1. Введение в теорию массового обслуживания. Гнеденко_ Коваленко (2-е изд) (1987) (1186154), страница 57
Текст из файла (страница 57)
П, Башарина и В. Л. Кокотуп>кина [Ц и А. П. Рыбко Щ. О сетях обслуживания см. также Келли [Ц, Валранд, Варайя [Ц. А А Боровков [2] на основании равен>ого им метода обновлений объединил схему доказательства теорем об устойчивости и об аргодичности последовательности. В его схеме ($(в)) — произвольная стационарная в уаком смысле, метрически трапзитнвная последовательпост>ч включающая в качестве компонент интервалы между поступлением и длительности обслуживания требований.
При существовании моментов обновления (очистки систем) и довольно слабых дополнительных условиях из сходимости конечноиерных распределений $" (л) к распределениям $(в) следует аналогичное свойство длн характеристик процесса обслуживания (вектора длительностей ожидания в многолинейной системе с ожиданием, индикатора аанятости приборов в моменты поступлении требований в системе с потерями). Дальнейшие результаты см. Франкен, Кбниг, Арндт, Шмидт [Ц, Первыми работами, посвященными применению общих принципов теории случайных процессов к исследованию критических режимов систем массового обслу>г>нвання, были статьи Ю.
В. Прохорова [Ц, А. А. Боровкова [Ц, 10. В. Прохорова и О. В, Вискоза Щ, О. В. Вискоза [Ц. В несколько более ранних работах Кннгмена Щ и Райса Щ предельные теоремы выводились посредством исслодоваиия аналитических выражений для характеристик систем обслуживания. Упомянутые работы советских ученых показали вазможность использования обпгих теорем о сходимости распределений функционалов от случайных процессов.
Лснмптотическая ипвариантпость рассмотрена в послесловии И, Н, Коваленко и Н. Ю. Кузнецова к пните Франкена, Кенига, Арндт и Шмидта Щ. Основная теорема з 5.6 обобщена В. Л. Грищенко Щ. Системы с малой загрузкой исследовались многими авторами, Укажем лишь монографическую литературу: главы, написанные А. Д. Соловьевым, в книге Б. Ю.
Барзнловича, Ю, К, Беляева, В, Л. Каштанова и др, Щ, И. Н. Коваленко [Н), [12), В. С. Королюк, А. Ф, Турбин [Ц, [2), В. В. Анисимов [Ц, Д. С. Сильвестров [Ц. См. также Штойян Щ, Д. Б. Гнеденко [Ц. Общие условия, при которых выполняется теорема Диттла, см.
Стидхзм Щ, Фрапкен, Кбпиг, Лрпдт, Шмидт [Ц, ГЛАВА 6 СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ 6 6.1. Элементы метода Монте-Карло $. Понятие о методе. Метод Монте-Карло — один пз наиболее известных вычислительных методов. Он состоит в использовании случайных испытаний при решении главным образом вычислительных задач. Для применения метода необходим тот илн иной «пгточник случайности», т. е. устройство, в котором вырабатываются реализации случайных величин. Подобные устройства называются датчиками случайных чисел (ДСЧ).
ДСЧ вырабатывает последовательность (ю ), которую можно считать последовательностью независимых случайных величин с заданным распределением. Обычно используются равномерные случайные числа: ю„ равномерно распределены в интервале (О, 1). Это предположение и принимается в дальнейшем. Случайные числа вырабатываютсн некоторым физическим датчиком, например, дискретным преобразователем шумов радиотехнического устройства, но чаще вместо случайных используют псевдослучайные числа — программно вырабатываемую последовательность (ю„), имитирующую случайную последовательность в частотном смысле.
Так как и,— машинные числа, то в самом деле их распределение дискретно, но при решении прикладных задач замена непрерывного распределения дискретным не приводит к заметным погрешностям. Схема применения метода состоит в следующем. Характерксгпку, которую ну»кно вычислить (число, функпию и т. п.), предгтазляют в виде вероятностной характеркстнкн случайного процесса.
Так, если требуется вычислить значение числового параметра а, то находят такой случайный процесс й(«), что а = ((ь (') ) (точка па месте аргумента означает, что ~ может быть функционалом траектории процесса, а пе только функцией мгновенного значения). Далее строят реализацию случайного процесса $(«) и зависимости от набора независимых случайных величин ак $(Г)=$(С юо ю„...).
Естественно, для физической реализуемости необходимо, чтобы число задействованных воличин еп было конечным, однако оно может быть различным для различных Реализацип. Сняв с ДСЧ значения со„, получим реализацию $(«), а вместе с ней и случайной величины ц =((ь,(", юо ю,, ...)). Эксперимент можно произвести У раз, где Ж вЂ” фиксированное заранее или выбираемое в процессе испытаний число.
В каждой Реализации лгпользуются новые случайные числа го,. В резуль- ЗОО гл. з, стАтистпческое ътоделиРОВАние систем а = ) — тт(т(х) = М (~(т1)/д(ц)). Предполагается, что интеграл ~(~~Р(ах) по множеству х, для которых д(х) = О, равен нулто. Весовунт функцию о(х) стремятся выбрать так, чтобы дисперсия 1(тт)/д(тт) была по возможности меньше. Пусть, например, известно, что ~~(х) — ),(х) ~ ( Л(х), где ао = ) 1з (х) Р (стх) можно вычислить без моделирования. Тогда остается вычислитьа — аз = == а, = ~ у(х) Р (ах), где у(х) =1(х) — 1,(х), ~у(х)! «~Л(х). Имеем П (у (ттУд (ц)) «М (д'(11уд'(ц)) «М 1Лз (тт)~д'(т))) = = ) (Лз (х)/а (х)) Р (ах).
Решение вариационной задачи на минимум приводит к формуле о(х)=Л(х) Ц Л (у) Р (ау), (2) если только интеграл в знаменателе правой части (2) сходится. При указанном виде д(х) имеем 0 (у (т1)/д (ц)) «~ ( ~ Ь (х) Р (ах)) . тате будем иметь У реализаций тто ..., цн. По закону больших 1 чисел 11н = —,(т)1+ ° + Чн) сходится к оцениваемой величине =Л а по вероятности при )т'- Ос; при достаточно большом числе реализаций Дт среднее ттл будет служить оценкой величины а со сколь угодно высокой точностью: Р(( ттн — а1) б)(е Вта сцен~а является неслтещенной; если оз = П1(Э(.)) ( оо, то она также асимнтотичесни нормальна, Таким образом, погрешность оценка величины по методу Монте-Карло (в случае существования конечной дисперсии) имеет порядок 1/КУ.
2. Взвешенное моделирование. Во многих случаях такая точность неудовлетворительна, особенно при расчетах, связанных с редкими событиями. В этих случаях применяют езвеитеннос моделировапие. Пусть а = ~ 1(х) Р(ах), где Р(йх) — вероятностная мера. Тогда а = М1(э), где й — случайная величина с распределением Р (йх). Если теперь о(х) ~ Π— функция, для которой ~д(х) Р(ах) = 1, то Д(ах) = д(х) Р (ах) есть распределение вероятностей случайной величины тт, и тогда 6 КХ НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЗО1 й 6.2.
Моделирование некоторых классов случайных процессов Рис. 7 1. Предварительные замечания. Чтобы реализацию случайного процесса з(2) можно было выразить через последовательность (ю„), требуется конструктивное задание этого процесса в виде зычпслпмой функции элемента выборочного пространства. Многие классы рассматриваемых в теории н применяемых на практике случайных процессов по самому своему определению задаются конструктивно; именно такие процессы положены в основу патематнческих моделей систем обслуживания.
Это делает процесс построения реализаций наглядным. Примеры приводятся в следующих пунктах. В методе статистического моделирования, как правило, нужна не сама реализация того пли иного процесса, а значение некоторого функционала 1 от нее. Этот вопрос нами оставляется в стороне, как и вопрос о критерии остановки реализации по времени илн числу циклов. 2.
Моделирование случайных испытаний и величнн. Пусть Š— испытание с возможными исходами Аь Р(А6) = р;. Требуется реализовать испытание Е, имея реализацию равномерной в интервале (О, 1) случайной величины. Разбиваем интервал (О, 1) на произвольные измеримые множества Л, лебеговой меры р,. Попадание ю в 626 отождествляем с исходом Аь При действиях с равновероятным распределением на множестве т-разрядных машинных чисел вместо лебеговой меры нужно брать долю чисел, принадлежащих данному множеству. Чаще всего используется разбнеиие интервала (О, 1) на интервалы длины рь Случайное нслытание с двумя равновероятными исходами реализуется с помощью определенного знака двоичного представления случайного чпсла, например, первого анака после запятой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
