1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Пусть р — время от начала обслуживания требования второго тппа до того момента, когда прибор смол1ет начать обслуживание следующего требования второго типа, ОВ 2[2з(з) = ~ з 'зс[Р([)(х7. з Прп условии й,МР~4 будет иметь место формула Р2 З) (1 — Х 2 ) (1 — Х Мр) (2+1 [1 — Р (2Ц~ 1 1 2 о 2( 8 — А, [1 — Фа ($)) Очевидно, математическое ожидание времени пребывания прибора В «нерабочем состоянии», если выход из строя произошел во время отсутствия в системе требований (второго хипа), т1 1 — Хт' 11 так как указанное случайное время совпадает с периодом занятости прибора требованиями первого типа. Р[з тех же соображений Р, (з) равно преобразованию Лапласа — Стплтьеса распределения периода занятости прибора требованиями первого типа, Р,(з) определяется как единственное аналитическое и вещественное при положительных з решение 238 гл.
4. Полумхэковские мОдели систем ОвслужиВАния функционального уравнения Р, (з) = фДз + Х, — Х,Р, (з)1 (2) 4. Определение функции фр( з). В результате произведенных выкладок укаэанная функция является теперь единственной неизвестной функцией, от которой в силу формулы (1) зависит искомая функция ~у2(з). Рассмотрим каждую из намеченных схем обслуживания в отдельности. С х е м а 1. Если интерпретировать начало периода занятости прибора требованиями первого типа как выход прибора из строя, а окончание этого периода — как восстановление, то данная схема обслуживания будет в точности соответствовать схеме с выходом прибора из строя, рассмотренной в виде примера в п. 3 $4.5.
Использовав выведенную там формулу, получим 4 (з) = ~) (з + 3 — ), Р.( )), где Р,(з), как и выше„определяется формулой (2). В частности, если ф,(г) = ф(з), то в силу той же формулы Ыз)= Р.(з). Схема 2. В данном случае время р, распределение которого мы иссчедуем, можно представить себе следующим образом. Пусть (у.), (ь.), ($„) — три независимые последовательности независимых случайных величин, причем все у~ имеют в качестве преобразования Лапласа — Стилтьеса их распределения чч(з), все ~~ — функцию Р,(з), а все $< распределены по показательному закону с параметром Х,.
Коли у, ( $О то (1 = "(, (за время обслуживания требования второго типа не поступило ни одного требования первого типа; в этом случае требование второго типа покинет систему в точности через время, равное длительности его обслуживания); если $, < уо у2 ~ $„то р = ~, + $, + (, (за время обслуживания требования второго типа поступило требование первого типа через время $, после начала этого обслуживания; затем время, равное ~О длился период занятости прибора требованиями первого типа; после окончания этого периода обслуживание требования второго типа возобновилось, и до его окончания в систему не поступило ни одного требования первого типа); аналогично, если $, < то $, < "(„ ..., $ < у, "(„+, ~ $„+О то () = 3, + ~, + 3, + ~, + ... + $ + ~ + („„,.
В силу сказанного получим по формуле полной вероятности Р Р < л) = Х Р ($ < уо 1« ' л; у < $ з=ц $1+ 1г + $з + 1з + .. - + Ъп + 1 + уз+ < 4 (3) 8 1.8, пРНОРитетные системы ОБслужиВАния 239 Вслп заметить, что М [ е '"д Р (31 < х, $1 ~ у1) 11 ) е '" (1 — ВО(х)) е 11"О[х = О О 1 [1 "г (г + А)[ Х1 1 ~е-'"ЙОР(у1(хОу1(ф1) = ~е-('+~1)" [В (х) ( + ) ) О О то формула (3) после применения преобразования Лапласа— Стилтьеса получим следующее выражение: )О 1[18(г) = ~' ~ — „' [1 — 1[11(г+ ).1)[Р (г)) 1[18(г + ),1) = (О+А )1Р (О+А ) О+А — Х [Т вЂ” 1[1 (О+К )[Р (О) С х ем а 3. Воспольаовавп1ись случайными величинами ~ь еь введенными при исследовании предыдущей схемы, можем записать < у„ если у1 ( $11 $~ + ~„если 11о тогда легко видеть,что О[1а(г) = Ор (г+ Х1) + — 1 [1 — 1[18(г+ Х )[Р (г).
'+ 1 5. Определение функции Ф, (г). Для схем 1 и 2 время с момента 1 до момента окончания обслуживания требования второго типа равно уО(г)+ 3. так как ати случайньге величины независимы, то в обоих случаях справедлива формула Ф*О(г) = Ф, (г) 1[18 (г). Схема 3 допускает потери требований второго типа. Очевидно, любое требование будет потеряно в том и только в том случае, когда аа время его обслуживания в систему поступит хотя бы одно требование первого типа; отсюда следует, что вероятность потери Р=Р(й =уг)=1 — 1[18() ). Далее ясно, что в данной схеме обслуживания УО (г) = УО (г) + и 81, У1).
249 Гл. 4. полгмАгковские модели систем ОвслгжиВАния Поскольку Лд е-'"Н2Р(ш(п($д, уд) = х) дГ2(г+ Л ) + +д [1 — 2[~2(г+ Лд))2 о то Ф2 (8) = Ф2 (8) дуг (8 + Лд) + —, [1 — д[дг (8 + Лд)) Л,т, ( 1, Л2Мр(1. Воспользовавшись полученными выражениями для преобразований Лапласа — Стилтьеса распределения случайной величины р в каждой из трех схем обслуживания, получим: для схемы 1 Мр- тд!(1 — Л,т )2 эргодичности Л,т, ( 1 — Л,т,; схемы 2 Мк [1 д[дд (Лд))/Лд (1 Лдгд) д[дд (Лд) эргодичности Л [1 — д[ь(Л,)) ( Л,(1 — Л,т,)д[,(Л,); схемы 3 Мб = [1 — э, (Л,)уЛ, (1 — Л,т,), эргодичности Лг[1 — Ь(Л,)] с Л,(1 — Лдтд).
условие для условие для условие в 4.9. Обобщенная схема приоритетного обслуживания с ограниченной очередью 1. Постановка задачи. Рассмотрим систему массового обслуживания, которая в любой момент времени Ф характеризуется состоянием т(8) из конечного множества Х с выделенным элементом О. Если т(8) = О, то в данном состоянии требования в системе отсутствуют; при т(8)Ф О существуют требования и некоторое из них обслуживается. Имеется прибор, который обслуживает требование со скоростью а.
в состоянии т(д) тФ.Од если остаточная величина работы, необходимой для обслуживания данного требования, равна $(8), то $'(д) — дд О,. При начале обслунсивания требования в момент 8, если т(8+ О)= ч, величина работы по обслуживанию данного требования определяется как независимая от предшествующего течения процесса 6. Условие эргодичности. Все формулы, выведенные в предыдущих трех пунктах, справедливы только в предположении, что процесс обладает эргодическим распределением. В ситу (1) существование такого распределения равносильно выполнению неравенств 9 4,9, ОвовщеннАя схемА ПРиОРитетнОГО Овслуживання йя ,учайная величина с функцией распределения В„(х) и преобразованием Лапласа — Стилтьеса еу, (г) . Если о (1) = У, то за время Ю с вероятностью Леоййв независимо от предыдущего, может произойти переход У(8) в состояние р, пРи котором е(Г) не испытывает скачка: может „зменпться лишь скорость обслуживания.
С вероятностью же Л,"'дг происходит скачок, после которого ч(8+И)=)4 н начинается обслуживание нового (приоритетного) требования. Требование, обслуживание ко- |УМ торно прервано, остается в систепе; работа, необходимая для окончания его обслуживания, вапомепается, и при возобновлении обслуживания $(в) сохраняет то же значение, что и в момент, 1 когда обслуживание было прервано. д Если в данный момент 9 закончено обслуживание требованкя в состоянии т, т. е. У(à — 0)= -1 Е(1 — 0)= О, то с вероят- " Ое де д Ое ностью р, процесс ч(8) переходит Рис.
с в состояние д. Если при этом р те О, то либо начинается обслуживание нового требования, либо возобновляется прерванное ранее обслуживание. Будем считать, что по значениям т и р однозначно определяется то требование, к обслуживанию которого приступает система в новом состоянии. Если в момент 1 произошел переход У(Г) из УФО в состояние О, то начипается интервал незанятости (прибора). Примем следующие предположения: Е а,)О,ттаО.
2. Средняя величина работы по обслуживанию любого требования конечна. 3. Для любых состояний у, д существует такая цепочка соСтОЯНПй т =Уе, ОО ..., т„= Р, ЧтО ЕСЛИ а=те Р= т,.+„ТО ЛИ- бо Я)0, либо рое > О, либо Лф) О. й Пусть А и Б — любые операции обслуживающего прибора. Тогда, если в момент начала операции Б требование на операцпю А уже имелось, то А не может начаться до тех пор, пока Б не закончится. Назовем это предположение условием уноря- доченности. Обозначим еще Ло = Аа (Лоэ + Лез). Б сФормулированных предположениях нз общих эргодических соображений следует существование зргодического распре- ез в.
В. В. Гнеденко, Н. Н. Коваленко 242 гл. 4, полумАРИОВскив модкчи систгм ОБслужиВАния деления р, = Нш Р(У (г) = У), независимо от начального состояния системы. Наиболее интересна аналитическая сторона вопроса — алгоритмы нахождения этого распределения, на чем мы и остановимся. 2. Структура процесса. Обозначим через !у1 число прераанных обслуживаний в данный момент времени, если у (~) = = а(уФО). Очевидно, возможные значении 1у1: О, 1, 2, Если у = О, т. е. в системе требований нет, положим !у(1= — (. Процесс у(~) имеет следующую структуру (рис. 6): интервалы занятости (!у(г)!~ О) сменнются интервалами незанятости (1У(Г)1 = — т). Каждый интервал занятости состоит из интервалов (а, Ь) (на рисунке они разделены вертикальными черточками), где а н Ь вЂ” моменты начала и окончания обслуживания одпого н того же требования.
Примыкающие друг к другу интервалы типа (а, Ь) образуют цикл порядка О. Таким образом, если (а„ Ь,) — цикл порядка О, то 1у(ао — 0)!=!у(ь +0)1= — 4, !у(а,+ о)1=1 (ь — о)!=о. Внутри цикла порядка 0 могут быть расположены циклы по рядка 1, примеры которых — (а„Ь,) и(а„Ь,) на рнс. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
