1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Неудобство, связанное с реализацией случайной величины асеев — дч распределение которой, вообще говоря, зависит от времени, преодолевается следующим приемом. Пусть )е(2)~ аз а~) ) О, для всех й Если (ч„, 1„)=(е, ~), моделируем експоненциальную случайную величину $ с параметром а; и полагаем т(и)= е, ~ ~ и < г+ $.
После этого производим случайное испытание с вероятностью исхода /, равной Хц(в+ $)/а, при / Ф 2, 1— — );(Г+ э)/а~ при 1 = й В зависимости от исхода определяется значение а (~+ $) и процедура циклически повторяется. Если а, ~ а, то можно поступить еще проще. Моделируем простейший поток с интенсивностью а (например, случайным бросанием аТ точек в интервал (О, Т), где Т достаточно велико) и полагаем $ равным времени до следующего события данного потока. Таким образом, процесс ч(г) может изменять свое состояние лишь в моменты событий простейшего потока. Если среднее значение Х;(1) в рассматриваемом интервале существенно меньше а, то описанный прием оказывается малоэффектизныве из-за медленного продвижения вдоль траектории.
Возможны различные модификации метода. Так, например, если Б. В Гнеденко, И, Н. Коваленко ЗОб ГЛ. «. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕ»1 Лс(1)(~(1), где ~(1) — интегрируемая функция, то посредством замены вре»тни т = ) с (и) ссп приходим к предыдущему случаю о ПРИ а=.с. Укажем еще следующий полезный прием. Случайная величина с плотностью асй-с«с *+ с сма ), ~)о, о где Л(1) — интегрируемая функция, ) Л(1) сс« =со, реализуется как о с значение $ переменной Е, при котором Л(~) = ) Л(и) сои достигает о значения т, где ( — показательная случайная величина с параметром 1. Использование этого приема избавляет от необходимости применения случайных преобразований в малом интервале сс — вместо этого вычисляется интеграл с переменным верхним пределом от детерминированной при данном состоянии функции Лс(Ю). Данный прием эффективен, в частности, при построении реализаций процессов с быстрыми и медленными переходами.
Пусть состояния данного марковского процесса Р (1) — «микросостояния» — объединяются в классы — «макросостояния» так, что внутри данного класса переходы между состояниями имеют сравнительно большую интенсивность, в то время как интенсивность переходов между макросостояниями сравнительно мала. При определенных условиях вообще можно усреднить характеристики переходов внутри класса и рассмотреть укрупненный процесс на множестве макросостояний.
Но все же во многих случаях приходится моделировать процесс «в деталях». Строим реализацию случайного процесса та(1) с теми же интенсивностями перехода, что и у исходного процесса, при переходах менсду состояниями одного класса, и с запретом переходов между макросостонниями. Наряду с этим, обозначив Лси(~) интенсивность перехода из состояния 1 вовне текущего макросостос янин, определяем случайный процесс х (1) = ) ЛИС<ос (и) ссссо асс) где а(1) — момент, начиная с которого процесс пребывает в данном макросостоянии. В момент попадания процесса в то или иное макросостояние реализуется случайная величина (, определяющая момент Г следующей смены макросостояния: х(1) (.
Таким образом, реализация Р(~) сводится к реализации поведения процесса внутри макросостояння и случайного перехода при смене макросостояния. ф зл, некотогые клАссы случАЙных пРОцессОВ 307 5. Моделирование иолумарковского процесса с конечным множеством состояний.
Определение ПМП как бы приспособлено к его непосредственному моделированию. Поочередно реализуются очередные состояния вложенной цепи Маркова и длительности пребыванля в пих. Часто применяется альтернативный способ, состоящий в следующем. При попадании в состояние 1 реализуется набор независимых случайных величин ц„, ..., трл; время пребывания в текущем состоянии равно минимуму из этих величин, а следующее состояние определяется номером той величины, которая оказалась минимальной.
В случае, когда все цо одинаково распределены: Р (21ц » )х) = В; (х), предпочтительнее первый способ, так как Р(ш1п2)ц' х) = В~(х). В общем случае 1 можно использовать следующий прием. Если ц,— независимые случайные величины с непрерывными распределениями, Р;(х) = = Р (гц (х), Х; (х) = Р, (х)/Р;(х), то пии (2Ъ) моделируется как зпачение в, для которого где 7 — показательно распределенная случайная величина с параметром 1.
Такой прием целесообразно применять в случае большого числа возможных состояний процесса, когда для данного текущего состояния 1 интенсивность перехода в следующее состоянио Х;(х) = ~~О„ецио; (х), ец = 1,0, причем из-за большого числа состояний заранее составлять алгоритм реализации времени пребывания в любом состоянии нерационально либо невозможно. 6. Моделирование кусочно-линейного марковского процесса. Согласно определению гл.
В кусочно-линейный марковский проЦесс чередует непрерывное изменение дополнительных компокент по линейному закону со случайными скачками, происходящими спонтанно н в моменты достижения какой-либо из зтих компонент нулевого значения. При моделировании методом узловых моментов часто целесообразно применять схему без спонтанных скачков, что позволяет оперировать с различными случайными длительностями единообразно. Алгоритм моделирования сводится к реализации мгновенного преобразования в момент достижения нуля и сдвига по времени: если после мгновенного преобразования дополнительные компоненты вектора состояний равны во ..., $, а скорости их убывания составляют а„..., а, то зО" 308 Гл, к стхтистичвсков моделиРОВАнпе систем время до следующего скачка т = ш1п Ц;lа,), где ~/а~= при а~=О. В момент, предшествующий этому скачку, 3~ заменяются на З; — а;т.
й 6.3. Статистические задачи, свяаанные с моделированием Как в любом статистическом эксперименте, при моделирования систем возникают задачи обработки статистических данных с целью получения наиболее точных оценок тех или иных параметров, наиболее надежных статистических выводов об исследуемом объекте. Вместе с тем моделирование отличается от наблюдения реального объекта, прежде всего, возможностью выбора любого входящего потока, произвольных вариаций параметров системы вплоть до изменения ее структуры.
Наиболее типичные задачи состоят в следующем: 1. Выбор длины реализации процесса и числа повторений реализации при оценке показателей обслуживания. 2. Оценка времени вхождения системы в стационарный режим при оценке стационарных характеристик. 3. Выбор статистики, служащей оценкой параметра. Например, в случае системы М!6!гл~О вероятность потери требования равна доле времени, на протяжении которого все приборы заняты. Отсюда возникают две конкурирующие статистики для оценки вероятности потери: относительное число потерянных требований из первых и и относительное время занятости всех приборов в интервале данной длины.
Более глубокие задачи, решение которых требует специальных знаний об исследуемых системах (технических, зкономических, биологических и т. и.), состоят в проверке адекватности математической модели, привязке модели к результатам натурного эксперимента, совместном динамическом планировании натурного и статистического экспериментов, статистической оценке параметров модели (например, Х, т) по реальной статистике. В каждой реализации, вырабатываемой с помощью моделирую. щего алгоритма, в качестве источника случайности используются независимые величины ю, а на выходе получаются зависимые, например, длительности ожидания и„.
Это создает трудность при обработке ревультатов. В тех редких случаях, когда корреляционная функция Л(п) выходной последовательности известна или по крайней мере известна верхняя оценка ~Л(п)~, можно оценить дисперсию, скажем, среднего статистического значения ш„ = 1 — „(и1+ ... + юв). Аналогичная ситуация имеет место при наблюдении непрерывного процесса — например, общего времени, потерянного на 610 ГЛ. 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ Следовательно, относительная погрешность Л оценки аи па- 1 РаМЕтРа а ПРЕДСтаВЛЯЕтСЯ В ВИДЕ Гти = = Ьи,ГДŠ܄— аСИМПтОтн- '~/'и чески нормальная случайная величина; О1„О( — И вЂ” — Г)- ~- ( — ) ~- ( — ) — 2 ~ ' ~.
(Е Если бы значение аг было известно, то на основе статистического среднего а можно было бы построить приближенный доверительный интервал (а„(1 — Л), а„(1+ 22)), покрывающий истинное апачение параметра а с вероятностью, приблизительно равной 1 — 2з, положив 1 Л = =ОС22, (О) где г. — корень уравнения — ) в Ох= е. ( -иЧ ~/Б 1 Х% Г„)', 1 Х(«,.
Гт„)', и — „',,'«((, (7„)(р,-г.). и — 1 1 Прн заданном коэффициенте доверия 1 — 2с и допустимой относительной погрешности Л, число испытаний рассчитывается иа следующих соображений. По первым У испытаниям (например~ Л~=100) вычисляем оценку о~1 дисперсии ас~, как было сказана выше. Тогда общее число п испытаний (учитывая и предварительные) определяется из соотношения п ж о122~Л2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
