у +цт,— $)' где Чт,— случайная велпчнна с функцией распределения В„(х) пРи Р = Цо $ — незавпспмаЯ от 1Уг Чгг) слУчайнаЯ велпчпна с плотпостьто е — ', г ) О. Прп х ) 0 г(6 (х) = ~ е ЧгдР (ут + цг, С х + г] = е нег -ю(ла~,(*+ с ~. 1 ро~енз„( .~~ — е~ о о Между тем из уравненпя (2) г ~ р (р) ду дВг (г — г) = р (г) сЬ вЂ” г(р (г) — Ад В, (г), е Подставив зто тождество в предыдущее соотношение, получим д6(х) = ) (р(х+ Г) дх — др(х+ г))е Чг = р(х)дх о (применено интегрирование по частям).
Так как, очевндно, 6(х) — функция распределения, то 6(+ О) = 1 — ) р(х) дх, о Итак, 6(х) = Р(х), что и требовалось доказать. » 4.». пгиогптвтные системы овс'чуживхнпя Через распределение Г(х) мои но выразить различные характеристики обслуживания: функцию распределения времени пробыванпя требований в системе до начала обслуясиванпя; функцию распределения времени пребывания требования в системе; функцнсо распределения »степени обслужеппосыг» требования, т. е. отношении фактического времени обслуживания требования ко времени, необходимому для полного обслуживания; вероятность того, что требование будет полностью обслужено, если необходимое для этого время равно х; вероятность чистоп потери (требование покинет систему еще до нача»са обслуживания); вероятность частичной потери (требование будет обслуживаться, по покинет систему до полного окончания обслуживания).
Все зтп характеристики находятся одним и тем же способом. Пусть и(у) — »индивидуальная» характеристика требования при условии, что в момент его поступлесспя оказалось ((1) = у. Тогда средняя характеристика 4 4.8. Приоритетные системы обслуживания 1. Предпосылки и обозначения. В з 1.7 была выяснена практическая важность рассмотрения систем массового обслуживания, характерпзующнхсн преимущественны»г обслунснванпсм требований одного типа перед требованиями других типов. Там же были перечислены основные постановки задач о приоритетном обслуживании.
Б настоящем параграфе мы исследуем более общие постановки в соответствии с назначением данной главьс, имеющей целью обобщение аналитических результатов гл. 1 на случай, когда длительность обслуживания имеет пропзвольпоо распределение. Рассмотрим три различные постановки задач о прпоритстном обслуживании, 1. Прп поступлении требования первого типа обслуживание требования второго типа прерывается: после того как все имеющиеся требования первого пша обслужены, прибор возобновляет прерванное обслуживание требовании второго типа, причем оставшееся времн обслуживания этого требования уменьшается па то время, на протяжении которого это требование обслуживалось до момента поступления требования первого типа.
2. То же, с тем лишь отличием, что при возобновленшс обслуживания требования второго типа время, ранее потраченное на его обслунсиванне, не учитывается; все обслуживание начинается заново. 3. При поступлении требования первого типа обслуживание требования второго типа полностью прекращается и это требование теряется.
233 гл. 1. полуз1АРковскив модели систем ОБслужиВАния Кроме того, предположим, что во всех трех схемах приоритетного обслуживания требования первого н второго типов образуют независимые простейшие потоки с параметрами А1 и А, соответственно. Время обслуживания требования 1-то типа, 1= 1, 2, представляет случайную величину с функцией распределения В,(х) и преобразованием Лапласа — Стилтьеса 1Р ( ) = ~ с '"~В (х). о Обозначим чгреа т1 математическое ожидание времени обслуживания требования 1-го типа и предположим, что т1 и Тв конечны. Пусть 11(1) — время ожидания начала обслуживания для требования 1-го типа при условии, что зто требование поступило бы в момент 1; у; (1) — время ожидания окончания обслуживания того же требования, т. е.
время с момента 1 до того момента времени, когда указанное требование покинет систему. Введем следующие функции: Р1 (х) = Пш Р (у; (1) ~ х), 1 = 1, 2„ 1-- Г; (х) = Пш Р (у; (1) ~ х), 1 = 1, 2. Эти функции ниже будут определены посредством преобразований Лапласа — Стилтьеса 1р,(з), 1р;(а). В случае третьей схемы представляет интерес также величина р1, равная вероятности того, что произвольное требование Второго типа будет потеряно. Во введенных обозначениях мы не будем указывать зависимость их от схемы (1, 2 или 3), приняв такое изложение, при котором смешение невозможно. 2. Обслуживание требований первого типа. Требования первого типа обслуживаются совершенно независимо от требований второго типа; поэтому случайный процесс (,(1) — той же природы, что и процесс ((1), подробно изученный в начале главы. Согласно формуле Хинчнна если только выполняется условие Л,т1 ( 1.
Время ожидания окончания обслуживания равно времени ожидания начала обслуживания плюс длительность обслуживания; ввиду независимости слагаемых преобразование Лапласа — Стилтьеса суммы равно произведению преобразований сла- 237 з 4.8. пРНОРитетныг системы ОБслужиВАния гаемых, т. е. * (1 — А т ) Ф (г) 2Р (з) = 1 — — (1 — 2Р (2)) Х1 Г>отсе сложно исследовать соответствующие характернст со отношению к требованиям второго типа; этим вопросом мы и займемся в следующих пунктах.
3, Метод исследования. Для изучения характеристик обслужпзання требований второго типа по существу уже имеется разработанный математический аппарат: теория систем обслужизанпя с ненадежным прибором, подробно развитая в з 4.5. Действвтельно, обслуживание требований первого типа эквивалент- по выходу прибора нз рабочего состояния. Таким образом, вместо того чтобы рассматривать обслуживание требований двух тппов. можно рассмотреть схему обслуживания требований только второго типа, а обслуживание требований первого типа интерпретировать тзак выход прибора из строя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
