1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Присвоенные ~~ким образом индексы будут иметь силу, пока ч(г) ие примет к~ваго значения. Обозначим теперь через $~(1) длительность вре- 17~ гл. о. пвименение Волке ОБщих методОВ мени с момента Ф до того момента, когда прибор с индексом 1 закончит обслуживание, длящееся в иомент с. Случайный про- цесс Ь(с)=(ч(Г); Ь(С), °, $ч ~(1)) в последующем рассмотрении будет основным. Введем обозначение р'ь (8; хы хо, ..., хо) = Р(ч(1) 1с; $т (1)~: х„$о(1) ( х„..., 3о(Г) (хо), 0(7с(п.
Ясно, что а значит, р.(1)-Р.(г " "." *") Ро —— Пш с"о (с; со, со, ..., Ос), (2) Обозначим ч,(с) число аанятых в момент 1 приборов с обслужи ванием, общая продолжительность которого менее а единиц вре. иени; т, (с) = т (о) — то (о) . Тогда Р (Р (Го + а) > О, ...о ч (го + па) 0) ~ ~Р (чо (1о + а) > >О ...Р,(с~+ па) )0) + ~ Р(тг(го+ йа) >0). (3) Е=г й — 1 о'1 Возьмем й=1, 1,=0. Если ни в одном интервале ( —, — )о 1~ о ([Уа1+1, не поступило требование с временем обслуживания, большим а — ьУУ, то будет т,(а)= О.
Отсюда ~на] -",-1 Р(ео(а) = 0) '~ П (1 — ~ В(а — +) + о(+)), (4) Такое же неравенство выполняется для Р Ьо (Уса) = О!Ро(а) > > О, . „Р,((й — 1)а)>О). так что нахождение функций ро(...) решит поставленнуЮ задачу. Т е о р е и а. Если т с, то случайный процесс ь (1) обладает эреодичесеим стационарныл распределением.
Доказательство. Введенный случайный процесс является регенерирующим. Докажем вначале, что моменты регенерации, за ноторые мы примем моменты, когда т(с — 0) О, т(~+0)=1, образуют бесконечную последовательность, или, что то же, каждый период занятости хотя бы одного прибора конечен с вероятностью 1. Пусть г,— момент регенерации, в — длительность начавшегося в этот момент периода занятости.
Тогда при а > О, и л х Р (в > па) ~( Р (т (го + а) О, *, т (1о + па) ) О). З аз. СИСТЕМА М)а~ ар ~ 0 261 а аа,р >=ар»,*р~ — р(вщрр~». а (5) Для того чтобы было тр(р))0, необходимо, чтобы в некотором интервале (х, х+ ах) поступило требование с временем обслуживания, ббльшим шах (а, г — х). Отсюда Р (т, (г) ) 0) ( й ~ В (шах (а, х — г)) Их « а а (й аВ(а) + ~ В(х) Нх ра. (6) а Из оценок (5) и (6) с помощью (3) получаем Р (ю ) па) ( (1 — е-а)а + пра. (7) ар рр рр Имеем аВ(а) = а) аВ(х)» ) х а В(х) — р-О; ) В(х) дх — ~ 0 как а а а остаток сходящегося интеграла. Поэтому ().- О, а- .
Теперь из оценки (7) легко заключить, что Р(ю.»з)-~0, з-, т. е. ю — собственная случайная величина. Это и требовалось доказать. Средняя длительность интервала, в котором т(г)= О, равна Ир; в то же время для ра(р) = Р(т(р) = О) имеем аналогично (5) оценку (8) р,(г) ~ е '. Отсюда получаем, что математическое ожидание интервала занятости конечно. Эргодичность процесса ь(г) следует теперь из теоремы Смита для регенерирующих процессов. 2.
Доказательстве формулы Севастьянова. Здесь будет дано доказательство формулы Севастьянова, основанное на вложенной цепи Маркова. Обозначим через г„ момент поступления в систему п-го требования (и ~ 1). Пустьр", (х„ ...,хь)обозначают вероятность события, состоящего в следующем. В момент ҄— 0 занято й приборов, а именно приборы с номерами 1„..., 1р, до окончания текущих обслуживаний осталось менее хр, ..., х, единиц времени. Докажем, что р'„'ч, (х„..., х„) имеют пределы, не завиюй,...а„ сящие от начального состояния. Использовав для любого сомножителя правой части (4) форму- лу 1 — я=ехр( — с+о(з)) и устремив Л к бесконечности, по- лучим Гл. б.
пгименение БОлее ОВщих методОВ 262 Из математического закона стационарной очереди будет следовать, что стационарные распределения цепи Маркова = (ч(à — О); $1(1 — 0), $ (à — О), ...) и случайного процесса ь(1) совпадают. Пусть д — число требований, обслуженных в течение интервала занятости о1. Тогда ~ + 1 — время возвращения Ь в состояние О. Имеем Р(Х) и) = Р(з, + ... + з (а1), (9) где з, — интервалы между поступлением требований. Далее, Р(з,+ ... +1„~(а1)( ( Р (11 + ...
+ г ( и/(2Х)) + Р (1о ) и/(2Л)). (10) Если будет доказано, что правая часть (10) — общий член сходящегося ряда, то в силу (9) получим, что МХ= Х Р(Х)и)( из а (11) Во-первых, ~ Р (1о ) и1(2й)) ~ со вследствие конечности М1о. Во-вторых, при любом з ) 0 Р (11+ ... + хи~~ И/(2)))(зхил'М(МЕ "')" = = (ек11>/(1+ з/)))" = ехр( — и ( —., + О (зз))~ рз„' ль(х1, ..., х„) = —,(т — Й)!)" ПВ(Х1). 1=1 Так как время между поступлением требований распределено (при з- О). Таким образом, Р(з, + ...
+ з„(и/(2)))< 0", 0(0<1, Итак, среднее время возвращения ~„в состояние 0 конечно. К тому же возможен переход из О в О за один шаг (с вероятностью ) е-ь"1)В (х)). Следовательно, (~„) обладает эргодичео ским распределением. Введем обозначение Р„(А) = Р(ьи ее А). Поокольку распреде ление — эргодическое, для доказательства формулы Севастьянова достаточно показать, что если (Р„,(А)) задается этой формулой, то (Р (А)) будет иметь тот же вид. Обозначим п д" Рзн1,...лз(х1~ т Хз) дх дх ~ ьи1' .лз(х1~ ...1 Хз) и положим з 5.4.
БОлее сложные системы с потевяыи 263 по показательному закону с параметром Л, то ро)с,...,со (х1 ., хо) = Л ~ е мср),(Е; х1, ..., хо) с(Е, 11 ° ° .,сз о где срв(1; х„..., х„) — условная вероятность интересующего нас события при условии, что ń— е„с= Е. Формула полной вероятности приводит к равенству т! (Лро) р»)с, с (хсс ° ° ° с х») = 0 пс-1 = (т — й)! ~ е-"11.
~Пй + ~~ ь ) ~е 1)В(1) Ь' П«М» о где для сокращения записи обозначено с о Ь = ) В (х) дх, П = П В (г + хс). о с=1 С помощью интегрирования по частям выводится равенство ~ е )')В(Г) Ь" П сМ с вэ » — !.— В' ПС! —,— ',); 'В'В П()а.;. ~ ВВР В „УВ Р С се)~ о о 1=1 Подстановка последнего равенства в исходную формулу дает т! (Лро) 'р»)1,,„.„„(х1»...с хо) = 1 = ) — в)) х-'(.— 'п(свж с т «во ~.*,))во -с в) ~- о 1=1 = — (т — Ус) ! Лз 1 ) с! (е "'П) = о == — (т — й)! Л' 'е Ц В(1+ хс))!с"=о = ()п — Уо)! Л~ 'П В (хс). с=1 1-1 Формула Севастьянова получается суммированием по !О и интегрированием по х„..., хо. з 5.4.
Более сложные системы е потерями Рассмотрим несколько более сложных систем с потерями, объединенных следусощимн общими особенностями: 4. Вероятность поступления требования в интервале (с, е+ ссс) зависит от «качественного» состояния процесса в данныи момент времени, но не зависит от предыстории. Гл.
6. пРименение Более ОБщих методов 2. Обслуживание требования характеризуется некоторой функцией распределения величины работы и скоростью выполнения этой работы в том или ином состоянии. 3. Вероятности «качественных» состояний (значений дискретной компоненты марковского процесса) в стационарном режиме не зависят от вида распределения величины работы (времени обслуживания) при фиксированном математическом ол1ндании этой величины.
4. Если известно, что в данный момент времени (в стационарном режиме) система находится в определенном качественном состоянии и осуществляются определенные операции обслуживания, причем $„..., $,— остаточные величины работы (длительности обслуживания), то $, ..., ф„независимы и имеют плотности вероятности р;(х) В<(х)/тэ ( <1( й, где 8,(х) — функции распределения величин работы (длительностей обслуживания), реализуемых в моменты .поступления требований того или иного типа. Доказательства формул приводиться не будут.
Принципиально все онн укладываются в схему, приведенную в 3 5.3 прн доказательстве теоремы Севастьянова, хотя во многих случаях доведение конкретной схемы до окончательных формул требует большой изобретательности. Оригинальные доказательства, полученные различными авторами, основаны, как правило, на дифференциальных уравнениях для многомерных марковских процессов с качественной компонентой и изменяющимися по линейному закону дополнительными компонентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
