1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Тогда Р(х) при е О сходится к решению дифференциального уравнения а(х) — + — р(х) —,, = О Ыс т Нс (2) со следующими граничными условиями: (3)' о(а) = О, о(Ь) = 1. (4) (3) (О) М~„= — е, 0~„= о'е, о' >О, М(~~ьз[Е(~„— т) + Е(т — ь„)[) = о(е). Очевидно, в этих условиях р — 1. Пак было показано выше, стационарное распределение длительности ожидания произвольного требования равно распределению максимума сумм независимых случайных величин Ь при условии, что ~, = — О.
Следовательно, мы имеем случай, когда нижний барьер находится в точке — , а верхний в точке х. Можно, однако, считать а = — , Ь = О; тогда будем иметь 1 — Р(х) = о( — х). Подставим в уравнение (2) формулы (3) и (4), кото- Заметим, что подобный же результат справедлив и для случая, когда нижний барьер уходит в — ~, если только а(х) и р(х) удовлетворяют некоторым дополнительным аналитическим условиям (ограниченность роста о(а) при а- — сь; ограниченность сверху и снизу р(х)).
Сформулированная теорема позволяет исследовать однолинейную систему массового обслуживания, рассмотренную выше, в условиях большой загрузки (р- 1, оставаясь меньше 1). Допустим, что случайная величина ь, определенная в $5.1, зависит от малого параметра е, так что з 6.6. системы с Вольшон 3АГРузкОЙ 285 рые дают а(х)=-1, р(х) о', а« И~а И вЂ” — — — =О, 2Н» ах и(О)=1, ) и( — ао) = О.
/ Уравнению (7), общее решение которого имеет вид и (х) = Сеа + С1, (7) (8) с учетом граничных условий (8) удовлетворяет единственная дважды непрерывно дифференцируемая функция а» и(х) = е откуда 1» а» хч(х) =1 — и( — х) = 1 — е (9) и = зпрх„, а>О где х, =О, х„=х„,+ ь„, и > 1. Обозначим через р вероятность события А1 = (шах(ха) >О), через ю1 — первый положительный а>1 элемент последовательности (х„х„...), через Р, — номер этого элемента в данной последовательности. Таким образом, при наступлении события А, имеем «)1 = х, > О. Можно записать 1 и = е)1 + зпр х,, И) п>1 где х„' = х„„, — х, = х„+„— «)1.Аналогично предыдущему мож- )1) 1 1 " 1 но определить событиеА» (шах (ха ) >О), при наступлении ком) а>1 торого и) = е)1+ е)1+ зпр х„, и т.
д. В результате получим (1) а>1 а ю= 2~юй, 1=1 где о — число «рекордов» в последовательности (х, и > О). Заме- чаем, что )» (с = у) = (1 — р) ~ 1 ~ ~О~ Мы видим, что в условиях большой загрузки распределение длительности ожидания приближается к показательному. Отметим еще элементарный вероятностный подход к решению той же задачи. В з 5.1 было показано, что предельное распределение и1„при н- совпадает с распределенизм величины Гл. з.
пггтг|ененпе Более овщггх методов и прп условии (о = у) случайные веллчпны аг„— приращения «рекордных достижений» вЂ” имеют одно н то же распределение 6(х). Для случайной величины го нами получено то же представление, что и для интервала ггегг<ду событиями разреженного потока восстановления (гл. 2). Непосредственным следствием результата гл.
2 о распределении данной величины является следующая Т е о р е м а. Пусть р и С (х) зависят от парагзетра е ) О, р — 0 >гри е — О, т = ~ хгго(х) и д.гя некоторого е,) 0 зпр — ) С(х) г1х- — » О. (10) »<«<о т з т ю о т Тогда Р(рго)тх) — » е ", х)0, е о равно»зерно по х ~ О. 2.
Использование принципа инвариантностп. Пусть (зе(1))— последовательность случайных процессов, слабо сходящаяся к случайному процессу $(г). [Слабая сходигюсть означает сходнмость Р($л(гг)(хп 1(г~(й) Р($(1г)<хг«1~(г~(Ус) для любых ач 1о ..., г„; х„..., х„, для которых Р(а (гг) = хг1 = О.) Пусть имеется функционал )(х( ) ), определенный для функций х(1), О = 1 < Т. Рассмотригг случайные величины Х» = =г(з. ( )), Х= У(з( ° )).
При некоторых дополнительных условиях распределение Хе слабо сходится к распределению Х прн ггг -1- оо Пусть х=х(г), у=у(г) — функции на отрезке 0(1(Т, р (х, у) = впр )х(г) — у(г) / и функционал непрерывен в дано«г«т ной равномерной метрике: / (х) — — ~ (у). (В частности, этому условию удовлетворяют функционалы вит да зпр х(г), гп( х(г),) гр(х(г)) ггг при равномерно непрерывной о«гет о«г«т функции гр(з) .) Принцип инварпантностн Данскера — Прохорова гарантирует слабую сходимость Хв к Х, в частности, в случае, когда $(г)— стандартный винсровскпй процесс, о»в (г) — случайная ломаная с узлагш в точках а/г"г, причем Ь г= ье(гПЧ) — оьн((г" — 1)/гт)— З ОЛ.
СИСТЕМЫ С БОЛЬШОЙ ЗАГРУЗКОЙ 287 независимые одинаково распределенные случайные величины; М1хо=О, 0~хо= 1/А', Мьио1 (! Ьо ~ ) е ~')У') „О для любого е)О, где 1(А) — индикатор события А. (Последнее условие есть хорошо известное условие Линдерберга.) Пусть распределение К(х) случайных величин ьо в системе 61(П!1 зависит от параметра )у и выполняютсн сформулированные выше условия в обозначении Ьо= Ьзо. Поскольку в данном случае юк,т = шах$л(1),то распределение иЪ, прн У- оо (нао~о~г помним, что К(х) также зависит от )о!) сходится к распределению шах $(1).
если условие Мьло = О заменено условием ооз~ т М,"хо = — а/Л', то распределение ююг сходится к распределению велпчины шах Д(г) !- аг1. Таким образом, удается исследовать о золт как систему с критической загрузкой (р = 1), так и системы с докритической (р(1) и сверхкритической (р >1) загрузкой. В многочисленных работах различных авторов найдены предельные теоремы для мпогцх стационарных и нестационарных характерпстик систем, находящихся в условиях, близких к критическим. 3. Теория А. А.
Боровкова. В монографии А. А. Боровкова (2) развита общая теория предельного поведения процессов массового обслуживания при очень общих условиях относительно потока требований, длительностей обслуживания и структуры самой системы. А. А. Боровков характеризует поведение системы обслуживании трехмерным случайным процессом Я(г) =(е(1), Г(!), У(!)), где е(Г) — число требований, поступивших в систему до момента Г, г(Г) — число отказов и з(1) — число обслуженных требований. Введенные функции — произвольной природы; предполагается лишь, что величина д(1) = е(Г) — г(1) — з(о) всегда неотрицательна. Эта величина называется величиной очереди. Па локальное (в соответствующем масштабе времени) поведение процесса Я(1) налагаются условия весьма общего характера.
Эти условия относятся к поведению в области, где д(г) больше критического значения. Если же д(1) меньше его, то появлнется большое разнообразие вариантов поведения в зависимости от структуры системы и конкретных распределений. Однако предельные результаты оказываются инвариантными относительно ннх. А. А. Боровков получил предельные теоремы для многолинейных систем с ожиданием и с потерями, в частности, прн неограниченно увеличивающемся числе приборов и стремящейся к бесконечности интенсивности входящего потока.
Управляющие последовательности (ннтервалов между поступлением требований и длительностей обслуживания) — общие стационарные в узком. смысле случайные последовательности, удовлетворяющие условиям самого общего характера (например, условию сильного ГЛ. К ПРН5!ЕНЕНПЕ БОЛЕЕ ОБЩПХ 51ЕТОДОВ 288 перемешнвания). Предельные процессы оказались весьма сложного характера; они сводятся к диффузионным процессам лишь в частных случаях. чь Аснмптотическая инвариантность. Н. Ю, Кузнецов (1) рассмотрел случай, когда данное условие инвариантности выполнено с точностью 0(е).
На базе аналитико-статистического метода разработан алгоритм вычисления поправок к стационарным вероятностям состояний с точностью о(е). В работах Н. Ю. Кузнецова [3) и (2] предложен метод вычисления стационарных вероятностей состояний системы С1~С~т!О, у которой входящий поток требований в определенном смысле близок к простейшему. Влпзость понимается в следующем смысле.
Пусть функция распределения г" (х), определяющая рекуррентпый поток требований, зависит от некоторого малого параметра е ) О и $ — случайшая величина с функцией распределения 1г(з). При определенных условиях ь может быть представлена в виде $=б($0, ЧО ", Ч,.), где $ь Ое ..., ц„— независимые случайные величины, причем 5, имеет зкспоненцпальное распределение, а це ..., ц„— некоторые специальным образом подобранные случайные величины. Условие близости рекуррентного потока требований к пуассоновскому состоит в том, что Р( а., „,ц.М~.)-,,О При выполнении данного условия Н. Ю.
Кузнецовым разработан аналптнко-статистический метод расчета отклонения стационарных вероятностей состояний системы С1~С~т~О от соответствующих вероятностей системы М~С!т~О. й 5.7. Системы с малой загрузкой 1. Вступительные замечания. В з 5.6 была рассмотрена теория систем массового обслуживания с большой загрузкой. Эта теория применима в практических проблемах, для которых характерно накопление больших очередей. С другой стороны, существуют многочисленные проблемы, где, напротив, накопленпе очереди недопустимо: оно может привести к большим материальным затратам, авариям п другим нежелательным последствиям. Особый интерес представляет подобная постановка задачи в теории надежности, коль скоро ставится задача синтеза высоконадежных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
