1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Обозначим Л(а, Ь, с) суммарное время пребывания в интервале (Ь, с) требований, поступивших в интервале (а, Ь). Очевидно, эта функция не возрастет по а н не убывает по с, но конечность Л будет доказана несколько ниже. Можно записать т лит) 1т(1)Ю= ~иА+Л( — оо О,Т) — Л(О,Т,оо), Т О.
о 1=1 Отсюда т нсг) — ~" Р(С) (С~ — — ~~ РА+ А( — оо, О, оо)!Т. 1 Г А1 1т) 1 СА т 3 -- т 1у(т) я-'~ о А=-1 з 5 8. твогеыА лпттлА и ее слвдствпя Таким образом, если Л( — сс, О, ) — собственная случайная величина, то В ~ йу.
Аналогично, о н~-т>-1 ~ т(г)дг= Х о-к+ Л( — со, — Т,О) — Л( — Т, О, со), а=в откуда з щ — т>-1 А' ( — т) () т . — — Л( —,О, )Т, к=о а следовательно, В ~ Л)т. Итак, остается показать, что Л ( — , О, ) — собственная случайная величина. По определению Л( — со, О, со)~ (~~ (о к + 1 к)+. По условию 1 г „( — с)с, й ~ к=а кч(а), где в — элементарное событие. Из эргоднчности (о,) з-г 1 следует, что — т о-ь -~ Р с вероятностью 1 и, в частности, к=о е т — о „-+ О с вероятностью 1. Значит, лишь конечное число слагаемых суммы ~~(к-а + 1-к)+ отличны от нуля. Отсюда следует, что Л( — сс, О, ос) — собственная случайная величина.
Замечание. Формула (2) устанавливается аналогично. Следствие. В системе СУ~С~т в установившемся релсиме среднее время ожидания (пребывания в системе) не зависит от правила выбора из очереди. В частности, при случайном равно- вероятном выборе и при инверсном выборе (при освобождении прибора на обслуживание поступает требование, пришедшее последним) среднее время ожидания то же, что и при обслуживагит в порядке очереди. Приведем пример системы обслуживания, где это свойство нарушается (естественно, изменяется и средняя величина очереди). Рассмотрим систему М)6~1, в которой при поступлении требования текущее обслуживание прерывается и на прибор поступает вновь прибывшее требование. При окончании какого-либо обслуживания иа очереди выбирается требование, поступившее позднее других.
Описанная дисциплина обслуживания называется дис'чиплиной инверснозо обслуживания с прерыванием. Как обычно, обозначим: л — параметр входящего потока, В(х) — распределение длительности обслуживания, ч (возможно, с индексом) — длительность периода занятости. Дчя требования, у которого длительность обслуживания ц равна х, время о пребывания в системе складывается ич времени обслуживания и случайного числа ( интервалов занятости (требованиями, поступившими позднее данного). Величина (, распре- ГЛ. 5. ПР1Ш1ЕНЕННЕ БОЛЕЕ ОБЩПХ 51ЕТОДОВ 296 делена по закону Пуассона с параметром Хх.
Отсюда М (и [ ц = х) = х + М ~~„" ~ь = 5=-1 = х+ ХхМь = х+ ):,хт>(1 — р) = х/(1 — р), Ми = т>(1 — р). Если понимать под временем ожидания ш то время, когда требование ожидает возобновления обслуживания (а не начала, как прн обычной дисциплине), то п = и + >Б откуда Ми = рт)(1 — р) = Хтз,>(1 — р). Интересно заметить, что при обслуживании в порядке очереди Ми> = ь(тз + Оз),,'(2 (1 — р)), где аз — дисперсия длительности обслуживания; следовательно, данная дисциплина выгоднее прм О) т. При показательном законе обслуживания имеем О=т, и обе дисциплины дают одинаковые значения Мш. Это свойство очевидно и нз вероятностных соображений: в данном случае переключение прибора с одних требований на другие не влияет на поведение величины очереди. Комментарии Реп>енню уравпепня (12) 1 ЗЛ и ему подобных посвшцена большая лнтерзтура.
Здесь развякались комбнпаторные методы з тесной свнзк с теорней функции комплексного перемонного н гармоннческкм анализом (методы Винера — Хопфа, М. Г. Крейна). Панболыпнй вклад в развитие вероятностно-аналптнчсского аспекта проблемьг впеслн Поллачек, Спнтцер, А. А. Боровков, В, М. Золотарев, В.
С. Королюк, Б. А. Рогозин, Д. В. Гусак. Созременноо состояние вопроса см. А. А, Боровков [Ц. Обобщен>гго апалятнческой теарнн системы С1~С]1 косвнщепы рабаты Рассберга [2], Россберга н Зкгеля [Ц, [2], Е. 3. Климовой [Ц. Развнткю метода Винера — Хопфа в пркменепкк к теории массового обслуживания посвнщены, кроме упомянутых в тексте, рабаты Прабху [2]„В. А. Малышева [Ц. Многкс результаты об ограннчеппых случайных блуждавнях, имеющие кптереспые приложения к теории массового обслуживания, нринадле>кат Б. А Рогозину [Ц, В. М. Золотареву, А.
А. Боровкову, З, Л. Пресмзну, В. С. Королюку, Д. В. Гусаку, И. И. Ежову. В связи с изучением системы С1]С]з> упомянем работы Унтта [Ц, Ц Л. Проспала [Ц. Зргоднческпе теоремы см, Ю В. Прохоров, Ю. А. Розанов [Ц, Лойнс [Ц, В. М. Шуренков [Ц, И. Н. Коваленко, Н. 10.
Кузнецов, В. М, Шуренков [Ц, В качестве примера пркмененпя зргоднческнх теорем к системам с огранвченнямн укажем работу Л. Г. Афанасьевой и А. М. Мартынова [Ц. Соотноп>ення между стационарным распределенном и раснределеннем вложенного процесса обслужнванкя см. Кениг, Шмидт, Штойян [Ц, Франкон, Кениг, Арндт, Шмндт [1]. По системам с большой загрузкой см.
так>не Т. А, Азлзров, Я. М. Хусаинов [Ц. Первое строгое доказательство формулы Зрланга для системы М)С(т(0 было дано Б. А. Севастьяновым в работе [Ц. В нредиоложеннк, что рас- КОММЕНТАРИИ 297 прсделенпе длительности обслуживания непрерывно, обобщение формул зрлгпга получил Р. Форте [Ц . Теоремам ннзариантностн в теории массового обслуягнвапия посвящены следующие работы: Г. П. Башарнн, В, Я. Кокотушкнн [1], Чейкен. Иго„лл [)], Чэндн, Ховард, Таусли [(], Б. Т, Гусейнов [(], [2], И. Н. Коваленко [12], П.
И. Жук [(], Такач [5]. результат з 5.4, н. 6, получен Е. Н. Богданцевым, Г. Ш. Цатуряном и Л, Л Сукиасяном [4] методом полумарковских процессов с контнпуальным фазозым пространством. Заметим, что результат следует из книги Франкепэ Кгннга, Лрндт и Шмидта [Ц. В статье Штойяна [3] исследована задача ипвариантности для сети оогл)окнвапигь Сеть состоит из В пунктов обслуживания. Входящие требования, образующие простейший поток, поступают на один нз пунктов с определенными вероятностями. После окончания обслуживания па 1-м пунк- 11 треооеание поступает с вероятностью р11 па (-пункт либо с вероятностью р , к+~ покидает систему, Время обслуживания па Ьм пункте имеет <рункцию распределения В1(х), которая для некоторых 1 экспонепцнальна, для других — общего вида, Предположим, что для пунктов обслуживания, длн которых В1(т)— п1эксоопенциальпое распределение, имеет место один из трех случаев: 1) число приборов оесконечно, 2) число приборов равно Ц 3) число приборов произвольно, причем требование с наименьшим остаточным временем обслуживании обладает абсолютным приоритетом (дисцппэвна Шраге; см.
Шраге, Миллер [Ц, Шраге [Ц). Стационарный режим системы инвариантен относительно вида В,(*) для «непоказателыпэхэ пунктов обслуживания при фиксированных Пслломэль [(] рассмотрел сеть обслуживания, состоящую из нескольких пунктов, на которых обслуживание происходит по показательному аакопу с парамотром, зависящим от состояния данно~о пункта и сети в целом, Вероятности переходов требований между пунктами могут также эавпсоть от состояния сети так, чтобы вся сеть описывалась непрнводнмой пенью Маркова, Для таких сетей формулируется условие статистического равновесия. Лизен и Кениг [4] описали сетевую модель обслуживания, охватывающу1о широкий класс изучавшнхся в литературе сетей очередей открытого, замкнутого и смешанного видов.
Объектом изучения являются стационарные вероятности состояний. Устававлива1отся условия, при которых этн вероятности имеют мультипликзтивную форму, и подчеркивается тесная связь эпж условия со свонствамн рассматриваемой модели в отдеяьпых узлах, например, с простейшим характером выходящих из этих узлов потоков требований. В работе В.
Л. Ивницкого [5] для сетей обслуживания с заданным числом требований различных нлассоз устанавливаются необходпмыо н достаточныо условия независимости стационарных вероятностей состояний от энда распределения времен обслуживания требований прн фяксировапвых ср«двпх, Приводятся достаточные условия существования эргодпческого распределения процесса, описывающего изменение состояний системы. В работе Кенигсберга [Ц дается обзор основных работ, посвященных нрнпцнпу инварнантноств в теории массового обслуяп|вания, который является общей основой для многих моделей, обладающих свойствами зраспадання в пропзведенле» стационарного распределения очередей в соти нз а узлов о Ва [йы "' йч) =- П "';[~1) 1 —.1 298 Гл.
5. НРизгененее Волге ОБщих ыетОЛОВ Приводится и подробно обсуждается теорема И. Н. Коваленко и ее обобщение, принадлежащее Б. Г. Гусейнову [Ц, Приводится ряд следствий втой теоремы, некоторые из которых были независиио получены другими авторами. В частности, отмечается, что иа того факта, что стационарное распределение Ро(й„ ..., а ) зависит от распределений времен обслуживания В>(Г), 1 = 1, ..., гч только через их средние, уже вытекает его распределение в произведение, Обсуждается воаможность некоторых новых применений принципа инварнантности.
В обзоре Г. П. Башарина и А. Л. Толмачева [Ц отражены осиовпые результаты по теории сетей обслуживания и некоторые ее применения длн «налива производительности информационно-вычислительных систем, полученные до 1982 г. Особое вкнмание уделяется возможно полному описанию моделей сетей, для которых существуют замкнутые выражения для стационарных распределений Изучаготся характерные свойства таких сетей п приводятся эффективные вычислительные алгоритмы расчета характеристик. Излагается ряд приближенных методов, испольауемых при аналитическом моделировании реальных информационно-вычислительных систем — сетей передачи данных, сеген ЭВГЕ и их компонент. Укажем также работы Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
