1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 51
Текст из файла (страница 51)
270 ГЛ. 5. ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ Для сокращеяия дальнейших формул введем векторную символику. Будем обозначать одиой буквой й набор (й() ..., й,); тогда можно писать Л((й)=Л (й(, й„...), Р(й)=Р(йп) ...). Через е» обозначим вектор вида (О, О, ..., О, 1, 0, ..., О). При употреблении обозначения суммы векторов будем иметь в виду обычное сложение. Поскольку в принятых предпосылках (5) процесс т(1) будет марковским, обычными методами для него составляются уравнения, связывающие вероятвости различных состояний. Следует только помнить, что в данном случае возможны сразу два перехода процесса из состояния в состояние в один и тот же момевт времени: элемент вышел из строя, но длительность восстановления оказалась равной нулю.
Поскольку, однако, при этом происходит возвращение в исходное состояние, подобных переходов можно вообще не учитывать. Система уравнений, относящаяся к стационарному отучаю, имеет следующий вид: с »(7(» 7(7 — ' .;. 2 -' р )» ( р) р .~. х х (Й) ] р (А)— ь» р(й+ е») + )' — р(й+ е») + а (Ь,. +1) Ь, + 1 т» р + Л»(й — е,)рр(й — е») + ~ Л,(й — е;) р(й — е;), (6) »Ф» При этом следует принять Л)(й)р(й)=0, если й=(йо й„..., й,) и ш»п й»(0.
»Е)Ер Это соответствует вероятностному смыслу постоянных р(й). Сравнив коэффициенты при 7» в обеих частях равенства (6), получим с ь» ь»+ 1 — » + Л» (й)~ р (й) — ' р (й+ е») + Л» (й — е;) р (й — е). (7) Если фиксировать йь где 7 Ф 1, то система уравнений будет иметь ешение Р ь ю т»» р(й) = — ПЛ»(й — ге») р(й — й»е»). (8) »р»! Фиксировав аатем в (8) все йь кроме й, ий, 5 можем выразить р(й) череа р(й — й,е» вЂ” йке») и т. д.
Окончательно получаем р ),. 55+.с Ь)рр / Р»-5 »~ где (7„1„...,7„,+ .. +5,) — набор целых чисел, из которых $6.4. БОлее сложнык систкмы с потегями 271 ровно й, равны 1, где 1 — любое число от 1 до г, равные между собой элементы данного набора расположены в нем рядом.
Поскольку 1, »' и т. д. можно выбирать в произвольном порядке, формула (9) (при не равном нулю р(О), что, очевидно, и»1еет „1есто) иепротиворечива тогда и только тогда, когда выполнена систем а уравнений (3) . Д о с т а т о ч н о с т ь. Рассмотрим другую схему, в которой врс!шолагается, что все элементы системы разнотипны, т. е. вектор состояния ч(!)=(т,(г), ..., ч,(»)) может иметь в качестве компонент лишь нули и единицы; в остальном все предположения, принятые в начале пункта, сохраняются.
Оказывается, что новая схема столь же обща, как и первоначальная. Действительно, в силу конечности общего числа элементов можно состоянию ()„„..., й,) исходного вектора сопоставить любой вектор вида (х, ..., х» , 'хл чы °, хл ьк ', ...', хл„-» ..+к +м ° ° °, хл +с. ьл ) с компонентами О и 1 так, что среди первых У, компонент ровно й, едпнпц, среди следующих за ними № компонент 7г» единиц и т. д. условимся считать (здесь это существенно!), что при выходе пз строя элемента некоторого типа с равной вероятностью обращается в единицу любая из нулевых компонент соответствующего массива.
Легко проверить, что при этом условии для процесса в новом пространстве состояний выполняется условие (3). Доказав достаточность условия для новой схемы, для исходной получим то же утверждение, просуммировав соответствующим образом вероятности «микросостояний». Обозначим»'"» (х;, ..., х; ) стационарную вероятность того, что в данный момент времени в неисправном состоянии находятся те п только те элементы, номерам которых соответствуют елпявчвые компоненты вектора й, и при этом до окончания восстановления каждого из них осталось менее х;,,, х~ 1Г''Э ехпнпц времени соответственно.
Приравнивание распределений, относящихся к моментам $ и 1+й, приводит к системе дифференциальных уравнений 'и» дд, -» .~,—" — 7,(й) Р»+,'~~ Р»,,~; (й — е») Д,(х!) = д=» 3 г=-г где р»,, зависит от тех же переменных хе что и г"„кроме х;; Р»,.; = О, если вектор й~е, содержит компоненты, отличные » от О и 1; Л(й) = ~ Х;(й). Непосредственной подстановкой (9) з=» (1О) проверяется, что данное распределение стационарно. "!ожно показать, что процесс обладает эргодическим распреде- ГЛ.
5. ПРИМЕНЕНИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ 272 лением. Альтернативный путь доказательства — использование тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы Севастьянова. Заметим, что если з„— я-й в порядке возрастания момент восстановления элемента, то ~(з„— О) образуют вложенную цепь Маркова, распределение вероятностей которой определяется функциями (дР«7дх;) („. «.
Каждое уравнение системы можно проинтегрировать, получив в результате интегральное уравнение относительно функций (дР«~дх;))„,. «, т. е. таким образом получается система уравнений для зргодического распределения вложенной цепи Маркова. 5. Дальнейшие обобщения. Кениг и Маттес обнаружили весьма интересный факт: формулы Севастьянова остаются в силе, если отказаться от предположения, что длительности обслуживания различных, требований взаимно независимы. Последние оказывается, могут быть произвольно связанными случайными величинами, Обладающими эргодическим распределением. Далее, Кениг и Маттес ввели в рассмотрение «маркированно» обслуживание»: обслуживание каждого требования состоит ИБ нескольких этапов, которым приписаны определенные признаки, Тогда формула для вероятностей состояний с учетом признаков обслуживаемых требований будет зависеть лишь от математических ожиданий длительности различных этапов во время отдельного обслуживания.
Формула (4) (при условии (3)) таки«» допускает обобщение на случай, когда длительности обслуживания произвольно сзяаакы (с условием эргодичности) и обслуживание раабивается на ряд этапов. Докааательстзо данного факта весьма громоздко; оно требует оперирования с инвариантными мерами в пространстве бесконечных последовательностей. Рассмотрим следующий, более частный, но тем не менее богатый интерпретациями случай. В первой из приведенных выше схем откажемся от условия независимости длительностей обслуживания. Пусть имеется г независимых цепей Маркова на фазовом пространстве (Х, Я) с эргодическим распределением я(дз) и переходной функцией д(дг~а«). Переходы «-й цепи Маркова привязаны к моментам начала восстановления «-го элемента.
Определим случайные процессы г~(г), ..., Х,(1), где х~(1) — состояние «-й цепи Маркова посля перехода, связанного с последним перед моментом 8 отказом «чг» элемента. Воли в момент г произошел отказ «Его элемента и процесс г;(«) перешел в состояние г, то время восстановления ц; данного элемента имеет функцию распределения В;(х~з) с непрерывной по х и я-измеримой по з плотностью Ь~(х~з), причеаэ т; = ) () ХЬ«(х ( з) Ог) я (йз) ( со. х « е 5.4. ГОЛЕГ СЛОН1НЬ1Г СПСТСМЫ С ПОТЕРЯМП 273 Предполагается, что в описанной ситуации Ч1 не зависит от всей предыстории процесса; таким образом, цепи Маркова как бы вбирают в себя возможную зависимость между длительностями обслуживания элемента.
Обозна шм через Ра(гег„.... 4(г,: х;,..., х;,) стационарную вероятность события, состоящего в том, что э (е) = Й =- = е; + ... + е;, и ~рн этом г,(е) с йн 1 <1 - з; остаточные длительности восстановления мопыпе х;,, ..., х,,; 15 ( ° ° . ) = д1ое'4 (...) . Из (10) й " "Хе, " — Х (й) га + дг. + ~л Хд (й — е;) ~ ~а,, (... Йа...) се(е(ге ( и) г(иЬ1(,гд(г;) + 1=1 эт е + ~ Уааед~„г, = О. (11) 5=1 Проверим, что системе уравнен1гй (11) при условии (3) удавлетворяет следующее распределение: ~5 (о(г„ ..., 4(ге; хо, ..., х;,) = = реЛдл(Иге) ... л (е(ге) В4,(х;,~г;„)... В;,(х;,~ г;,), (12) где Ла = Х; (0))44е(е;,)... Х;1(е; + ... + в,;,,).
Кл1очевым моментом доказательства является то, что прп подстановке (12) в (11) в правой части разделяются переменные и выделяется интеграл ) д (с111 ! и) л (4)и) = л (1(г;), что дает возможность сократить обо части уравнения на л (1(г,)... л (4(г,).
В результате полу гаем систему уравнений, в которую, кроме постоянных, входят лтппь В,(х), ь,(х). легко видеть, что полученная система представляет собой тождество. Рассаготрнае еще простой случай, когда в условиях теоремы предыдущего пункта длительность обслуживания 10 требования .1чго типа может складываться пэ нескольких этапов. Пусть (Т, Т+ ть) — интервал обслуживания требования иго типа. Предположим, что для всех 1 из этого интервала определен процесс а(г) со значениями яо ае, ..., и, ..., причем длительность пребывания в состояния ан имеет в качестве математического ожидания т; 2~ тдн = т; 4 т=т 18 Б.
в. Гнененко, П. П. Коваленко ГЛ. 5. ПРИМЕНЕИИЕ БОЛЕЕ ОБЩИХ МЕТОДОВ 274 Форь1ула (4) дает суммарную вероятность обслуживания требовании разлп1ных типов. Пусть известно, что обслуживается некоторое требование у'-го типа. Тогда условное распределение остатка времени обслуживания согласно (10) будет иметь плотность В;(х)/т1, х= О. (13) Вычислим условную вероятность (при указанном условии) того, что сг(1)= из (т= 1, 2, ...). Проще всего это сделать, применив иден теории восстановления.
Как известно, для процесса восстановления с Р(х)=В(х) плотность вероятности времеви до ближайшего восстановления имеет вид (13). Следовательно, вероятность попасть на тот или иной участок Ч1 — такая же, как если бы имел место процесс восстановления 1 1 2 2 2 11 = Ч1ь 12 = ЧГ + ЧП ° ° ° ~ 12 = Ч1 + Ч11 + ° ° ° + Ч2 ~ ° ° ° ~ где Ч; — независимые Реализации слУчайной величины Чь Но тогда вероятность попасть в точку, где а(1)= т, равна отношению среднего времени пребывания в этом состоянии ко всему времени: Таким образом можно найти как суммарные вероятности обслу» жнвання, так и условные вероятности пребывания в различные состояниях а1, 22„ ... Задача решена полностью.
Пример. Имеется система массового обслуживания с поте. рями; т приборов; поток — простейший с параметром ) . Дли. тельность Ч, обслуживания требования — случайная величина. Если в момент ~ началось обслуживание требования, то и предположении, что Ч, ) х, прибор может выйти из строя до момента 1+х с некоторой вероятностью. (Время безотказном работы обозначим Ч1.) В этом случае требование теряется, а прибор начинают восстанавливать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
